2022年二项式定理知识点总结

Pr=n(n-1)...一、二项式定理：(a+b)"=Ca"+C!a"-b+…+Cna"⁻^bk+…+C"b"(n∈N*)等号右边的多项式叫做(a+b)"的二项展开(1)二项展开式有n+1项(2)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0;字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n二、二项展开式的通项：T+1=Cha"*b*v(3)在通项公式中共具有a,b,n,k,T+1这5个元素，懂得4个元素便可求第5个元素例2.(1)求(1+2x)⁷的展开式的第四项的系数(2)求的展开式中x³的系数及二项式系数。三、二项展开式系数的性质：(5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1)求多项式(a₁+a₂+…+a,)"的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再运用二项式定理展开。(2)求二项式之间四则运算所构成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求(1+x)²·(1-x)⁵的展开式中x³的系数例题：(1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法拟定k五、展开式的系数和求展开式的系数和核心是给字母赋值，赋值的选择则根据所求例题：已知(1-2x)⁷=a₀+ax+a₂x²+…+a₇x⁷,求。:(1)a₁+a₂+…+a₇;(2)a₁+a₃+a六、二项式定理的应用：(1)进行近似计算(2)证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明：2">2n(n≥3,n∈N)取2”=(1+1)"的展开式中的四项即可。2、多种问题的常用解决措施(1)近似计算的解决措施当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1+x)"的近似值。例题：(1.05)⁶的计算成果精确到0.01的近似值是()A.1.23B.1.24C.1.33(2)整除性问题或求余数的解决措施②用二项式定理解决整除问题，一般把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再运用二项式定理展开，这里的k一般为±1,若k为其她数，则需对幂的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑背面(或者是某项)一、二项就可以了③要注意余数的范畴，对给定的整数a,b(b≠0),有拟定的一对整数q和r,满足a=bq+r,其中b为除数，r为余数，re[o,b],运用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题：求201363除以7所得的余数例题：若n为奇数，则7”+C7”⁻¹+C²7"-²+…+C"-7)【思维点拨】此类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定一、选择题：本大题共-12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的.2.已知a+b>0,b=4a,(a+b)"的展开式按a的降幂排列，其中第n.项与第n+1项相等，那么正整数n等于A.4的展开式的第三项与第二项的系数的比为11:2,则n是A.10B.11C.124.5310被8除的余数是()5.(1.05)6的计算成果精确到0.01的近似值是()A.1.23B.1.24C.1.336.二项(n∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是A.1B.2A.展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若t+h=2.72,则展开式的x²项的系数是B.1C.29.(3A+5A)”展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是11.二项式(1+sinx)"的展开式中，末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为,则x在[0,2π]内的值二、填空题：本大题满分16分，每题4分，各题只规定直接写出成果.展开式中x⁹的系数是14.若(2x+√3)#=ao+a₁x+…+a₄x⁴,则(ao+a₂+a₄²-(a₁+a₃²的值为15.若(x³+x⁻²)"的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是_16.对于二项式(1-x)¹999,有下列四个命题：①展开式中②展开式中非常数项的系数和是1;③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=时，(1-x)¹999除以的余数是1.其中对的命题的序号是_.(把你觉得对的的命题序号都填上)三、解答题：本大题满分74分.展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系，19.(12分)与否存在等差数列{a},使a₁C⁰+a₂C¹+a₃C²+…+an+IC"=n·2"对任意n∈N都成立?若存在，求出数列{a}的通项公式；若不存在，请阐明理由.20.(12分)某地既有耕地100000亩，规划后粮食单产比目前增长22%,人均粮食占有量比目前提高10%。如果时，f(x)的展开式中含x²项的系数取最小值，并求出这个最小值