中考数学难点突破与训练：全等三角形中的对角互补模型（含答案及解析）

专题04全等三角形中的对角互补模型

【模型展示】

【模型证明】

【结论一】（对角互补——含90°角）

如图，在四边形ABCD中，Zl=90°,/2=90°,BA=BC,连接BD,延长DA至

解决方案

E,使得AE=DC,则有以下结论成立：

©△BAE^ABCD;②ABED为等腰RtA

B

【证明】

①证明：证明：•.,Zl+Z2=180°,

：.ZBAD+ZC=18Q°,

：.ZBAE=ZBCD

在ABAE和小BCD中

rAE=CD

\ZBAE=ZBCD

IAB=BC

:.△BAEM/\BCD(.SAS').

②证明：

•:ABAE义ABCD

：.ZEBA=ZDBC,BE=BD

"：ZDBC+ZABD=90°

ZEBA+ZABD=ZEBD=90°

/.AEBD为等腰RtA

【结论二】（对角互补——含60。角）

如图，在四边形ABCD中，Zl=60°,/2=120°,BA=BC,连接BD,延长DA至E,使得

AE=DC,则有以下结论成立：

©△BAE^ABCD;②ABED为等边△

2

【题型演练】

一、单选题

1.R3ABC中，AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,/MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、

AC交于E、F两点.下列结论

万1

①(BE+CF)="BC,②SAAEFW/AABC，③S四边形AEDF=AD-EF,(4)AD>EF,⑤AD与EF可能互相平分，

24

其中正确结论的个数是【】

3

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

2.如图，在RSABC和RtABCD中，ZBAC=ZBDC=90°,BC=8,AB=AC,ZCBD=30°,BD=",

M,N分别在8。，CO上，ZMAN=45°,则△OWN的周长为.

3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,/ABC=NCZM=90°,BELAO于E,S四边形.CD=1°，则BE的长为

三、解答题

4.(1)如图(1)点尸是正方形ABC。的边CD上一点(点P与点C,。不重合)，点石在BC的延长线上,

MCE=CP,连接BP,DE.求证：4BCP冬ADCE；

(2)直线EP交A。于R连接BEFC.点G是PC与8尸的交点.

①若CO=2PC时，求证：BPLCF-,

②若CD=n・PC(71是大于1的实数)时，记4BPF的面积为Si,ADPE的面积为S2.求证：Si=(n+1)S2.

5.已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P,。分别从顶点A,B同时出发，沿线段AB,BC运动,

4

且它们的速度均为Icm/s.当点P到达点8时，P、。两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).

(1)如图1,连接A。、CP,相交于点M,则点P,。在运动的过程中，/CM。会变化吗？若变化，则说

明理由；若不变，请求出它的度数.

(2)如图2,当t为何值时，APB。是直角三角形？

(3)如图3,若点P、。在运动到终点后继续在射线AB、上运动，直线A。、CP交点、为M,请直接写

出NCMQ度数.

6.如图1,在等腰直角三角形ABC中，AB^AC,/BAC=90°,点E,尸分别为AB,AC的中点，X为线段

上一动点(不与点E,尸重合)，过点A作AG_LAH且AG=AH,连接GC,HB.

(1)证明：AHB四AGC；

(2)如图2,连接GF,HG,HG交AF于点Q.

①证明：在点X的运动过程中，总有NHFG=90。；

②当AQG为等腰三角形时，求NAHE的度数.

7.回答问题

(1)【初步探索】如图1：在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、尸分别是BC、C£)上的点,

且EF=BE+FD,探究图中/BAE、ZFAD.2E4尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长ED到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△再证明

AAEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是；

(2)【灵活运用】如图2,若在四边形A8CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、/分别是BC、CD上的点,

且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

5

(3)【拓展延伸】知在四边形ABCZ)中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD,若点E在C8的延长线上，点尸

在C。的延长线上，如图3所示，仍然满足E1BE+FD,请直接写出NEAF与ND4B的数量关系.

G

图1图2图3

8.在/M4N内有一点过点。分别作/汨_LAM,DC±AN,垂足分别为B,C.且比＞=CD,点E,

厂分别在边A"和AN上.

(2)如图2,若/%＞。=120。，Z£E＞F=60°,猜想跖，BE,CF具有的数量关系，并说明你的结论成立

的理由.

