单调性与最值试题及答案

单调性与最值试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.设函数f(x)=x^3-3x+2，则函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

2.函数y=ax^2+bx+c在x=0处取得最小值，则a，b，c应满足（）

A.a>0,b<0,c>0B.a>0,b>0,c>0

C.a<0,b<0,c<0D.a<0,b>0,c<0

3.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<f(b)，则f(x)在区间[a,b]上（）

A.必有极大值B.必有极小值C.必有最大值D.必有最小值

4.函数y=x^2-4x+4在区间[-2,2]上的（）

A.最大值为0，最小值为-4B.最大值为0，最小值为0

C.最大值为4，最小值为-4D.最大值为4，最小值为0

5.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f'(x)在[a,b]上恒大于0，则f(x)在区间[a,b]上（）

A.必有极大值B.必有极小值C.必有最大值D.必有最小值

6.函数y=2x^3-3x^2+12x+6在x=0处取得（）

A.极大值B.极小值C.驻点D.无极值

7.函数y=-x^4+4x^2在x=0处取得（）

A.极大值B.极小值C.驻点D.无极值

8.函数y=x^3-6x^2+9x在x=3处取得（）

A.极大值B.极小值C.驻点D.无极值

9.函数y=3x^2-12x+9在x=2处取得（）

A.极大值B.极小值C.驻点D.无极值

10.函数y=x^3-9x^2+27x-27在x=3处取得（）

A.极大值B.极小值C.驻点D.无极值

二、填空题（每题4分，共40分）

1.函数y=x^3-3x在x=0处的导数是__________。

2.函数y=2x^2-4x+3在x=1处的极值是__________。

3.函数y=-x^4+4x^2在x=0处的导数是__________。

4.函数y=x^3-6x^2+9x在x=3处的二阶导数是__________。

5.函数y=3x^2-12x+9在x=2处的导数是__________。

6.函数y=x^3-9x^2+27x-27在x=3处的二阶导数是__________。

7.函数y=2x^3-3x^2+12x+6在x=0处的二阶导数是__________。

8.函数y=-x^4+4x^2在x=2处的导数是__________。

9.函数y=x^3-6x^2+9x在x=0处的二阶导数是__________。

10.函数y=3x^2-12x+9在x=1处的导数是__________。

三、解答题（每题10分，共40分）

1.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x-27在区间[0,4]上的最大值和最小值。

2.求函数y=2x^3-3x^2+12x+6的导数，并求其在x=0处的极值。

3.求函数y=-x^4+4x^2的导数，并求其在x=0处的极值。

4.求函数y=x^3-9x^2+27x-27的导数，并求其在x=3处的极值。

四、计算题（每题10分，共20分）

1.求函数f(x)=x^4-8x^3+18x^2-24x+3在x=2处的导数和二阶导数。

2.求函数y=3x^4-4x^3+3x^2-4x+1在x=0处的导数和三阶导数。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.一家工厂生产某种产品，其生产成本函数为C(x)=2x^3-3x^2+12x+10，其中x为生产的数量（单位：件）。求生产100件产品的平均成本和边际成本。

2.一个物体的运动方程为s(t)=t^3-6t^2+9t，其中s(t)为t时刻物体的位移（单位：米）。求物体在t=2秒时的速度和加速度。

六、证明题（每题10分，共10分）

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)<f(b)，则f(x)在区间[a,b]上必有最大值和最小值。

2.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)在区间[a,b]上恒大于0（或恒小于0），则f(x)在区间[a,b]上单调递增（或单调递减）。

试卷答案如下：

一、选择题（每题3分，共30分）

1.A

解析思路：对函数f(x)求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，在x=-1时，f(x)取最大值0；在x=1时，f(x)取最小值0。在区间[-1,2]上，f(x)的最大值为0。

2.A

解析思路：因为函数在x=0处取得最小值，所以导数f'(x)=2ax+b在x=0处为0，即b=0。又因为最小值，所以a>0。

3.C

解析思路：函数在区间[a,b]上连续，且f(a)<f(b)，根据连续函数的性质，函数在区间[a,b]上必有最大值和最小值。

4.B

解析思路：对函数y=x^2-4x+4求导得y'=2x-4，令y'=0得x=2，在x=2时，y取最小值0。在区间[-2,2]上，y的最大值为0。

5.C

解析思路：函数f'(x)在[a,b]上恒大于0，根据可导函数的性质，函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，必有最大值。

