河南省洛阳市2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题（解析版）

2024-2025学年第一学期八年级数学学科

期中试题

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是（）

A中B।玉।

。加D油

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形就叫做轴对称图形.

【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项A的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分

能够互相重合.故A选项是轴对称图形.

故选：A.

2.如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是（）

A.40°B.70°C.140°D,以上答案均不对

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了多边形的外角和和正多边形的定义.根据多边形的外角和定理求得正九边形的9

个相同外角的度数和，即可求得1个外角的度数，再根据1个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得

每个内角的度数.

【详解】解：•.•正九边形的外角和为360°,

度数是迎

•••正九边形每个外角=40°

9

•••正九边形每个内角的度数是180°-40°=140°.

故选：C.

3.如图，用尺规作出了NNCB=NAOC,作图痕迹中弧FG是（）

A.以点C为圆心，。。为半径的弧

B,以点C为圆心，DM为半径的弧

C.以点E为圆心，0。为半径的弧

D.以点E为圆心，DW■为半径的弧

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了作图-基本作图，运用作一个角等于已知角的方法可得答案，解题的关键是熟练掌握

作一个角等于已知角的方法.

【详解】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，QM为半径的弧，

故选：D.

4.如图，AB=AC,添加下列条件，不能使的是（）

A.ZB=NCB.ZAEB^ZADCC.AE=ADD.BE=DC

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题关键.根据全等三角

形的判定定理，逐项分析判断即可.

【详解】解：A.若N6=NC,AB=AC,利用“ASA”可证明△ABEZAACD,故本选项不符合题

思；

B.若NAEB=NADC,AB=AC,结合NA=/4,可利用“AAS”证明△ABEZAACD,故本选项

不符合题意；

C.若AE=AT>,AB=AC,结合NA=NA,可禾！］用“SAS”证明△ABEZAACD,故本选项不符合

题意；

D.若AB=AC,添加条件BE=DC,仍无法证明△ABEgAACD,该选项符合题意.

故选：D.

5.如图，VABC,VADE及△砂G都是等边三角形，D,G分别为AC,AE的中点.若A5=4,

则多边形ABCDEFG外围的周长是（）

A.12B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了等边三角形的性质，由等边△ABC可得45=5。=AC,而。是AC的中点可知

AD=CD=-xAC,同理等边△ADE、等边AERG中均可以将各边的关系表示出来，结合已知

2

AB=4,即可求得各边长；根据所求图形的周长即为从A点按顺序到G点的线段逐个相加，即

AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA,结合上步所求即可得到结果.

【详解】解：•.•△A5C是等边三角形，AB=4,

.-.AB=BC=AC=4.

是AC的中点，

:.AD=CD=-xAC=2.

2

•.•△ADE是等边三角形，AD=2,

:.AD=DE=AE=2.

•.•G是AE的中点，

AG=EG=-xAE=l,

2

同理，在AEEG中，

EF=FG=EG=1,

•••多边形ABCDEFG外围的周长是=A3+5C+CE>++石/+FG+G4=15,

故选：C.

6.如果将一副三角板按如图的方式叠放，则/I的度数为（）

1

45^

孑60。入

A.105°B.120°C.75°D.45°

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.

【详解】解：由三角形的外角性质可得：4=（90。-45。）+60。=105。，

故选：A.

【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角

的和.

7.如图，在VABC中，D,E,歹分别是边AC,BD,CE的中点，且阴影部分的面积为7,则

VA3C的面积为（）

A.14B.21C.24D.28

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解

答.由E是CE的中点可得£ACE=2S“AEF=2X7=14,由E是的中点可得l从小=gs/BD，

S^CDE=3s&CBD,从而得到,再由S^ADE+S^CDE=S^A（JE=14即可得到答案.

【详解】解：解：・・•万是CE的中点，

S&ACE=2s△的=2x7=14，

・・•石是的中点,

9=

•,S^ADE~5^^ABDS^CDE万SACBD9

一Q=

^^ADE+SqE~5SD+]^ABD^CBD+^ABD)~ABC'

,*e^AADE+SACDE=S.4CE=14,

.*.SABC=2(SADF+S「加)=28，

故选：D.