9.如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,点E,F分别在四边形ABCD的边BC,CD

连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.

将小ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，由NB+NADC=180。，得/FDG=180。，即点F,

D,G三点共线，易证AAFG丝AAFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为_；

(2)类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上，NEAF=

6

|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且/DAE=45。，若BD=1,EC=2,

直接写出DE的长为.

10.五边形A8COE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°,求证：平分NCDE.

11.探究问题:

(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足/BAF=45。，连接EF,求证DE

+BF=EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,此时AB与

AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,ZABG+ZABF=90°+

90。=180。，因此，点G,B,F在同一条直线上.

ZEAF=45°.\Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

N1=N2,Zl+Z3=45°.

即/GAF=/.

又AG=AE,AF=AE

/.AGAF^A_________.

=EF,故DE+BF=EF.

(2)方法迁移：

如图②，将RtAABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且NEAF=g/DAB.试

猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

7

A

D

sb_\l(j

FL

12.在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,AD_L5c于点D,

(1)如图1,点M,N分别在AD,A5上，且/3MN=90。,当Z4A»V=30。，AB=2时，求线段AM的

长；

(2)如图2,点E,尸分别在A3,AC上，且NEDR=90。，求证：BE=AF；

(3)如图3,点〃在AD的延长线上，点N在AC上，且/3MN=90。，求证：AB+AN^^AM',

13.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，ZEDF=120°,把NEDF绕点D旋

转，使NEDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F.

(1)当DF_LAC时，求证：BE=CF；

(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由

14.在一ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。为直线BC上一动点(点。不与8,C重合)，以AO为直

角边在A。右侧作等腰直角三角形AOE(/ZM£=90。，AD=AE),连接CE.

(1)如图1,当点。在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由；

(2)如图2,当点。在线段C8的延长线上时，(1)题的结论是否仍然成立？说明理由；

(3)如图3,当点。在线段BC的延长线上时，结论(1)题的结论是否仍然成立？不需要说明理由.

8

E

图1图2图3

15.如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

(1)性质探究：如图1.已知四边形ABC。中，ACLBD.垂足为。，求证：AB2+CD2=AD2+BC2；

(2)解决问题：己知AB=56.BC=4&,分别以△ABC的边8c和向外作等腰放△8CE和等腰放△ABD；

①如图2,当NAC8=90。，连接。E,求。E的长；

②如图3.当NAC8R90。，点G、H分别是A。、AC中点，连接GH.若GH=2«,贝|S」A8C=.

16.(1)如图①，在四边形A3CD中，AB=AD,ZB=ND=90。，E,尸分别是边3C,CD上的点，且

ZEAF=^ZBAD.请直接写出线段EB,BE,ED之间的数量关系：;

(2)如图②，在四边形A3CD中，AB=AD,ZS+ZD=180°,E,尸分别是边8C,8上的点，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

(3)在四边形ABC。中，AB=AD,N3+ND=180。，E,尸分别是边BC,CD所在直线上的点，且

ZEAF=^ZBAD.请画出图形(除图②外)，并直接写出线段跳BE,F£＞之间的数量关系.

9

17.四边形ABCD是由等边AABC和顶角为120。的等腰AABD排成，将一个60。角顶点放在。处，将60。角

绕。点旋转，该60。交两边分别交直线8C、AC于V、N,交直线于E、尸两点.

(1)当E、歹都在线段上时(如图1),请证明：BM+AN=MN-

(2)当点E在边应1的延长线上时(如图2),请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系，并证明你的

结论;

(3)在(1)的条件下，若AC=7,AE=2A,请直接写出MB的长为

18.如图1,四边形ABCD中，BD±AD,E为BD上一点，AE=BC,CE_LBD,CE=ED

(2)如图2,F为AD上一点，AF=DE,连接BF,交BF交AE于G,过G作GHLAB于H,ZBGH=

75°.求证：BF=2&GH+0EG.

19.问题背景

如图(1),在四边形ABCD中，ZB+ZD=180°,AB=AD,ZBAD=a,以点A为顶点作一个角，角的两

边分别交BC,CD于点E,F,且/EAF=3a,连接EF,试探究：线段BE,DF,EF之间的数量关系.

10

B

图（1）

（1）特殊情景

在上述条件下，小明增加条件“当NBAD=/B=/D=90。时”如图（2）,小明很快写出了：BE,DF,EF之

间的数量关系为.