6.A

解析思路：对函数y=2x^3-3x^2+12x+6求导得y'=6x^2-6x+12，令y'=0得x=1，在x=1时，y取极大值13。

7.A

解析思路：对函数y=-x^4+4x^2求导得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0时，y取极大值0。

8.C

解析思路：对函数y=x^3-6x^2+9x求导得y'=3x^2-12x+9，令y'=0得x=3，在x=3时，y取极小值0。

9.B

解析思路：对函数y=3x^2-12x+9求导得y'=6x-12，令y'=0得x=2，在x=2时，y取极小值3。

10.B

解析思路：对函数y=x^3-9x^2+27x-27求导得y'=3x^2-18x+27，令y'=0得x=3，在x=3时，y取极小值0。

二、填空题（每题4分，共40分）

1.0

解析思路：对函数f(x)=x^3-3x求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=0，在x=0处的导数为0。

2.2

解析思路：对函数y=2x^2-4x+3求导得y'=4x-4，令y'=0得x=1，在x=1处的极值为y=2。

3.0

解析思路：对函数y=-x^4+4x^2求导得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0处的导数为0。

4.0

解析思路：对函数y=x^3-6x^2+9x求导得y'=3x^2-12x+9，令y'=0得x=3，在x=3处的二阶导数为0。

5.0

解析思路：对函数y=3x^2-12x+9求导得y'=6x-12，令y'=0得x=2，在x=2处的导数为0。

6.0

解析思路：对函数y=x^3-9x^2+27x-27求导得y'=3x^2-18x+27，令y'=0得x=3，在x=3处的二阶导数为0。

7.0

解析思路：对函数y=2x^3-3x^2+12x+6求导得y'=6x^2-6x+12，令y'=0得x=1，在x=1处的二阶导数为0。

8.0

解析思路：对函数y=-x^4+4x^2求导得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0处的导数为0。

9.0

解析思路：对函数y=x^3-6x^2+9x求导得y'=3x^2-12x+9，令y'=0得x=3，在x=3处的二阶导数为0。

10.0

解析思路：对函数y=3x^2-12x+9求导得y'=6x-12，令y'=0得x=2，在x=2处的导数为0。

三、解答题（每题10分，共40分）

1.最大值：0，最小值：-27

解析思路：对函数f(x)=x^3-6x^2+9x-27求导得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0得x=3，在x=3处，f(x)取最小值-27。在区间[0,4]上，f(x)的最大值为0。

2.极值：13

解析思路：对函数y=2x^3-3x^2+12x+6求导得y'=6x^2-6x+12，令y'=0得x=1，在x=1处，y取极大值13。

3.极值：0

解析思路：对函数y=-x^4+4x^2求导得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0处，y取极大值0。

4.极小值：0

解析思路：对函数y=x^3-9x^2+27x-27求导得y'=3x^2-18x+27，令y'=0得x=3，在x=3处，y取极小值0。

四、计算题（每题10分，共20分）

1.导数：-12x^2+24x-24，二阶导数：-24x+24

解析思路：对函数f(x)=x^4-8x^3+18x^2-24x+3求导得f'(x)=4x^3-24x^2+36x-24，令f'(x)=0得x=2，在x=2处的导数为-12x^2+24x-24。对f'(x)求导得f''(x)=12x^2-48x+24，在x=2处的二阶导数为-24x+24。

2.导数：12x^3-12x^2+6x-4，三阶导数：36x^2-24x+6

解析思路：对函数y=3x^4-4x^3+3x^2-4x+1求导得y'=12x^3-12x^2+6x-4，令y'=0得x=0，在x=0处的导数为12x^3-12x^2+6x-4。对y'求导得y''=36x^2-24x+6，在x=0处的三阶导数为36x^2-24x+6。

五、应用题（每题10分，共20分）

1.平均成本：6，边际成本：4

解析思路：平均成本C(x)=C(x)/x=(2x^3-3x^2+12x+10)/x=2x^2-3x+12+10/x，当x=100时，平均成本C(x)=6。边际成本C'(x)=6x^2-6x+12，当x=100时，边际成本C'(x)=4。

2.速度：-2，加速度：-4

解析思路：速度v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9，当t=2时，速度v(2)=-2。加速度a(t)=v'(t)=6t-12，当t=2时，加速度a(