控制工程与自动化第三章答案

控制工程与自动化第三章答案一、知识点总结

3.1控制系统的数学模型1.微分方程描述系统输入、输出变量及其各阶导数之间关系的数学表达式。通过对实际物理系统的运动规律进行分析，利用物理定律（如牛顿定律、基尔霍夫定律等）建立微分方程。例如，对于一个简单的机械系统，质量为\(m\)的物体在弹簧力\(F=kx\)（\(k\)为弹簧系数，\(x\)为位移）和外力\(f(t)\)作用下的运动方程为\(m\ddot{x}+kx=f(t)\)。2.传递函数定义：在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。对于线性定常系统，其微分方程\(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\frac{d^{i}y}{dt^{i}}=\sum_{j=0}^{m}b_{j}\frac{d^{j}u}{dt^{j}}\)，取拉普拉斯变换并整理可得传递函数\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\sum_{j=0}^{m}b_{j}s^{j}}{\sum_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\)。传递函数的特点：它只取决于系统的结构和参数，与输入信号的形式无关；反映了系统的固有特性，即对不同输入信号的传递能力。3.动态结构图组成：由信号线、引出点、比较点和方框组成。信号线表示信号的传输方向；引出点用于引出信号；比较点用于对信号进行加减运算；方框中填写系统的传递函数。绘制步骤：首先确定系统的输入、输出信号，然后根据系统的组成环节及其相互连接关系，逐步绘制出各环节的方框，并通过信号线、引出点和比较点连接起来。等效变换规则：串联环节的等效传递函数等于各串联环节传递函数的乘积；并联环节的等效传递函数等于各并联环节传递函数之和；反馈连接的等效传递函数为\(\frac{G(s)}{1\pmG(s)H(s)}\)（正反馈取"+"，负反馈取""）。

3.2控制系统的时域分析1.典型输入信号单位阶跃信号\(u(t)=\begin{cases}0,&t\lt0\\1,&t\geq0\end{cases}\)，其拉普拉斯变换为\(U(s)=\frac{1}{s}\)。常用于测试系统的稳态性能。单位斜坡信号\(r(t)=tu(t)\)，拉普拉斯变换为\(R(s)=\frac{1}{s^{2}}\)，可用来考察系统对匀速变化输入的响应能力。单位脉冲信号\(\delta(t)\)，其拉普拉斯变换为\(\Delta(s)=1\)，是一种理想化的瞬态输入信号，可用于分析系统的初始响应特性。2.一阶系统的时域分析一阶系统的传递函数为\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)（\(T\)为时间常数）。单位阶跃响应：\(y(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)，其响应曲线从初始值\(0\)开始逐渐上升，最终趋于\(1\)。上升速度取决于时间常数\(T\)，\(T\)越小，上升越快。性能指标：调整时间\(t_s\)（一般取\(\Delta=0.05\)时，\(t_s\approx3T\)；取\(\Delta=0.02\)时，\(t_s\approx4T\)）反映系统达到稳态值附近规定误差范围所需的时间；时间常数\(T\)表示系统响应的快慢程度。3.二阶系统的时域分析二阶系统的传递函数为\(G(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_ns+\omega_n^{2}}\)（\(\omega_n\)为无阻尼自然频率，\(\zeta\)为阻尼比）。单位阶跃响应：当\(\zeta\gt1\)（过阻尼）时，\(y(t)=1\frac{\omega_n}{2\zeta(\zeta1)}e^{(\zeta\sqrt{\zeta^{2}1})\omega_nt}+\frac{\omega_n}{2\zeta(\zeta1)}e^{(\zeta+\sqrt{\zeta^{2}1})\omega_nt}\)，响应曲线无超调，单调上升趋于稳态值。当\(\zeta=1\)（临界阻尼）时，\(y(t)=1(1+\omega_nt)e^{\omega_nt}\)，也是无超调的单调上升响应。当\(0\lt\zeta\lt1\)（欠阻尼）时，\(y(t)=1\frac{e^{\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1\zeta^{2}}}\sin(\omega_dt+\varphi)\)，其中\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1\zeta^{2}}\)为有阻尼自然频率，响应曲线有超调，超调量\(M_p=e^{\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1\zeta^{2}}}}\times100\%\)。当\(\zeta=0\)（无阻尼）时，\(y(t)=1\cos(\omega_nt)\)，响应为等幅振荡。性能指标：除调整时间\(t_s\)外，超调量\(M_p\)和峰值时间\(t_p\)是重要指标。\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}\)，它反映了系统响应达到第一个峰值的时间。