8.如图，在平面直角坐标系x0y中，VABC为等腰三角形，A13=AC,轴，若

42,5),8(—1,1),则点c的坐标为()

A.(2,3)B.(3,1)C.(5,1)D.(1,5)

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点A作AEJ_x轴,交BC于点、D,求出。点坐标，根据三

线合一，得到。为民C的中点，进而求出C点坐标即可.

【详解】解：过点A作轴，交BC于点D,

OlEX

*.*BC〃九轴，

：.AD1BC,

・・・A(2,5),3(-1,1),

.••0(2,1),

：VA3C为等腰三角形,

BD-CD，

C(2+2+l,l),即：(5,1)；

故选C.

9.如图，在VABC中，BO,CO分别平分/ABC,ZACB,CE为外角NACD的平分线，交BO

的延长线于点E，记N54C=N1,ZBEC=Z2,给出下列结论：其中错误的是(

B.ZBOC=3Z2

C.ZBOC=90°+-Z1D.ZBOC=90°+Z2

2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，根据角平分线的定义得

ZDCE=-ZACD,ZDBE=-ZABC,根据三角形外角的性质得

22

/2=/。。£一/05石=3(44。—NABC)=g/l,可判断选项A；根据角平分线的定义得

ZOBC=^ZABC,ZOCB=^ZACB,由ZBOC=180°—(NOBC+NOCfi)即可判断选项

BCD.解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【详解】解：为外角NACD的平分线，BE平分/ABC,

ZDCE=-ZACD,NDBE=-ZABC,

22

又VZDCE是ABCE的外角，

Z2=ZDCE-NDBE=1(ZACD-ZABC)=|zi,

N1=2N2,故选项A不符合题意；

VBO,CO分别平分/ABC,NACB,

：.ZOBC=-NABC,ZOCB=-ZACB,

22

/.ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°-1(1800-Zl)

=9O°+-Z1

2

=90°+-x2Z2

2

=90°+Z2,

故选项C、D不符合题意，选项B符合题意.

故选：B.

10.如图，在VA3C中，AB=AC,ZB=40°,。为线段5C上一动点（不与点3、点C重合），连

接A。，作NADE=4O。，OE交线段AC于点E.以下四个结论：①/CDE=NBAD；②当D为BC

中点时，DEJ.AC；③当440=30。时，BD=CE；④当VADE为等腰三角形时，

ZEDC=3Q°.其中正确的结论为（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理；①根据等腰三

角形的性质得到NB=NC=40。，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到NBA。=NCDE；故①正

确；②根据等腰三角形的性质得到1根据三角形的内角和即可得到。£SAC,故②正确；③

根据全等三角形的性质得到6r>=CE；故③正确；④根据三角形外角的性质得到/回>40。，求得

NADEwNAED,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到AE=O石或=当AE=DE

时，ZBAD^60°,求出N&）C=60°,故④错误.

详解】解：@-：AB=AC,

:.ZB=ZC=4O°,

ZBAD=180°-40°-ZADB,ZCDE=180°-40°-ZADB,

：.ZBAD=ZCDE；故①正确，

②•。为3C中点，AB=AC,

:.AD±BC,

.-.ZAZ）C=90°,

:.ZCDE^50°,

•.•ZC=40°,

/.ZDEC=90°,

:.DELAC,故②正确，

③・.・/BAD=30。，

/.ZCDE=30°,

:.ZADC=70°,

/.ZDAC=180。—70°-40°=70°,

:.ZDAC=ZADC,

CD-AC,

・.・AB=AC,

CD=AB，

.-.△ADB^A£>CE（ASA）,

：.BD=CE,故③正确，

@-.-ZC=4O°,

:.ZAED>40°,

:.ZADE^ZAED,

•.•△ADE为等腰三角形，

.."■=。£或八4=£）石，

当AE=DE时，ZDAE^ZADE^40°,

,.,Nfi4c=180°—4O°—40°=100°,

:.ZBAD=6Q°,

ZADC=60°+40°=100°,

/EDC=100°-40°=60°,故④错误，

综上所述，①②③正确，

故选：B.

二、填空题（每题3分，共15分）

11.已知《（。―1,5）和鸟（2/—1）关于x轴对称，贝U（a+b）2°24的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形变化一轴对称、代数式求值，根据关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相

等，纵坐标互为相反数得到a—1=2,1=—5,求出。、6值代入求解即可.