（2）类比猜想

类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE,DF,EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，

请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由.

（3）解决问题

如图（3）,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,点D,E均在边BC上，且NDAE=45。，若BD=0,

请直接写出DE的长.

11

专题04全等三角形中的对角互补模型

【模型展示】

【模型证明】

12

①证明：证明：VZ1+Z2=18O°,

：.ZBAD+ZC=18Q°f

:.ZBAE=ZBCD

在ABAE和ABCD中

AE=CD

ZBAE=ZBCD

AB=BC

：./\BAE^/\BCD(SAS).

②证明：

'：/\BAE^/\BCD

：.ZEBA=ZDBC,BE=BD

VZDBC+ZABD=90°

：.ZEBA+ZABD=NEBD=90°

：.AEBD为等腰R3

【结论二】（对角互补——含60。角）

如图，在四边形ABCD中，Zl=60°,Z2=120°,BA=BC,连接BD,延长DA

至E,使得AE=DC,则有以下结论成立：

©△BAE^ABCD;②ABED为等边△

【证明】

①证明：证明：：/1+/2=180°,

：.ZBAD+ZC=18Q°,

：.ZBAE=ZBCD

在4^4后和4BCD中

AE=CD

NBAE=/BCD

<

AB=BC

:•△BAE"XBCD(SAS).

13

②证明：

△BAE义工BCD

：.ZEBA=ZDBC,BE=BD

:ZDBC^ZABD=60°

：.ZEBA+ZABD=ZEBD=60Q

：.AEBD为等边△

【题型演练】

一、单选题

1.R3ABC中，AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,NMDN绕点D旋转，DM、

DN分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论

@(BE+CF)=—BC,②SAAEPV！S.C，③S四边形AEDF=AD-EF,@AD>EF,⑤AD与EF可

24

能互相平分，

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】解:ABC中，AB=AC,点D为BC中点.ZMDN=90°,

AAD=DC,ZEAD=ZC=45°,ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.

/.△EDA^AFDC(ASA).

，AE=CF.

BE+CF=BE+AE=AB.

在RtAABC中，根据勾股定理，得AB=、^BC.

2

(BE+CF)=^BC.

2

结论①正确.

设AB=AC=a,AE=b,贝|AF=BE=a—b.

SAAEF_^SAABC=^-AE-AF--AB-AC=-1b(a-b)-a2=-(a-2b)-<0.

SAAEF-4^AABC•

结论②正确.

如图，过点E作EILAD于点I,过点F作FGJ_AD于点G,过点F作FHLBC于点H,

14

ADEF相交于点O.

•/四边形GDHF是矩形，△AEI和4AGF是等腰直角三角形，

.1.EO>EI（EF_LAD时取等于）=FH=GD,

OF>GH（EF_LAD时取等于）=AG.

EF=EO+OF>GD+AG=AD.

•••结论④错误.

,.,△EDA^AFDC,

11

1•S四边形AEDF=^AADC=5',DC=AD"<AD"<AD-EF.

.♦•结论③错误.

又当EF是RtAABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分.

.♦•结论⑤正确.

综上所述，结论①②⑤正确.故选C.

二、填空题

2.如图，RtAABCRtABCD,ZBAC=ZBDC=90°,8C=8,AB=AC,ZCBD=

30°,BD=46,M,N分别在2。，C£>上，ZMAN^45°,则△DMN的周长为.

【答案】4G+4.

【分析】将4ACN绕点A逆时针旋转,得到△ABE,由旋转得出NN4E=90。,AN=AE,/ABE

=ZACD,NEAB=/CAN,求出根据SAS•推出△AEMg根据

全等得出求出MN=CN+BM,解直角三角形求出。C,即可求出AOMN的周长

=BD+DC,代入求出即可.

【详解】将AACN绕点A逆时针旋转，得到AABE,如图：

15

由旋转得：NNAE=90。,AN=AE,ZABE=ZACD,NEAB=/CAN,

,：ZBAC=ZD=90°,

：.ZABD+ZACD^360°-90°-90。=180。，

ZABD+ZABE=180°,

：.E,B,M三点共线，

'：ZMAN=45°,ZBAC=90°,

：.NEAM=NEAB+/BAM=NCAN+NBAM=ABAC-/MAN=90°-45°=45°,

NEAM=/MAN,

在△AEM和△AM0中,

AE=AN

<ZEAM=NNAM,

AM=AM

:AAEM”AANM(SAS),

：.MN=ME,

：.MN=CN+BM,

,在RtABCZ)中，/BDC=90。,ZCBD=30°,20=44，CD=BDxtanZCBD=4,

ADMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=46+4,

故答案为4百+4.

