导学案数学第六章64643第3课时正弦余弦定理的综合应用

第3课时正弦、余弦定理的综合应用【学习目标】1.会用三角形的面积公式解决相关问题.2.体会正弦、余弦定理在边角互化中的应用.3.能够利用正弦、余弦定理解决三角形中的综合问题.【素养达成】数学运算逻辑推理数学运算类型一三角形面积公式的应用(数学运算)【典例1】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,求该四边形的面积.【解析】连接BD如图,在△BCD中,由已知条件,∠DBC=180°-所以∠ABD=90°.在△BCD中,由余弦定理知,BD2=BC2+CD22BC·CDcosC=22+222×2×2×cos120°=12,所以BD=23,所以S四边形ABCD=S=12×4×23+12×2×2×sin120°=5【补偿训练】记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,c=6,B=π3,则AC边上的高为(A.217 B.2217 C.321【解析】选D.由b2=a2+c22accosB=16+362×4×6×12=28,得b=27设AC边上的高为h,因为S△ABC=12acsinB=12所以h=acsinBb=4×6×即AC边上的高为621【总结升华】三角形面积公式的应用(1)根据面积公式,由已知条件构造所需的要素,主要是两边与夹角;(2)对于四边形等非三角形图形,一般需要先添加辅助线转化为求几个三角形的面积和.【即学即练】(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2c2=2ab.(1)求B;(2)若△ABC的面积为3+3,求c.【解析】(1)由余弦定理可得:cosC=a2+b因为C∈(0,π),所以C=π4,所以2cosB=sinC=22,即cosB=因为B∈(0,π),所以B=π3(2)由(1)可得A=πBC=512π,设△ABC外接圆的半径为R由正弦定理可得:asinA=bsinB=csinC=2R,所以b=3R所以S△ABC=12bcsinA=12·3R·2R·6+24=3+3,解得R类型二正弦、余弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例2】已知△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足ac(sinAsinC)=(a2+c2b2)sinC.(1)若C=π12,求sin2B(2)若a=5,b=6,求边c的值.【解析】(1)由ac(sinAsinC)=(a2+c2b2)sinC,得2ac(sinAsinC)=2(a2+c2b2)sinC,即(sinAsinC)=2·a2+c由余弦定理得sinAsinC=2sinCcosB,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=sinC+2cosBsinC,故sinBcosCcosBsinC=sinC,即sin(BC)=sinC,又B∈(0,π),C∈(0,π),BC∈(π,π),故BC=C或BC+C=π,即B=2C或B=π(舍),而C=π12,故B=2C=π得2B=π3,得sin2B=3(2)由ac(sinAsinC)=(a2+c2b2)sinC,结合正弦定理得ac(ac)=(a2+c2b2)c,得a2ac=a2+c2b2,即b2=c2+ac,由a=5,b=6,得c2+5c36=0,即c=4或c=9(舍去),故c=4.【总结升华】关于正弦、余弦定理的综合应用(1)此类题目往往同时用到两个定理,因此要综合分析已知条件,确定应用正弦定理、余弦定理的顺序,先求出中间条件,再得出最后结论;(2)在平面几何中求边、求角,通常需要先找到所求边、角所在的三角形,然后在三角形中借助正弦、余弦定理进行求解.【即学即练】如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=2,BC=3,AB⊥AD,AC⊥CD.(1)若sin∠BAC=14,求sin∠BCA(2)若AD=3AC,求AC.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠BCA=BCsin∠BAC,即解得sin∠BCA=612(2)设AC=x,AD=3x,在Rt△ACD中,CD=AD2-Asin∠CAD=CDAD=2在△ABC中,由余弦定理的推论得,cos∠BAC=AB2+又∠BAC+∠CAD=π2所以cos∠BAC=sin∠CAD,即x2-1整理得3x28x3=0,解得x=3或x=13即AC=3.【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2cosA-cos(1)证明:C=2A;(2)记边AB和BC上的高分别为hc和ha,若hc∶ha=1∶3,判断△ABC的形状.