用公式法解一元二次方程教案

用公式法解一元二次方程教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解一元二次方程求根公式的推导过程。熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，并能准确求解一元二次方程。2.过程与方法目标通过求根公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和运算能力。经历运用公式法解一元二次方程的过程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探索求根公式的过程，培养学生勇于探索的精神和严谨的科学态度。让学生体会数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点一元二次方程求根公式的推导。用公式法解一元二次方程。2.教学难点求根公式的推导过程中涉及的根式化简。理解公式中判别式\(\Delta=b^{2}4ac\)与方程根的关系。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）复习导入（5分钟）1.提问学生一元二次方程的一般形式是什么？（\(ax^{2}+bx+c=0\)，\(a\neq0\)）2.用配方法解下列方程：\(x^{2}6x+4=0\)请一位同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成。教师巡视，及时纠正学生在配方过程中出现的错误。3.完成后，引导学生回顾配方法解一元二次方程的步骤：移项：把常数项移到等号右边，即\(x^{2}6x=4\)。配方：在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，\(x^{2}6x+9=4+9\)，得到\((x3)^{2}=5\)。开方：\(x3=\pm\sqrt{5}\)。求解：\(x=3\pm\sqrt{5}\)。

通过复习配方法，为学习公式法做铺垫，让学生感受知识之间的联系。

（二）探究新知（20分钟）1.公式推导对于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），我们用配方法来求解。首先移项：\(ax^{2}+bx=c\)。然后二次项系数化为\(1\)：\(x^{2}+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}\)。接着配方：在等号两边同时加上一次项系数一半的平方\((\frac{b}{2a})^{2}\)，得到\(x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}\)。整理可得\((x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}4ac}{4a^{2}}\)。当\(b^{2}4ac\geq0\)时，两边开平方得\(x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}\)。最后求解：\(x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}\)。教师在黑板上详细推导过程，引导学生仔细观察每一步的变形依据，理解求根公式的由来。2.公式讲解强调求根公式\(x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}\)中各项的含义。\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。\(\Delta=b^{2}4ac\)叫做一元二次方程根的判别式。当\(\Delta\gt0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；当\(\Delta\lt0\)时，方程没有实数根。通过具体的例子，如方程\(2x^{2}5x+3=0\)，计算\(\Delta=(5)^{2}4\times2\times3=2524=1\gt0\)，说明此方程有两个不相等的实数根，再用公式法求解，让学生直观感受判别式与根的关系。

通过公式推导和讲解，让学生深入理解求根公式及其应用条件，为运用公式法解一元二次方程奠定基础。

（三）例题讲解（15分钟）例1：用公式法解下列方程\(x^{2}4x7=0\)解：这里\(a=1\)，\(b=4\)，\(c=7\)。首先计算判别式\(\Delta=b^{2}4ac=(4)^{2}4\times1\times(7)=16+28=44\gt0\)。然后代入求根公式\(x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{11}}{2}=2\pm\sqrt{11}\)。所以方程的解为\(x_{1}=2+\sqrt{11}\)，\(x_{2}=2\sqrt{11}\)。在讲解过程中，详细写出每一步的计算过程，强调代入公式时的准确性和根式化简的方法。例2：解方程\(2x^{2}+3x1=0\)解：\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=1\)。计算\(\Delta=b^{2}4ac=3^{2}4\times2\times(1)=9+8=17\gt0\)。代入求根公式\(x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}\)。所以方程的解为\(x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)，\(x_{2}=\frac{3\sqrt{17}}{4}\)。再次强调解题步骤和注意事项，如准确确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，正确计算判别式和代入公式求解。

通过例题讲解，让学生掌握用公式法解一元二次方程的具体步骤和方法，提高学生运用公式解题的能力。

（四）课堂练习（15分钟）1.用公式法解下列方程\(x^{2}+2x3=0\)\(3x^{2}6x2=0\)\(2x^{2}+x6=0\)2.当\(x\)为何值时，代数式\(x^{2}x\)的值等于\(1\)？解：由题意得\(x^{2}x=1\)，即\(x^{2}x1=0\)。这里\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=1\)。计算\(\Delta=(1)^{2}4\times1\times(1)=1+4=5\gt0\)。代入求根公式\(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)。所以当\(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)或\(x=\frac{1\sqrt{5}}{2}\)时，代数式\(x^{2}x\)的值等于\(1\)。

让学生在练习中巩固所学知识，提高运用公式法解一元二次方程的熟练程度，教师巡视过程中及时发现学生存在的问题并进行个别指导。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容一元二次方程求根公式的推导过程。求根公式\(x=\frac{b\pm\sqrt{b^{2}4ac}}{2a}\)及其应用。根的判别式\(\Delta=b^{2}4ac\)与方程根的关系。2.请学生分享在本节课中的收获和遇到的困难鼓励学生积极发言，培养学生的总结归纳能力和语言表达能力。针对学生提出的困难，教师进行解答和强调，帮助学生进一步理解和掌握本节课的重点知识。

通过课堂小结，让学生对本节课的知识有一个系统的梳理，加深记忆，同时培养学生的反思和总结能力。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业用公式法解下列方程\(x^{2}5x+6=0\)\(4x^{2}3x1=0\)\(3x^{2}2x2=0\)当\(x\)为何值时，代数式\(x^{2}+4x1\)的值与代数式\(x^{2}6x+8\)的值相等？2.拓展作业已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+(2k1)x+k^{2}=0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。

书面作业巩固本节课所学的公式法解一元二次方程的知识，拓展作业则进一步加深学生对根的判别式的理解和应用，满足不同层次学生的学习需求。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对用公式法解一元二次方程有了较好的掌握。在教学过程中，通过复习配方法，引导学生逐步推导求根公式，让学生理解公式的由来