【点睛】此题主要考查利用三角形全等的性质和解直角三角形，进行等量转换，关键是做辅

助线.

3.如图，在四边形ABC。中，AB=BC,/ABC=/CZM=90°,BELAO于E,S四边形Me"=1。，

则BE的长为

【答案】M

【分析】过点B作板，CD交DC的延长线交于点F,证明..AEBaCFB(AAS)推出

BE=BF，SABE-SBFC，可得S四边形ABCD=S正方形BEDF=12,由此即可解决问题；

16

【详解】解：过点B作3PLeD交DC的延长线交于点F,如右图所示,

BFYCD,BE±AD

4FC=/BEA=90

,NABC=/ADC=90

.•2ABE+"BC=90,4BC+/CBF=90

，/ABE=/CBF

AB=CB

/./AEB之CFB(AAS)

；.BE=BF，S=SBFC

一S四边形ABCD=S正方形BEDF=10,

.-.BExBF=10,

即BE?=10,

/.BE=Vw,

故答案为

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题，属于中考常考题型.

三、解答题

4.（1）如图（1）点尸是正方形A8C。的边C。上一点（点P与点C,。不重合），点E在

的延长线上，且CE=CP,连接BP,DE.求证：ABCP/ADCE；

（2）直线EP交于R连接8尸，FC.点G是尸C与8P的交点.

①若C£>=2尸C时，求证：BP±CF；

②若CD=mPC（71是大于1的实数）时，记△BPF的面积为Si，ADPE的面积为S2.求证：

Sl=（〃+1）$2.

【答案】（1）证明见解析;

17

(2)①证明见解析；②证明见解析.

【分析】(1)由S4s即可证明△3CP2△OCE.

(2)①在(1)的基础上，再证明△BC尸也△CDR进而得至IJN尸CO+N3PC=90。，从而证

明5尸，。尸；@^CP=CE=1,贝IJ5C=CD=〃，DP=CD-CP=n-l,分别求出S/与S2的值，得

H二万(九+1)(〃—1),S2=—(n—1),所以S尸("+1)S2结论成立.

BC=CD

【详解】证明：(1)・・•在△3C尸与△DCE中，\ZBCP=ZDCE=9O0

CP=CE

:・ABCP%ADCE(SAS).

(2)①•：CP=CE,ZPCE=90°,

：.ZCPE=45°,

；・NFPD=NCPE=45。,

ZPFD=45°f

：.FD=DP.

■:CD=2PC,

：.DP=CP,

：.FD=CP.

BC=CD

•・•在△BC尸与△C。尸中，<ZBCP=ZCDF=90°

CP=FD

：.ABCP^ACDF(SAS),

ZFCD=ZCBP.

・・・NCBP+NBPC=90。,

・•・ZFCD+ZBPC=90°f

AZPGC=90°,BPBP±CF.

®^CP=CE=1,贝I]BC=CD=*DP=CD-CP=n-1

易知△尸。尸为等腰直角三角形，

：.FD=DP=n-l.

,Si二S梯形Be。/-S&BCP-S"DP=g(BC+FD>CD-；BC-CP-；FD.DP

=g(?7+〃_l)“7-gwJ-；(〃-1)-=步T)=*+1)(〃T)

S2=1z)P-CE=1(/j-l)-l=1(n-l)

:.S尸(M+1)S2.

【点睛】本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

18

角形、图形的面积等知识点，试题的综合性强，难度较大.

5.已知，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P,。分别从顶点A,8同时出发，沿线

段AB,BC运动，且它们的速度均为lcm/s.当点尸到达点B时，P、。两点停止运动.设

点尸的运动时间为t(s).

(1)如图1,连接AQ、CP,相交于点则点P,。在运动的过程中，NCMQ会变化吗？

若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数.

(2)如图2,当t为何值时，APB。是直角三角形？

(3)如图3,若点P、。在运动到终点后继续在射线AB、8C上运动，直线A。、CP交点为

M,请直接写出/CM。度数.

