沪科版九年级数学上册期末复习 第24章 圆知识归纳与题型突破（17类题型清单）

第二十四章圆知识归纳与题型突破(题型清单)

01思维导图

-圆的对称性

厂圆的有关性质《弧、弦、圆心角之间的关系

-同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系

r点和圆的位置关系一三角形的夕忖妾圆

点、直线与圆的位置关系4

L直线与圆的位置关系一三角形的内切圆

Y

正多边形与圆｛等分圆周

r弧长

L弧长和扇形面积•扇形面积

*圆锥的侧面积和全面积

02知识速记

一、圆的有关概念

定义注意

弦连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中有无数条弦,其中直径是最

直径经过圆心的弦叫做直径长的弦

(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，

弧、半圆、弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆

每一条胡都叫做半圆；

优弧、劣弧既不是劣弧，也不是优弧

(3)小于半圆的弧叫做劣弧；

(4)大于半圆的弧叫做优弧

1

能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的等圆只和半径的大小有关，和圆

等圆

两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等心的位置无关

等弧只能出现在同圆或等圆中；

等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧是全等的，而不仅仅是弧的

长度相等

二、垂径定理及其推论

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弦.

2、垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

三、弧、弦、圆心角之间的关系

1、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

2、推论

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等；

3、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系

在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.

四、圆周角

1、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2、圆周角定理的推论

（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.

3、''五量关系”定理

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一

组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

五、圆内接多边形

1、圆内接多边形

2

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形

的外接圆.

2、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补.

推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.

六、点与圆的位置关系

1、点和圆的位置关系

设。O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

点和圆的位置关系特点等价关系

点在圆外点到圆心的距离大于半径点尸在圆外od>r

点在圆上点到圆心的距离等于半径点P在圆上=d=r

点在圆内点到圆心的距离小于半径点尸在圆内r

2、确定一个圆的条件

(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆；

(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

七、直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系相离相切相交

-^-1

图示

--1

公共点个数012

公共点名称切点交点

直线名称切线割线

圆心。到直线/的距

d>rd=rd<r

离d与半径r的关系

d>r=直线I=直线1d<r<=>直线I

等价关系

与。。相离与。。相切与。。相交

八、切线的相关知识

1、切线的判定

(1)判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

(2)判定方法

3

a.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

b.数量法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；

c.判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2、切线的性质

(1)性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.

(2)切线的性质

a.切线和圆只有一个公共点；

b.圆心到切线的距离等于半径；

c.圆的切线垂直于过切点的半径；

d.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)；

e.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).

3、切线长定理

(1)切线长定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

(2)切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条

切线的夹角.

九、三角形的外接圆

1、三角形的外接圆经过三角形的三个项点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形

叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上.

2、三角形的外心

(1)定义:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂真平分线的交点，叫做这个三角形的外心

(2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.

3、三角形外接圆的作法作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点;以该交点为圆心，以交点到三个

顶点中任意一点的距离为半径作圆即可

十、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

3、三角形内心的性质

三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.

4

十一、弧长和扇形面积

1、弧长公式，=鬻

lol）

2、扇形面积§=%

03题型归纳

题型一圆的基本概念辨析

例1.（2024九年级上•全国・专题练习）下列语句中，不正确的是（）

A.圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.当圆绕它的圆心旋转89。57'时，不会与原来的圆重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

巩固训练

1.（2024九年级上•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.大于半圆的弧叫做优弧

B.长度相等的两条弧叫做等弧

C.过圆心的线段是直径

D.直径一定大于弦

2.（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等

圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（23-24九年级上•宁夏石嘴山•期中）如图，下列说法正确的是（）

5

c

A.线段48,AC,CD都是O。的弦

B.线段AC经过圆心。，线段4C是直径

C.AD=BD

D.弦4B把圆分成两条弧，其中融是劣弧

题型二利用垂径定理求平行弦问题

例2.（2023九年级上•全国•专题练习）已知。。的直径为20cm,AB,CD是。。的两条弦，AB||CD,AB=

16cm,CD=12cm,贝！|AB与CD之间的距离为—cm.

巩固训练

1.（2023九年级•全国•专题练习）在半径为10的O。中，弦4B=12,弦。。=16,且A8||CD,则力B与CD

之间的距离是—.

2.（22-23九年级上•江苏南通•阶段练习）设AB、CD是。。的两条弦，ABWCD.若0。的半径为13,48=24,

CD=1Q,则AB与CD之间的距离为.

3.（21-22九年级上•黑龙江大庆•阶段练习）已知。。的直径为26c加，AB、CD是。。的两条弦，AB//CD,

AB=24cm,CD=1Ocm,贝！）力B、CD之间的距离为cm.

题型三利用垂径定理求同心圆问题

例3.（22-23九年级上•北京•期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过4（2,2）,5（4,0）,。三点,

那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（）

6

C.点FD.点G

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽合肥・期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在

桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm,水的最大深度是2cm,则杯底

C.4V3D.4>/5

2.（2023九年级上•全国•专题练习）如图，在两个同心圆。。中，大圆的弦4B与小圆相交于C,。两点.

（1）求证：AC=BD-,

（2）若AC=3,BC=5,大圆的半径R=5,求小圆的半径r的值.

