高考物理二轮复习4小题专题练（四）

小题专题练(四)立体几何1．如图所示的组合体可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()解析：选A.题中图是由两个不同的柱体与一个台体构成的组合体，两个柱体之间是一个台体，因此该几何体是由两个矩形与一个直角梯形绕两个矩形的一边和直角梯形的直角腰旋转而成的，故选A.2.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面 B．平行C．相交 D．以上均有可能解析：选B.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故选B.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()解析：选C.过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.4．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的四个侧面中面积最大的侧面的面积是()A.eq\f(9,2) B．6C．6eq\r(2) D．10解析：选C.由三视图知，该几何体是四棱锥P－ABCD，如图，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PCD，从而BC⊥PC，同理，BA⊥PA，由三视图给出的尺寸，知PD＝AD＝3，CD＝4，所以S△PDC＝eq\f(1,2)×4×3＝6，S△PAD＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，又PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝5，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×3×5＝eq\f(15,2)，又PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝3eq\r(2)，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×4＝6eq\r(2)，故选C.5．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条 B．6条C．12条 D．8条解析：选C.如图，P，E，F，H分别为AD，AB，A1B1，A1D1的中点，则平面PEFH∥平面DBB1D1，所以四边形PEFH的任意两个顶点的连线都平行于平面DBB1D1，共6条，同理在另一侧面也有6条，共12条．故选C.6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：选B.对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或是异面，故A不正确；对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，m⊥n，故B正确；对于C，α与β还可以平行或相交，故C不正确；对于D，α与β还可以相交，所以D不正确．故选B.7．如图，三棱锥S－ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC，则二面角A－BC－S的正切值为()A．1 B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：选C.∵三棱锥S－ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC，∴SA⊥平面SBC，且AB＝AC＝eq\r(SA2＋SB2)，如图，取BC的中点D，连接SD，AD，则SD⊥BC，AD⊥BC，则∠ADS是二面角A－BC－S的平面角，设SA＝SB＝SC＝1，则SD＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△ADS中，tan∠ADS＝eq\f(SA,SD)＝eq\f(1,\f(\r(2),2))＝eq\r(2)，故选C.8．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选D.连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).9．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，圆心为B，半径为1的圆与AB、BC分别交于E、F，则阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积等于()A．π B．6πC.eq\f(4π,3) D．4π解析：选B.由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆锥．该圆柱的底面半径R＝BA＝2，母线长l＝AD＝2，故该圆柱的体积V1＝π×22×2＝8π，半球的半径为1，其体积V2＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)，圆锥的底面半径为2，高为1，其体积V3＝eq\f(1,3)π×22×1＝eq\f(4π,3)，所以阴影部分绕直线BC旋转一周形成几何体的体积V＝V1－V2－V3＝6π.10．三棱锥A－BCD中，AB，BC，CD两两垂直，被称为“三节棍”．由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，直二面角共有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析：选B.由AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABD，平面ABC，得平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.又CD⊥平面ABC，CD⊂平面ACD，故平面ACD⊥平面ABC，所以A－BD－C，A－BC－D，D－AC－B都是直二面角.故选B.11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若平面A1BCD1上一动点P到AB1和BC的距离相等，则点P的轨迹为()A．椭圆的一部分 B．圆的一部分C．一条线段 D．抛物线的一部分解析：选D.设A1B与B1A相交于O，由题意AB1⊥平面A1BCD1，O为AB1的中点．易得点P到AB1的距离为PO，即点P到BC的距离等于点P到点O的距离，根据抛物线的定义知点P的轨迹为抛物线的一部分．12．已知三棱锥P－ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB＝2AC，若三棱锥P－ABC的体积为eq\f(9\r(3),16)，则球O的表面积为()A．9π B.eq\f(32π,3)C．16π D.eq\f(9π,2)解析：选A.由于三棱锥P－ABC的外接球的球心O在AB上，故AB为其外接球的一条直径，因此∠ACB＝90°.设球O的半径为r，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝2r，AC＝r，BC＝eq\r(3)r，所以S△ABC＝eq\f(1,2)r×eq\r(3)r＝eq\f(\r(3),2)r2.由于P为球O上一点，故PO＝r，又PO⊥平面ABC，所以VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)r·eq\f(\r(3),2)r2＝eq\f(\r(3),6)r3＝eq\f(9\r(3),16)，解得r＝eq\f(3,2)，所以球O的表面积为4πr2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝9π，故选A.13．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝eq\r(29)且λ>0，则实数λ＝________．解析：因为λa＋b＝(4，1－λ，λ)，所以|λa＋b|＝eq\r(42＋（1－λ）2＋λ2)＝eq\r(29)，所以λ2－λ－6＝0(λ>0)，所以λ＝3.答案：314．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________．解析：如图，以A1C1的中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0)).设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，eq\o(EB1,\s\up6(→))为平面ACC1A1的法向量，则sinθ＝|cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(EB1,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，－1))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，0)),\r(2)×\f(\r(3),2))))＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)15．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．解析：如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝2πr×2eq\r(1－r2)＝4πreq\r(1－r2)≤4π×eq\f(r2＋（1－r2）,2)＝2π(当且仅当r2＝1－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)时取等号)．所以当r＝eq\f(\r(2),2)时，eq\f(V球,V圆柱)＝eq\f(\f(4π,3)×13,π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)×\r(2))＝eq\f(4\r(2),3).答案：eq\f(4\r(2),3)16．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面A