2024-2025学年安徽省宿州市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年宿州市某校高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l1：x+ay−1=0，l2：(3a−2)x−ay+1=0，若l1⊥lA.1或2 B.0 C.13 D.0或2.已知向量a,b,c，满足|a|=1，|b|=2，|c|=3A.273c B.143c3.已知圆O1：(x−1)2+(y+2)2=9，圆A.外离 B.外切 C.相交 D.内含4.袜子由袜口、袜筒、脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为(

)A.12 B.24 C.36 D.485.若(1−2x)5(x+2)=a0A.120 B.240 C.−120 D.−2406.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，A.12

B.23

C.27.曲线y=1+4−x2与直线y=k(x−2)+4有两个相异交点，则kA.(0,512) B.(13,8.直线l：x−2y+3=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F，且与椭圆交于AA.22 B.12 C.二、多选题：本题共3小题，共104分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于(x−2x)5A.各项的系数之和为−1 B.二项式系数的和为64

C.展开式中无常数项 D.第4项的系数最大10.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线交x轴于点A，抛物线E上一点T(4,y0)到点F的距离为6，点M，N是抛物线C上的两点，点P是A.p=4

B.若|MF|+|NF|=20，则点P到y轴的距离为10

C.若FM延长线交y轴于Q，且M是FQ的中点，则|FQ|=6

D.当|MF||MA|取最小值时，11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点A.若λ=1，μ=0，则VP−A1BD=18

B.若λ+μ=1，则D1P//平面A1BD

C.若λ=1,μ=12，则OP⊥平面A1BD

D.若λ=1，0≤μ≤1时，直线12.若过点P(1,3)作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A13.数学竞赛中，某校有A，B，C，D，E，F共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设A，B两人必须相邻且站在正中间，C，D两人不能相邻，则不同的站法共有______种.14.如图的“心形”曲线C恰好是半圆C1，半圆C2，曲线y=cosx+1(0≤x≤π)，y=−cosx−1(0≤x≤π)组合而成的，则曲线C所围成的“心形”区域的面积等于______．

四、解答题：本题共5小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

已知二项式(x−3x)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，各项的系数之和为b，a+b=32．

(1)求n16.(本小题6分)

如图，在六面体ABCD−A1B1C1D1中，AA1//BB1//CC1//DD1，且底面ABCD为菱形．

(1)证明：四边形A1B1C17.(本小题6分)

已知圆C：x2+y2=16分别与x、y轴正半轴交于A、B两点，P为圆C上的动点．

(1)过点D(3,4)的直线l截C所得弦长为27，求l的方程；

(2)若点P为C上异于A，B的动点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x18.(本小题6分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点．

(1)求证：PA//平面EDB．

(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值．

(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF⊥平面EDB？若存在，求出线段BF的长；若不存在，说明理由．19.(本小题6分)

定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点(焦点与顶点在同一边)和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中(C1对应图1，C2对应图2)．

(1)判断椭圆C1：x24+y23=1与椭圆C2：x216+y212=1是否是“相似椭圆”？若是，求出相似比；若不是，请说明理由；

(2)证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

(3)已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，椭圆参考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.313.32

14.3π

15.解：(1)因为a=2n，b=(−2)n，所以2n+(−2)n=32，

当n为奇数时，此方程无解，

当n为偶数时，方程可化为2×2n=32，解得n=4；

(2)由通项公式Tr+1=C4rx16.(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BC/​/AD，

又AD⊂平面A1ADD1，BC⊄平面A1ADD1，

所以BC/​/平面A1ADD1，

因为BB1//AA1，AA1⊂平面A1ADD1，BB1⊄平面A1ADD1，

所以BB1/​/平面A1ADD1，

又BB1∩BC=B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，

所以平面BCC1B1/​/平面A1ADD1，

又平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1，平面A1B1C1D1∩平面A1ADD1=A1D1，

所以B1C1//A1D1，

同理可得A1B1/​/C1D1，

所以四边形A117.(1)解：圆C：x2+y2=16的圆心(0,0)，半径为4，过点D(3,4)的直线l截C所得弦长为27，

根据垂径定理可得圆心到直线的距离d=42−(7)2=3．

①当斜率不存在时，直线l的方程为：x=3，

直线l截所得弦长2r2−d2=27，符合题意：

②当斜率存在时，设直线l：y−4=k(x−3)，

圆心到直线l的距离为d=|4−3k|k2+1=3，解得k=724．

综上所述，直线l的方程为7x−24y+75=0或x=3．

(2)证明：根据题意，A(4,0)，B(0,4)，设P(x1,y118.解：(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE．

因为E是PC的中点，O是AC的中点，

所以PA/​/OE，又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，

所以PA//平面EDB．

(2)如图，以DA、DC、DP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，

所以DB=(1,2,0),DE=(0,1,1)．

设平面EDB的法向量为m=(x,y,z)，则m⊥DB，m⊥DE，

所以DB⋅m=x+2y=0,DE⋅m=y+z=0,令y=−1，得x=2，z=1，所以m=(2,−1,1)，

由题可得，平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)，

设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，

则cosθ=|cos〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=16=66，

所以平面EDB和平面PAD夹角的余弦值为66．

(3)由(2)知，D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2)，

则EB=(1,1,−1),BP=(−1,−2,2)，BF19.解：(1)易知|BF2|=2−1=1,|AF2|=2,|AB|=4+3=7，

|B′F2′|=4−2=2,|A′F2′|=4,|A′B′|=16+12=27，

所以|BF2||B′F2′|=|AF2||A′F2′|=|AB||A′B′|=12，

所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似，

则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为12．

(2)证明：若两个椭圆是“相似椭圆