二项式定理专项训练解析版

二项式定理专项训练解析版目录二、分类训练（一）.求二项式特殊项问题1．若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（

）A． B． C．60 D．240【答案】C【详解】由题意，解得．展开式通项为，由得，解得，∴常数项为．故选：C．2．若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（

）A．32 B．64 C．80 D．16【答案】C【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得，即二项式为，因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得，即二项式为，则该二项式展开式的通项为，令，解得，则展开式中的系数为.故选：C.3．的展开式中系数最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】B【详解】易知的展开式的各项系数分别为，由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项.故选：B.4．已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（

）A．60 B． C．448 D．【答案】A【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，故选：A.5．若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（

）A． B．252 C．7 D．8【答案】A【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则，解得，可得的展开式的通项为，令，解得，所以含项的系数为.故选：A.6．若，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，取，得，A错误；对于B，展开式中项的系数为，B错误；对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取，得，C正确；对于D，取，得，取，得，联立解得，因此，D错误.故选：C7．（多选）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则（

）A． B．所有项的系数和为1C．没有常数项 D．的系数为14【答案】BCD【详解】因为第4项与第5项的二项式系数相等，所以，解得，故A错误;令，可得展开式中所有项的系数和为，故B正确;在中，第项，取，即，所以不存在常数项，故C正确;取，即，所以，所以的系数为14，故D正确.故选：BCD（二）与三项式相关问题1．的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知，的展开式的通项为，又的展开式的通项为，，所以的展开式的通项为，令，则，所以含的项的系数为，令，则，所以含的项的系数为，令，则，所以含的项的系数为，综上，的展开式中所有二次项的系数和为.故选：A.2．已知展开式中的系数为，函数的图象过点，则（

）.A．2 B． C． D．1【答案】D【详解】在的展开式中，要得到含的项，则有个因式中取，个因式中取项，故的系数为．又函数的图象过点，所以，解得，所以.故选：D3．已知，则（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【详解】解：令，得；令，得，则，故选：B4．关于的展开式，下列判断正确的是（

）A．该展开式各项的系数之和为B．该展开式各项系数的绝对值之和为720C．该展开式中含的各项系数之和为D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64【答案】C【详解】对于A，取，得展开式各项的系数之和为1，A错误；对于B，展开式的通项公式为，，当时，展开式的通项公式为，此时，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，展开式各项系数的绝对值之和为，B错误；对于C，展开式中含的各项系数之和为，C正确；对于D，展开式中不含字母的各项即展开式的各项，取，得展开式的各项系数和为0，D错误.故选：C5．（多选）关于的展开式，下列结论正确的是（）A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0C．常数项为 D．系数最大的项为第3项【答案】ABC【详解】，得二项式的系数和为，故A正确；令得所有项的系数和为0，故B正确；常数项，故C正确；由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.故选：ABC6．的展开式中，常数项为.【答案】【详解】的展开式的通项公式为，，令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项，的展开式的通项公式为，，令可得，所以的展开式中常数项为，的展开式的通项公式为，，令可得，所以的展开式中不存在常数项，的展开式的通项公式为，，令可得，所以的展开式中的常数项为，又的展开式中没有常数项，所以的展开式的常数项为故答案为:（三）整除与余数问题1．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，，对于A，，，不能被5整除，A不是；对于B，，，不能被5整除，B不是；对于C，，，能被5整除，C是；对于D，，，不能被5整除，D不是.故选：C2．设，且，若能被13整除，则a等于（

）A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【详解】因为，且，所以，因为能被13整除，所以能被13整除，又，所以．故选：B.3．除以的余数为.【答案】1【详解】因为，所以除以的余数是故答案为：4．被15除所得余数为．【答案】1【详解】，而是15的倍数，所以被15除所得余数为1.故答案为：15．（1）用二项式定理证明能被100整除；（2）求被100除所得的余数．【答案】（1）证明见解析；（2）81．【详解】（1）因为．故能被100整除．（2），因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数．又．前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为，故被100除所得的余数为81．（四）多个二项式积的相关问题1．（多选）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】由，所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确；的展开式中，的系数为，的系数为，则，故B错误；令，得，故C正确；令，得，所以，，故D正确；故选：ACD.2．（多选）已知（，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】的展开式的通项公式为，令，得，令，得，则含有的项为，所以，故A正确；令，碍①，而，所以，故B错误；令，得②，（①-②）÷2得，故C正确；，令，得，所以，故D正确，故选：ACD．3．的展开式中常数项为（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【详解】展开式的通项，显然，则当，即时，，所以的展开式中常数项为.故选：A4．在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．20【答案】B【详解】先求展开式中含，的项，易知，显然其不含，含的项分别为：，，所以在的展开式中，的系数为.故选：B.5．（多选）已知，则（

）A．的值为2B．的值为80C．的值为D．【答案】ACD【详解】对于A，令，可得，故A正确；对于B，含的项为，所以，故B错误，对于C，令得，，令，，所以，，所以，故C正确；对于D，令，可得，两边同乘以，可得，故D正确；故选：ACD.6．的展开式中的系数为.【答案】【详解】的展开式通项为，因为，在中，其通项为，令，在中，展开式通项为，令，可得，所以，的展开式中的系数为.故答案为：.（五）与系数和有关的问题1．的展开式中，所有项的系数和为．【答案】1024【详解】因为，二项式的展开式中取，可得展开式中所有项的系数和为，故答案为：.2．在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为．【答案】【详解】由各项系数的和为0可知，令，即，解得；因此的展开式中含有的项为.故答案为：3．若，求：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)129；(2)8256；(3)；(4)16384.【详解】（1）令，则，令，则①，．（2）令，则②，由，得.（3）由，得．（4）法一：展开式中均小于零，均大于零，.法二：，即为展开式中各项的系数和，．4．已知，求解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)1；(2)；(3)；(4).【详解】（1）令，得①．（2）令，得②，由①②，得，.（3）相当于求展开式的系数和，令，得．（4），两边分别求导，得，令，得．5．设.(1)求；(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；(3)若，求.【答案】(1)(2)20，21，22(3)【详解】（1）由，令，可得；令，可得；所以.（2）由题意知的展开式的通项为，，所以，.因为是中唯一的最大值，可得，即，解得，所以的所有可能取值为20，21，22.（3）由题意可得：，所以，，则.因为，所以.6．设，求值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)80(2)2(3)【详解】（1）由二项式定理可知，在展开式中，第项为．

当时，展开式中含的项的系数为，∴．（2）令，得，即．

令，得，即，∴．（3）令，得，即．

∴．（六）多个二项式和的相关问题1．已知的展开式中的系数为0，则的值为（

）A． B． C．640 D．1280【答案】A【详解】依题意，展开式中项为，其系数为，展开式中项，其系数为，由展开式中的系数为0，得，所以.故选：A2．设，则（

）A．120 B．84 C．56 D．36【答案】A【详解】由题意可知：，故选：A3．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题知，故选：D．4．在的展开式中，的系数是（

）A．690 B． C．710 D．【答案】D【详解】观察原式