【详解】：一L5）和6（2/一1）关于x轴对称,

a—1=2,b—\=—5,

:.a=3,b——4,

+b严4=(3-4)2024=(—1)2024=1，

故答案为：1.

12.如图，在VA3C中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交5c于点。，再分别以点8和点。为

圆心，大于工物的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,连接交A3于点E.若

2

AB=9,AC=7,则VADE的周长为.

沁

【答案】16

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得AD=AC=7,MN垂直平分3。，则根

据线段垂直平分线的性质得到石B=即，然后利用等量代换即可得到VADE的周长.

【详解】解：由作图可得AO=AC=7,MN垂直平分30,

；•EB=ED，

；•VADE的周长为AE+OE+AD=AE+6E+AD=AB+AD=16,

故答案为：16.

13.如图，在VA3C中，DE//BC,/ABC和NACB的平分线分别交OE于点歹，G,若

FG=2,DE=6,则DS+EC的值为.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，由平行线的性质得

ZDFB=ZFBC,NEGC=NGCB,再证明NDFB=/DBF,NECG=NEGC,然后证明BD=DF,

CE=GE,即可得出结论.

【详解】解：石〃5C,

:.ZDFB=ZFBC,ZEGC=ZGCB,

•.•/ABC和NACfi的平分线分别交。E于点歹，G,

:.ZDBF=ZFBC,ZECG=ZGCB,

:.ZDFB=ZDBF,ZECG=ZEGC,

:.BD=DF,CE=GE,

-,-FG=2,ED=6,

:.DB+EC^DF+GE=ED-FG=6-2=4.

故答案为：4.

14.如图所示，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=度.

【答案】360

【解析】

【分析】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，首先根据三角形外角的性质可知：图示这

几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解.

【详解】解：如图，

E

•/ZA+ZC=Z2,ZB+ZD=Z1,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=Z1+Z2+ZE+ZF=360°,

故答案为：360.

15.如图，在RtZiABC中，NABC=90°,ZA=30°,AB=3,5C=G，点。是边AC上一动点.连

接BD,将△AB。沿BD折叠，得到△£»£),其中点A落在E处，BE交AC于点、F,当△即产为直角三

角形时，所长度是

BC

【答案】3-6或］

【解析】

【分析】分两种情况：当N£DF=90。时，可证得△BCE是等边三角形，得出若，再由

13

EF=BE-BF,即可求得所；当"£E=90。时，利用直角三角形性质可得=—A3=—,再由

22

EF=BE-BF,即可求得所.

【详解】解：•.•NABC=90°,ZA=30°,AB=3,BC=6

:.ZC=60°,

由折叠得：ZE=ZA=30°,EB=AB=3,

当/EDF=90°时，ZDFE=90°-Z£=90°-30°=60°,

ZBFC=ZDFE=60°=ZC,

：.ABCF是等边三角形，

BF=BC=6

:.EF=BE-BF=3-y/3;

当"五石=90°时，ZBFA=180°-ZDFE=90°,

在Rt^ABE中，:NA=30°,

13

:.BF=-AB=-,

22

33

,\EF=EB-BF=3——=-；

22

3

综上所述，所的长度为3-君或万.

3

故答案为：3—6或—.

【点睛】本题考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质等，熟练掌握“直角

三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键.

三、解答题（共8道题，共75分）

16.已知正x边形的内角和为1080。，边长为2.

(1)求正无边形的周长；

(2)若正W边形的每个外角的度数比正X边形每个内角的度数小63。，求"的值.

【答案】(1)16

(2)5

【解析】

【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识.

根据多边形的内角和公式(〃-2)x180°列式进行计算求得边数.

(2)根据(1)求出正x边形每个内角的度数，正〃边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为360°

解题即可.

【小问1详解】

解：由题意可得180x(x—2)=1080,解得x=8.

正x边形的周长为8x2=16；

【小问2详解】

正x边形每个内角的度数为1080°+8=135°,

正〃边形的每个外角的度数为135。—63°=72。，

360°+72。=5,

的值为5.

(不写作法，保留作图痕迹)

(2)如图2,点C在⑴中的射线OP上，ZDCE=180°-a,且/DCE的两边分别与OB交于

点。和点求证：CD-CE.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质.

(1)根据角平分线的作图方法作图即可.