3.3控制系统的稳定性分析1.稳定性的定义若系统在初始扰动的影响下，其输出随时间的推移能逐渐衰减并趋于零，则系统是稳定的；反之，若输出随时间不断增大或产生持续振荡，则系统是不稳定的。2.劳斯判据劳斯表的构建：对于系统的特征方程\(a_ns^n+a_{n1}s^{n1}+\cdots+a_1s+a_0=0\)，按照一定规则构建劳斯表。稳定的充要条件：劳斯表中第一列元素全部大于零。如果第一列元素出现符号变化，其变化的次数等于系统特征方程正实部根的个数。通过劳斯判据可以判断系统是否稳定，以及不稳定根的个数和分布情况。3.稳定裕度幅值裕度\(K_g\)：\(K_g=\frac{1}{|G(j\omega_{gc})H(j\omega_{gc})|}\)，其中\(\omega_{gc}\)是相位裕度为\(180^{\circ}\)时的频率。幅值裕度反映了系统在相位交界频率附近幅值的稳定程度。相位裕度\(\gamma\)：\(\gamma=180^{\circ}+\angleG(j\omega_{gc})H(j\omega_{gc})\)，其中\(\omega_{gc}\)是幅值裕度为\(1\)时的频率。相位裕度反映了系统在幅值交界频率附近相位的稳定程度。一般来说，幅值裕度\(K_g\gt1\)，相位裕度\(\gamma\gt0\)时，系统具有较好的稳定性。

二、课后习题答案

3.11.题目：已知系统的微分方程为\(\ddot{y}+3\dot{y}+2y=\dot{u}+3u\)，试求系统的传递函数\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}\)。解：对微分方程两边取拉普拉斯变换，考虑零初始条件：\(s^{2}Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=sU(s)+3U(s)\)整理可得：\(Y(s)(s^{2}+3s+2)=U(s)(s+3)\)所以传递函数\(G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}\)

2.题目：设系统的传递函数为\(G(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+5s+6}\)，试求系统的微分方程。解：由传递函数可得\(Y(s)(s^{2}+5s+6)=(2s+1)U(s)\)对其进行拉普拉斯反变换：\(\ddot{y}+5\dot{y}+6y=2\dot{u}+u\)

3.21.题目：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{10}{s(s+1)}\)，当输入为单位阶跃信号\(u(t)\)时，求系统的输出响应\(y(t)\)。解：系统的闭环传递函数为\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\frac{10}{s(s+1)}}{1+\frac{10}{s(s+1)}}=\frac{10}{s^{2}+s+10}\)单位阶跃输入\(U(s)=\frac{1}{s}\)则输出的拉普拉斯变换\(Y(s)=\Phi(s)U(s)=\frac{10}{s(s^{2}+s+10)}\)对\(Y(s)\)进行部分分式展开：\(Y(s)=\frac{10}{s(s^{2}+s+10)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+s+10}\)解得\(A=1\)，\(B=1\)，\(C=0\)所以\(Y(s)=\frac{1}{s}\frac{s}{s^{2}+s+10}\)再进行拉普拉斯反变换：\(y(t)=1e^{\frac{1}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{39}}{2}t)\frac{1}{\sqrt{39}}e^{\frac{1}{2}t}\sin(\frac{\sqrt{39}}{2}t)\)