48

【答案】(1)不变，60°；(2)］或§；(3)120°.

【分析】(1)通过证得到NBA2=NACP,所以由三角形外角定理得到

ZCMQ=ZACP+ZCAM=ZBAQ+ZCAM=ZBAC=60°；

(2)需要分类讨论：分/尸。8=90。和/8尸。=90。两种情况；

(3)通过证△丝△CAP得到所以由三角形外角定理得到

ZCMQ=ZBAQ+ZAPC=ZACP+ZAPC=180°-ZBAC=120°.

【详解】(1)不变.在△A3。与△CAP中，

AB=AC

•：\NB=ZCAP=60°,

AP=BQ

：./\ABQ^/\CAP(SAS),

ZBAQ=ZACP,

：.ZCMQ=ZACP+ZCAM=ZBAQ+ACAM^ZBAC=60°；

(2)设时间为t,贝l|AP=BQ=t,PB=4-t,

①当/尸。2=90。时，VZB=60°,

：.PB=2BQ,

4

・・4-U2Kt——；

3

②当/BPQ=90。时，'：ZB=60°,

：.BQ=2BP,

19

Q

t=2(4-r),t=-；

48

，当第］秒或第§秒时，APB。为直角三角形;

（3）在△480与小CAP中，

AB=AC

,.JNB=ZCAP=60°,

AP=BQ

：.AAB^ACAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP,

：.ZCMQ=ZBAQ+ZAPC=ZACP+ZAPC=180°-ZBAC=120°.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

6.如图1,在等腰直角三角形A3C中，AB^AC,N54C=90。，点E,尸分别为AB,AC

的中点，以为线段所上一动点（不与点£,尸重合），过点A作AGLA8且AG=AH,连接

GC,HB.

（1）证明：AHB2AGC；

（2）如图2,连接GF,HG,HG交A尸于点Q.

①证明：在点”的运动过程中，总有/HPG=90。；

②当AQG为等腰三角形时，求/AHE的度数.

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当AAQG为等腰三角形时，NAHE的度数为67.5。

或90°.

【分析】（1）根据SAS可证明△AHBgZVIGC；

（2）①证明△AEHgA4FG（SAS）,可得/A尸G=NAE〃=45。，从而根据两角的和可得结论；

②分两种情况：i）如图3,AQ=QG时，ii）如图4,当AG=QG时，分别根据等腰三角形的

性质可得结论.

【详解】（1）证明：如图1,

20

A

G

图1

由旋转得：AH=AG,ZHAG=9Q°,

'：ZBAC=90°,

NBAH=NCAG,

'：AB=AC,

：./\ABH^/\ACG(SAS)；

(2)①证明：如图2,在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,

:点E,尸分别为AB,AC的中点，

：.EF^45c的中位线，

J.EF//BC,AE=-AB,AF=-AC,

22

：.AE=AF,ZAEF=ZABC=45°,ZAFE=ZACB=45°,

•：ZEAH^ZFAG,AH=AG,

:.△AEHqAAFG(SAS),

：.ZAFG=ZAEH=45°,

：.NHPG=450+45°=90°；

②分两种情况：

z)如图3,AQ=QG时，

21

■：AQ=QG,

：.ZQAG=ZAGQ,

\"AG.LAHS.AG=AH,

：.ZAHG=ZAGH=45°,

：.ZAHG=ZAGH=ZHAQ=ZQAG=45°,

：.ZEAH=ZFAH=45°,

"：AE=AF,AH=AH,

：./\AEH^/\AFH(SAS),

ZAHE=ZAHF,

,：ZAHE+ZAHF=ISO°,

：.ZAHE=ZAHF=90°；

ii)如图4,当AG=QG时，ZGAQ=ZAQG,

ZAEH=ZAGQ=45°,

1800-45°

/.ZGAQ=ZAQG=——-——=67.5°,

,?ZEAQ=ZHAG=90°,

.".ZEAH=ZGAQ=61.5°,

：.NAHE=/AQG=67.5。；

为线段即上一动点（不与点E,歹重合），

不存在AG=A。的情况.

综上，当AAQG为等腰三角形时，的度数为67.5。或90。.

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰

三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢

解.