(2)过点。作C/，Q4于点口，CGLOB于点G,结已知条件可得NOR7=NOGC=90°,

ZECG=Z.DCF,再结合角平分线的性质可得CF=CG,即可证明KEGmKDF，则可得CD=CE.

【小问1详解】

证明：如图2,过点C作CFLQ4于点b，CGLOB于点G,

图2

:.NOFC=NOGC=90°,

ZOFC+ZOGC+ZFOG+ZFCG=360%

:.ZFOG+ZFCG=18Q°.

vZDCE=180°-«,ZAOB=a,

:.ZDCE+ZAOB=180°,

:.NFCG=ZDCE,

即ZFCE+ZECG=ZFCE+ZDCF,

:.ZECG=ZDCF.

又为NAQB的平分线，CF±OA,CGLOB,

:.CF=CG.

.-.ACEG^ACDF(ASA),

CD=CE.

18.学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问

题，设计了如下方案.

课题测量河两岸48两点间距离

测量工具测量角度的仪器，皮尺等

A_____________

:氐三三三三

测量方案

示意图

CD匕

①在点5所在河岸同侧的平地上取点C和点。，使得点A、5、C在一

条直线上，且CD=5C；

测量步骤②测得ZDCB=100°,ZADC=65°；

③在CD的延长线上取点E,使得ZBEC=15°；

④测得。石的长度为30米.

请你根据以上方案求出A、8两点间的距离AB.

【答案】A、3两点间的距离A3为30米

【解析】

【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关

键.由三角形内角和定理，得出ACAD=ZE=15°,进而证明ADC44ABCE(AAS)，推出A3=DE,

即可求解.

【详解】解：•••NDCfi=100°,NADC=65。，

:.ZCAD=1800-ZDCB-ZADC=15°.

•,•ZE=15°,

:.NCAD=NE.

在ADC4和ABCE中，

ZCAD=ZE

<ZACD=ZECB

CD=BC

ADCA也ABCE(AAS),

/.AC=EC.

・；BC=CD,

:.AC-BC=CE-CD,

.♦.>18=。石=30米，

即A、5两点间的距离AB为30米.

19.如图，在平面直角坐标系中，VA3C的三个顶点的坐标分别为4(—5,1),6(-4,4),C(-l,-l).

(2)直线/过点(1,0)且平行于V轴，请直接写出点C关于直线/的对称点C?的坐标：

(3)在(2)中的直线/上求一点P,使得△PBC周长最小.(保留作图痕迹)

【答案】(1)见解析(2)(3,-1)

(3)见解析

【解析】

【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形；

(1)作出VA3C的三个顶点关于x轴对称的点，再连接即可解决问题；

(2)根据轴对称的特点，写出点C2的坐标即可；

(3)连接5G交直线/于点P，则点P即为所求作的点.

【小问1详解】

解：如图所示△44G即为所求

作出直线/和点C2,根据坐标系可得C?的坐标：(3,-1)

故答案为：(3,-1).

【小问3详解】

20.如图，在△ABC中，已知是△ABC的角平分线，是△AOC的高，ZB=60°,NC=40°,求

/AO8和/AOE的度数.

A

【答案】ZADB=80°,ZADE=50°

【解析】

【分析】根据三角形内角和定理可求NBAC的度数，根据角平分线的定义可求/BAD,ZDAC,再根据

高线的定义和三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：：在AABC中，ZB=60°,ZC=40°,

.\ZBAC=80°,

：A。是△ABC角平分线，

ZBAD=ZDAC=-ZBAC=40°,

2

/.ZAZ)B=80°,

：DE是△ADC的高线，

/.ZOEA=90°,

：.ZADE=5Q°.

【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.

21.如图，已知CD=A6,ZBAD=ZBDA,AE是△AB。的中线.

(1)若AB=5,AD=3,AE的取值范围为；

(2)求证：AC=2AE.

【答案】(1)1<AE<4

(2)见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质；

(1)延长AE至尸，使EF=AE,连接BF,于是证得△压3得=AD=3,再根据三角

形三边之间的关系得A5—5尸<Ab<A3+5产，由此可得AE的取值范围；

(2)根据(1)证明NA5E=NAT)C,由此可证明AAB产和△ADC全等，然后根据全等三角形的性质可

得出结论.