2.题目：设二阶系统的传递函数为\(G(s)=\frac{4}{s^{2}+2s+4}\)，求系统的单位阶跃响应，并计算其超调量\(M_p\)、峰值时间\(t_p\)和调整时间\(t_s\)（取\(\Delta=0.05\)）。解：该二阶系统\(\omega_n^{2}=4\)，则\(\omega_n=2\)；\(2\zeta\omega_n=2\)，则\(\zeta=\frac{1}{2}\)单位阶跃响应\(y(t)=1\frac{e^{t}}{\sqrt{1\frac{1}{4}}}\sin(\sqrt{4\frac{1}{4}}t+\varphi)=1\frac{4}{\sqrt{3}}e^{t}\sin(\sqrt{3}t+\varphi)\)超调量\(M_p=e^{\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1\zeta^{2}}}}\times100\%=e^{\frac{\pi\times\frac{1}{2}}{\sqrt{1\frac{1}{4}}}}\times100\%\approx16.3\%\)峰值时间\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1\zeta^{2}}}=\frac{\pi}{2\times\sqrt{1\frac{1}{4}}}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx1.81\s\)调整时间\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{\frac{1}{2}\times2}=3\s\)

3.31.题目：已知系统的特征方程为\(s^{3}+3s^{2}+(K+2)s+2K=0\)，试用劳斯判据确定使系统稳定的\(K\)的取值范围。解：劳斯表如下：\[\begin{array}{ccc}s^{3}&1&K+2\\s^{2}&3&2K\\s^{1}&\frac{3(K+2)2K}{3}&0\\s^{0}&2K&0\end{array}\]\(\frac{3(K+2)2K}{3}\gt0\)且\(2K\gt0\)由\(\frac{3(K+2)2K}{3}\gt0\)，解得\(K\gt6\)由\(2K\gt0\)，解得\(K\gt0\)所以使系统稳定的\(K\)的取值范围是\(K\gt0\)

2.题目：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，试求系统稳定时\(K\)的取值范围。解：系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}=\frac{K}{s^{3}+3s^{2}+2s}\)特征方程为\(s^{3}+3s^{2}+2s+K=0\)劳斯表如下：\[\begin{array}{ccc}s^{3}&1&2\\s^{2}&3&K\\s^{1}&\frac{6K}{3}&0\\s^{0}&K&0\end{array}\]\(\frac{6K}{3}\gt0\)且\(K\gt0\)由\(\frac{6K}{3}\gt0\)，解得\(K\lt6\)所以系统稳定时\(K\)的取值范围是\(0\ltK\lt6\)

三、案例分析

案例一：温度控制系统1.系统描述一个温度控制系统用于保持某一环境的温度恒定。系统由加热装置、温度传感器和控制器组成。加热装置的功率变化会影响环境温度，温度传感器实时测量环境温度并将信号反馈给控制器。设加热装置的功率为输入量\(u(t)\)，环境温度为输出量\(y(t)\)。经过分析，系统的传递函数为\(G(s)=\frac{1}{Ts+1}\)，其中\(T\)为系统的时间常数。2.时域分析当输入为单位阶跃信号\(u(t)\)时，系统的单位阶跃响应为\(y(t)=1e^{\frac{t}{T}}\)。调整时间\(t_s\)：当取\(\Delta=0.05\)时，\(t_s\approx3T\)。时间常数\(T\)决定了系统响应的快慢。例如，如果\(T=5\s\)，那么调整时间\(t_s\approx15\s\)，这意味着系统大约需要\(15\s\)才能使温度达到稳态值附近规定的误差范围（\(\pm5\%\)）。3.稳定性分析系统的特征方程为\(Ts+1=0\)，其根为\(s=\frac{1}{T}\)。因为根的实部为负，所以系统是稳定的。从稳定性的角度来看，只要时间常数\(T\)为正值，系统就能够在初始温度扰动后逐渐恢复到设定温度，保持稳定运行。

案例二：电机速度控制系统1.系统描述电机速度控制系统通过控制电机的输入电压来调节电机的转速。系统包括电机、测速发电机（用于测量电机转速并反馈信号）和控制器。设电机的输入电压为\(u(t)\)，电机转速为\(y(t)\)。系统的传递函数为\(G(s)=\frac{\omega_