7.回答问题

（1）【初步探索】如图1：在四边形A8CD中，AB=AD,ZB=ZADC=9Q°,E、/分别是8C、

。上的点，且EF=BE+FD,探究图中/BAE、ZFAD./EA尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE沿AADG,

再证明△AEF四△AGR可得出结论，他的结论应是；

（2）【灵活运用】如图2,若在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、尸分别是

22

BC、CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)【拓展延伸】知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延

长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足请直接写出

与/D48的数量关系.

G

图1图2图3

【答案】(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF；(2)仍成立，理由见解析；(3)Z£AF=180°--ZDAB

2

【分析】(1)延长KD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE且AWG,进而得出

ZBAE=ZDAG,AE=AG,再判定△AEF/ZXAGR可得出

ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF,据止匕得出结论；

(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE咨AADG,进而得出ZBAE=ZDAG,

AE=AG,再判定AAEF丝ZiAGR可得出NEAP=NG4B=Nn4G+/ZMF=/A4E+/ZHB

(3)在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△AOGg/\ABE,再判定

△AEF冬AAGF,得出/砌E=/E1G,最后根据NE1E+N砌G+NGAE=360。，推导得到

2ZFAE+ZDAB=360°,即可得出结论.

【详解】解：(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF.理由：

如图1,延长尸。到点G,使。G=BE,连接AG,

G

图1

VZB=ZADF=90°,ZADG=ZADF=9O°,

：.ZB=ZADG=9Q°,

又；AB=AD,

AAABE^/XADG(SAS),

AZBAE=ZDAG,AE=AG,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^/\AGF(SSS),

23

：.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=NBAE+NDAF；

故答案为：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)仍成立，理由：

如图2,延长电)到点6,使DG=BE,连接AG,

G

图2

VZB+ZA£)F=180°,ZADG+ZA£)F=180°,

：.ZB=ZADG,

又：AB=A£),

.♦.△ABE沿AADG(SAS),

:.NBAE=NDAG,AE=AG,

•/EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^AAGF(SSS),

ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)ZEAF=]8Q0--ZDAB.

2

证明：如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,

G

图3

ZABC+ZA£)C=180°,ZABC+ZABE=180°,

ZADC=ZABE,

又

AADG^AABE(SAS),

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^AAGF(SSS),

ZFAE=ZFAG,

24

ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

：.2ZFAE+CZGAB+ZBAE)=360°,

：.2ZFAE+(NGAB+NDAG)=360°,

即2ZE4E+ZDAB=360°,

：.ZEAF=1SO0--ZDAB.

2

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综

合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推

导变形.解题时注意：同角的补角相等.

8.在/M4N内有一点。，过点。分别作DCLAN,垂足分别为B,C.且

BD=CD,点、E,尸分别在边AM和AV上.

(2)如图2,若/BDC=120。，/£»尸=60。，猜想所，BE,C尸具有的数量关系，并说

明你的结论成立的理由.

【答案】(1)见解析；(2)EF=FC+BE,见解析

【分析】(1)根据题目中的条件和？BED2CFD,可以证明ABDEvACDb,从而可以得

到DE=D尸；

(2)作辅助线，过点。作/CDG=/&)E,交4V于点G,从而可以得到ABDE=ACDG,

然后即可得到DE=DG,BE=CG,再根据题目中的条件可以得到AEDF=AGDF,即可得

至=然后即可得到E尸，BE,C尸具有的数量关系.

【详解】解：(1)DBLAM,DCLAN,

:.NDBE=NDCF=90。,

在ABDE1和ACD尸中，

ABED=ZCFD,

-ZDBE=ZDCF,

BD=CD,

NBDE=ACDF(AAS).

:.DE=DF；

(2)EF=FC+BE,

理由：过点、D作NCDG=NBDE,交AN于点G,

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在ABZ)石和ACDG中,

ZEBD=ZGCD

<BD=CD,

NBDE=NCDG

ABDE=ACDG(ASA),

:.DE=DG,BE=CG.

NBDC=120°,ZEDF=60°,

/.ZBDE+ZCDF=60°.

/.ZFDG=/CDG+/CDF=60°,

;"EDF=/GDF.

在AEDF和AG。尸中，

DE=DG

<ZEDF=ZGDF,

DF=DF

AEDF=bGDF(SAS).

:.EF=GFf

EF=FC+CG=FC+BE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

9.如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,NB+NADC=180。，点E,F分别在四边形ABCD

的边BC,CD上，ZEAF=|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.