【小问1详解】

延长AE至尸，使EF=AE,连接BF.

则AF=2AE

•.•AE是的中线，

BE=DE，

在VADE与AEB石中，

AE=FE

<ZAED=ZFEB,

DE=BE

:.^ADE咨/'BE，

：.BF=DA=3,

在AAB产中，AB-BF<AF<AB+BF,

:.5-3<2AE<5+3,

二1<AE<4，

故答案为：1<AE<4,

【小问2详解】

AADE^AFBE

:.BF=DA,ZFBE=ZADE,

•：ZABF=ZABD+ZFBE,ZBAD=ZBDA,

：.ZABF=ZABD+ZADB^ZABD+ZBAD=ZADC.

在与ACZM中，

AB=CD

<ZABF=ZCDA,

BF=DA

:.AABF^CDA（SAS）,

:.AF=AC.

-,-AF=2AE，

:.AC=2AE.

22.如图，2MBe中，A（a,O）,C（O,c）,且满足人血—c+&-a_2.

(2)过点A作AG，3c于G,交.OC于N,若NC4N=15°，求AN的长;

(3)P为第一象限一点，交,轴于。.在尸。上截取庄=B4，尸为CE的中点，求/。网的

度数.

【答案】(1)M(0,2)；(2)AN=4；(3)ZOPF=45°.

【解析】

【分析】(1)先由条件推出AAOC是等腰直角三角形，再推出ABOM是等腰直角三角形，根据0B=2,

得出OM=2,即可得出M的坐标；

(2)由等角的余角相等可得NBCO=NOAN=30。，再判定△BOC0ANOA(ASA),得至I」BC=NA,再根

据RtZXBOC中，BC=2BO=4,即可得AN=4；

(3)连接OF,把AOCF绕点。顺时针旋转90。至AOAD处，连接DP,由旋转可得，AD=CF=EF,

ZOCF=ZOAD,OF=OD,再判定△PEFgZkPAD,得出PF=PD,ZFPE=ZDPA,进而判定

△OPF^AOPD,即可出结果.

【详解】⑴由题可得，a-c^0,c-a^0,

a=c,即OA=OC,

・・・AAOC是等腰直角三角形，

・•・NOAD=45。，

又「BDJLAC,

JNABD=45。，

XVZBOM=90o,

・・・ABOM是等腰直角三角形，

AOB=OM,

•b=y/ci—c+Jc—a-2,且a=c,

・・・b=-2,即OB=2,

AOM=2,

・・・M(0,2)；

(2)VZCAN=15°,ZOAC=45°,

AZOAN=30°,

VAG±BC,CO±AO,

AZCNG+ZBCO=90°,ZANO+ZOAN=90°,

VZANO=ZCNG,

.\ZBCO=ZOAN=30°,

在ABOC和ANOA中，

ZBCO=ZOAN

<CO=AO

ZCOB=ZAON=90°

J△BOC之△NOA(ASA),

ABC=NA,

又・.,RtZ\BOC中，ZBCO=30°,

.\BC=2BO=4,

・・.AN=4；

(3)如图3,连接OF,把AOCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP,

由旋转可得，AD=CF=EF,ZOCF-ZOAD,OF=OD,

VZAOQ+ZAPQ=180°,

.\ZOAP+ZOQP=180o,

XVZEQC+ZOQP=180°,

/.ZOAP=ZEQC,

ZPEF=ZPAD,

在APEF和APAD中，

EF=AD

<ZPEF=ZPAD

PE=PA

.".APEF^APAD(SAS),

；.PF=PD,NFPE=NDPA,

AZFPD=ZQPA=90°,

:在△OPF和△OPD中，

OF=OD

<OP=OP

PF=PD

.♦.△OPF丝△OPD(SSS),

/.ZOPF=ZOPD=-ZFPD=45°.

2

【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质构造全等三

角形是解决本题的关键.

23.【问题背景】

如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,NB=ZADC=90。,E,歹分别是BC,CD

上的点，且NE4F=60。，试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.

【初步探索】

小亮同学认为：延长ED到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE之△AOG，再证明

△AEF丝AAGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是.

【探索延伸】

如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分别是3G8上的点，

ZEAF=^-ZBAD,上述结论是否仍然成立？说明理由.

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【结论运用】

如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(。处)北偏西30。的A处，舰