【解析】(1)因为2cosA-cosBcosC+1=bc,由正弦定理得,sinC(2cosAcos整理可得,2sinCcosA=sinBcosC+sinCcosB+sinB=sinA+sinB,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,于是sinCcosAcosCsinA=sinA,即sin(CA)=sinA,因为A,C∈(0,π),所以0<CA<π,所以CA=A或CA=πA(舍去),所以C=2A;(2)根据等面积法可知S△ABC=12AB·hc=12CB·ha,即c·hc=a·h由hc∶ha=1∶3,可得c=3a,又由C=2A及正弦定理可得,asinA=csinC=解得cosA=32由于A∈(0,π),所以A=π6所以B=πAC=π2,所以△ABC是直角三角形类型三三角形中的中线与角平分线问题(逻辑推理、数学运算)角度1角平分线问题【典例3】已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2=3b2+c2,且sinC=2sinB.(1)求角A的大小;(2)若b+c=6,点D在边BC上,且AD平分∠BAC,求AD的长度.【解析】(1)因为sinC=2sinB,由正弦定理可得:c=2b,因为a2=3b2+c2,所以a2=3b2+(2b)2=7b2,即a=7b,由余弦定理可得,cosA=b2+c2-在△ABC中,A∈(0,π),所以A=2π3(2)由(1)可知,A=2π3,c=2b所以c=2bb设AD=x,由AD平分∠BAC,所以S△ABD+S△ADC=S△ABC,即12cxsinπ3+12bxsinπ3=1解得x=bcb+c故AD的长度为43【总结升华】三角形角平分线问题的解题策略等面积法:根据S△ABD+S△ACD=S△ABC列方程求解,即12c·ADsinA2+12b·ADsinA2=12bcsinA,其中AD【即学即练】(2024·哈尔滨高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且csinB+3bcosC=3a,b=3.(1)求角B;(2)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD的长.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理及csinB+3bcosC=3a,得sinBsinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+3cosBsinC,即sinBsinC=3cosBsinC,而sinC≠0,解得tanB=3,又B∈(0,π),所以B=π3(2)由B=π3及余弦定理得3=c2+a2ac=(c+a)23ac,又a+c=2,解得ac=13,由S△ABC=S△ABD+S△BDC得12acsinB=12c·BD·sinB2+12a·BD·sinB2,即acsinπ3=BD·(c+a)sinπ6,则13×角度2中线问题【典例4】(一题多解)在△ABC中,a=7,S△ABC=63,cosB=17(1)求b;(2)求AC边上的中线.【解析】(1)因为B∈(0,π),cosB=17故sinB=43所以S△ABC=12acsinB=7c2×4解得c=3,故b2=a2+c22accosB=49+92×3×7×(17)=64,故b=8(2)方法一:如图所示,D是AC中点,连接BD,cos∠ADB=42+BD2-322×4×BD,cos∠故42+BD2-322×4×BD=方法二:=12(+),=14(+2·+),=1432+2×3×7×17+72=13,||=13.【总结升华】三角形中线问题的解题策略(1)余弦定理法:根据cos∠ADB=cos∠ADC,利用余弦定理列方程求解(AD为中线);(2)向量法:=14=14+14+12||||cosA.【即学即练】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足asinB=3bcosA.(1)求角A的大小;(2)若BC边上的中线AD=7,且c=4,求b的值.【解析】(1)由asinB=3bcosA及正弦定理可得sinAsinB=3sinBcosA,因为A,B∈(0,π),则sinB>0,可得sinA=3cosA>0,则tanA=3,因此A=π3(2)因为=+=+12=+12()=12(+),所以2=+,所以4==++2·,即28=4=c2+b2+2bccos∠BAC=c2+b2+bc,即b2+4b12=0,解得b=2(负值舍去).【补偿训练】在△ABC中,三边a,b,c的对角分别为A,B,C,已知a=3,cosB+cosA(1)若c=23,求sinA;(2)若AB边上的中线长为372,求△ABC的面积【解析】(1)因为cosB+cosA由正弦定理,得cosB+cosA所以-cos(A所以sinAsinC=3sinAcosC.又因为sinA≠0,所以tanC=3.因为C∈(0,π),所以C=π3又因为asinA=csinC,所以所以sinA=34(2)设AB边上的中线为CD,则2=+,所以4==b2+a2+2abcosC,即37=b2+9+3b,b2+3b28=0