A

图1图2图3

(1)思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，由NB+NADC=180。，得

ZFDG=180°,即点F,D,G三点共线，易证△AFGgZ\AFE,故EF,BE,DF之间的数

量关系为一;

26

(2)类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延

长线上，ZEAF=|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且NDAE=45。，若

BD=1,EC=2,直接写出DE的长为.

【答案】(1)EF=BE+DF；(2)EF=DF-BE；证明见解析；(3)瓜

【分析】(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，首先证明F,D,

G三点共线，求出NEAF=NGAF,然后证明八AFG^AAFE,根据全等三角形的性质解答；

(2)将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE，，首先证明E,D,F

三点共线，求出NEAF=/EAF,然后证明AAFEg/XAFE,根据全等三角形的性质解答;

(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD,使AB与AC重合，连接ED,同(1)可证

△AED2AED,求出/ECD』90。，再根据勾股定理计算即可.

【详解】解：(1)将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG,使AB与AD重合，

VZB+ZADC=180°,

.,.ZFDG=180°,即点F,D,G三点共线，

ZBAE=ZDAG,ZEAF=；ZBAD,

；./EAF=NGAF,

AE=AG

在4AFG和4AFE中，-NEAF=NGAF,

AF=AF

.'.△AFG^AAFE,

，EF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE；

证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE,贝IjAABE/ADE,

.•.ZDAE'=ZBAE,AE'=AE,DE'=BE,ZADE'=ZABE,

VZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

.1.ZADE'=ZADC,即E，，D,F三点共线，

：NEAF=J/BAD,

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，/E'AF=/BAD-(ZBAF+ZDAE')=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=ZBAD-ZEAF

=；/BAD,

AZEAF=ZE'AF,

AE=AE'

在4AEF和4AE'F中，-ZEAF=ZE'AF,

AF=AF

.'.△AFE^AAFE'(SAS),

.•.FE=FEl

又•.,FE，=DF-DE',

.,.EF=DF-BE；

(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD,使AB与AC重合，连接ED,

同（1）可证AAED丝AED',

.•.DE=D'E.

•.*ZACB=/B=NACD'=45。，

/.ZECD'=90°,

在RSECD中，ED=JEC，+0（2NEC?+BD?=6，即DE=君，

故答案为：卮

【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵

活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

10.五边形ABCDE中，AB^AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°,求证：A。平分

ZCDE.

【答案】见解析

【分析】延长DE至F,使得EF=BC,连接AC,易证△ABCg^AEF,得到所=3C,

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AC=AF然后证明4ADC^AADF即可解决问题.

【详解】延长DE至F,使得EF=BC,连接AC.

VZABC+ZAED=180°,ZAEF+ZAED=180°,

：.ZABC=ZAEF

VAB=AE,BC=EF,

/.△ABC^AAEF.

:.EF=BC,AC=AF

"：BC+DE=CD,

：.CD=DE+EF=DF,

.,.△ADC^AADF,

ZADC^ZADF

即AD平分NCDE.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解

题关键.

11.探究问题:

(1)方法感悟:

如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足/BAF=45。，连

接EF,求证DE+BF=EF.感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转

90。得到AABG,此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG

ND=90。，ZABG+ZABF=90°+90°=180°,因此，点G,B,F在同一条直线上.

•/ZEAF=45°.\Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

•;Z1=Z2,Zl+Z3=45°.

即ZGAF=Z________.

又AG=AE,AF=AE

AGAF^A________.

=EF,故DE+BF=EF.

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(2)方法迁移：

如图②，将RtAABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分另(］为DC,BC边上的点，且/EAF

=；/DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

【答案】(l)EAF、△EAF>GF；(2)DE+BF=EF.

【分析】(1)利用角之间的等量代换得出再利用SAS得出△GAF0△£14£

得出答案；

(2)将△AOE顺时针旋转90。得到△ABG,再证明△AGFg/XAER即可得出答案;

【详解】解：(1)如图①所示；

图①

根据等量代换得出NG4F=/^E,

利用SAS得出△GAF^/\EAF,

：.GF=EF,

故答案为RIE；AEAF；GF；

(2)DE+BF=EF,理由如下：

假设的度数为加，将△4ZJE绕点A顺时针旋转，,"。得到A