孙璐璐容斥问题教案

孙璐璐容斥问题教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解容斥原理的基本概念，掌握容斥问题的基本题型及解题方法。能够运用容斥原理解决实际生活中的相关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。2.过程与方法目标通过引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。经历从实际问题抽象出数学模型的过程，体会数学的化归思想和应用价值。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学的学习兴趣，培养学生积极探索、勇于创新的精神。让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点理解容斥原理的含义，掌握容斥问题的基本解题方法。能正确运用容斥原理解决两类或三类元素的容斥问题。2.教学难点对容斥原理中重复部分的理解和处理。灵活运用容斥原理解决复杂的实际问题，尤其是涉及多个条件交叉的情况。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解容斥原理的概念、公式及解题思路，使学生对容斥问题有初步的认识。2.直观演示法：通过画韦恩图等方式，直观展示容斥原理中各部分的关系，帮助学生理解抽象的概念。3.小组合作法：组织学生进行小组讨论和合作探究，共同解决问题，培养学生的合作意识和团队精神。4.练习巩固法：安排适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入（5分钟）1.创设情境同学们，学校组织了一场兴趣活动，有绘画、音乐和书法三个小组。已知参加绘画小组的有20人，参加音乐小组的有15人，参加书法小组的有18人。现在老师想知道，至少参加一个小组的同学最多有多少人？最少有多少人呢？2.引导思考让学生思考如何解决这个问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。

（二）新授（25分钟）1.容斥原理的概念讲解容斥原理：在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。通过举例进一步说明：比如我们数教室里的人数，先数男生人数，再数女生人数，但是有些同学既是男生又是女生（假设存在这种情况），那么在计算总人数时就不能简单地把男生人数和女生人数相加，这时候就需要用到容斥原理来避免重复计算。2.两类元素的容斥问题出示例题：一个班有48人，班主任在班会上问："谁做完语文作业了？请举手！"有37人举手。又问："谁做完数学作业了？请举手！"有42人举手。最后问："谁语文、数学作业都没有做完？"没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分析题目：已知完成语文作业的人数和完成数学作业的人数，以及班级总人数，要求出语文、数学作业都完成的人数。我们可以通过画韦恩图来直观地分析。画出韦恩图：画两个相交的圆，分别代表完成语文作业的人和完成数学作业的人。设语文、数学作业都完成的人数为\(x\)。那么只完成语文作业的人数就是\(37x\)，只完成数学作业的人数就是\(42x\)。根据韦恩图列方程求解：因为班级总人数是\(48\)人，所以可列方程\((37x)+x+(42x)=48\)。化简方程得\(79x=48\)。解得\(x=31\)。总结两类元素容斥问题的公式：\(A\)类元素个数\(+B\)类元素个数\(\)既是\(A\)类又是\(B\)类的元素个数\(=\)总元素个数（\(A\)类和\(B\)类的并集元素个数）。用符号表示为\(|A\cupB|=|A|+|B||A\capB|\)。3.三类元素的容斥问题出示例题：某班有学生45人，参加天文爱好小组、文学爱好小组和物理爱好小组的各有20人、20人、15人。其中同时参加天文爱好小组和文学爱好小组的有5人，同时参加文学爱好小组和物理爱好小组的有5人，同时参加物理爱好小组和天文爱好小组的有3人，并且全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个。三个小组都参加的有多少人？分析题目：已知参加三个小组的人数以及两两小组重叠的人数，还有班级总人数，要求出三个小组都参加的人数。同样通过画韦恩图来分析。画出韦恩图：画三个两两相交的圆，分别代表参加天文爱好小组、文学爱好小组和物理爱好小组的人。设三个小组都参加的人数为\(x\)。只参加天文和文学小组（不包含三个都参加的）人数为\(5x\)；只参加文学和物理小组（不包含三个都参加的）人数为\(5x\)；只参加物理和天文小组（不包含三个都参加的）人数为\(3x\)；只参加天文小组人数为\(20(5x)(3x)x=12+x\)；只参加文学小组人数为\(20(5x)(5x)x=10+x\)；只参加物理小组人数为\(15(5x)(3x)x=7+x\)。根据韦恩图列方程求解：因为班级总人数是\(45\)人，所以可列方程\((12+x)+(10+x)+(7+x)+(5x)+(5x)+(3x)+x=45\)。化简方程得\(42+x=45\)。解得\(x=3\)。总结三类元素容斥问题的公式：\(|A\cupB\cupC|=|A|+|B|+|C||A\capB||B\capC||C\capA|+|A\capB\capC|\)。

（三）课堂练习（15分钟）1.练习题1某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？学生独立完成，教师巡视指导，然后请学生上台讲解解题思路。解：设两次测验都得满分的有\(x\)人。根据公式可得\(26+21x+17=50\)，化简得\(64x=50\)，解得\(x=14\)。2.练习题2一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？学生独立完成后，同桌之间互相交流答案，教师进行点评。解：设两样都会的有\(x\)人。则\(24+18x+4=36\)，化简得\(46x=36\)，解得\(x=10\)。3.练习题3某班有30人参加长跑和乒乓球比赛。其中参加乒乓球比赛的有16人，参加长跑比赛的有23人，两种比赛都参加的有几人？学生快速完成，教师统一核对答案。解：设两种比赛都参加的有\(x\)人。由公式可得\(16+23x=30\)，解得\(x=9\)。

（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容容斥原理的概念是什么？两类元素和三类元素的容斥问题公式分别是什么？2.请学生分享自己在本节课中的收获和体会，以及在解题过程中遇到的困难和解决方法。

（五）课后作业（5分钟）1.布置作业课本上相关的练习题，要求认真完成，书写规范。思考生活中还有哪些问题可以用容斥原理来解决，并尝试记录下来。2.强调作业要求独立完成作业，认真检查，保证答案的准确性。对于遇到的难题，先自己思考，若仍有困难，可以查阅资料或请教他人。

五、教学反思通过本节课的教学，大部分学生能够理解容斥原理的概念，掌握两类和三类元素容斥问题的解题方法，并能运用所学知识解决一些实际问题。在教学过程中，通过创设情境、直观演示、小组