7

3.（22-23九年级上•浙江杭州•阶段练习）如图，在两个同心圆。。中，大圆的弦力B与小圆相交于C,。两

点.

（1）求证：AC=BD.

（2）若/C=2,BC=4,大圆的半径H=5,求小圆的半径八

题型四利用弧、弦、圆心角的关系求解

例4.（24-25九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，△48。内接于。。，/为劣弧BC的中点，ABAC=120°,

BD为O。的直径，连接4D,若4。=8,则力C的长为.

巩固训练

1.（2024•安徽六安•模拟预测）如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，已知AC1BD,垂足为E,弦4B

的弦心距为。工

B

（1）若4F=0F,则N4DB的度数为.

（2）若O。的半径为5,AB=8,贝UCD的长为

8

2.（22-23九年级上•江苏镇江•阶段练习）如图，在。。中，CD是。。上的一条弦,直径4B1CD,连接AC、0D,

乙4=26°,则ND的度数是°.

3.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，在半圆。中，点C在半圆。上，点D在直径4B上，将半圆。沿过BC所在

的直线折叠，使命恰好经过点小若=BD=1,则半圆。的直径为.

题型五利用弧、弦、圆心角的关系求证

例5.（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）如图，AB,CD是。。的两条弦与BD相交于点E,4B=CD.求

巩固训练

1.（2024九年级上•全国•专题练习）如图，在。。中，AC=BC,。，40于点。，CE1。8于点E.

9

AB

(1)求证：AD=BE.

(2)若4。=。。，r=3,求CD长.

2.(24-25九年级上•江苏泰州•阶段练习)如图，四边形48CD内接于。。，。是弧4C的中点，延长BC到点£,

使CE=4B,连接BD,ED.

⑴求证：BD=ED.

(2)若乙4BC=60。，AD=5,求O。的半径,

3.(24-25九年级上•浙江绍兴•阶段练习)如图，。。的直径力B为10,弦BC为6,。是彩的中点，弦BD和CE

交于点R且DF=DC.

(1)求证：EB=EF；

⑵求证：BE^AE

(3)求CE的长.

题型六求圆弧的度数

10

例6.（22-23九年级上•全国•单元测试）已知AB,CD是。。的直径，弦CE||AB,ACOE=40°,则筋的度

数是（）

A.70°B.110°C.40°D.70°或110°

巩固训练

1.（23-24九年级上•山东聊城•期中）如图，AB,CD是。。的弦，延长ZB,CD相交于点£,已知NE=

30。，/.AOC=100%则筋的度数是（）

A.70°B.50°C.40°D.30°

2.（2023・福建•模拟预测）如图，点力，B,C在。。上，AC=2AB＞乙4BC=38。，连接。力交BC于点M,则

N4MC的度数是（）

A.108°B.109°C.110°D.112°

3.（23-24九年级上•江苏镇江•期中）如图，4民/。是。。的两条弦，且4B=4C,点D,P分别在发1和爬

上，若乙BDC=150°,贝ijNTIPC的度数是（）

11

A

P

A.105°B.110°C.120°D.150°

题型七利用圆周角定理求角度

例7.（24-25九年级上•江苏南京•阶段练习）已知O。的半径。A=1,弦力B的长为加，若在。。上找一点C,

贝IJNBCA=°.

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，。。是△力BC的外接圆，若4。48=25。，贝此力。8的度数

为______°.

2.（24-25九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，以△力BC的边BC为直径的。。分别交力B、力C于点。、E,

连接。£）、OE.若4=62。，则NDOE=°.

12

A

3.（24-25九年级上•全国•课后作业）已知4C是。。的弦，点B在。。上，连接CM,OC,OB,ABOC=40°.

(2)如图②，当AC||OB时，ZXOC=°

(3)如图③，当4C=0B时，AAOB='

题型八利用圆内接四边形的性质求角度

例8.（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）如图，四边形48CD是O。的内接四边形,BC是O。的直径,BC=

2AB,则乙4DC的度数为°.

巩固训练

13

1.（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）如图，在。。的内接四边形A8CD中，AB^AD,NE=130。，贝此。

的度数为__________

2.（23-24九年级上•黑龙江大庆•期中）如图，四边形48CD内接于O。，延长C。交。。于点£，连接8E,

若N4=100°,乙E=60°,贝此。CD的大小为°.

3.（24-25九年级上•全国・单元测试）如图，已知四边形力BCD是。。的内接四边形，E为力D延长线上一点,

41。。=128。，则Z.CDE等于.

题型九利用圆周角定理的推论进行探究证明

例9.（24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习）如图，四边形4BCD内接于。。，Z.BAD=90°,BC=CD,过

点C作CE,使得CD=CE,交的延长线于点E.

14

A

(1)求证：AB=AE；

(2)^AD=DE=4,求CD的长.

巩固训练

1.(24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习)如图，力B是半圆O的直径，C,。是圆上的两点，NC=90。，且

0D||AC,。。与交于点E.

(1)求证：E为BC的中点.

(2)若BC=10,DE=3,求4B的长度.

2.(24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习)如图所示，四边形ABCD是半径为r的。。的内接四边形，力B是。。

的直径，^LABD=45°,直线/与三条线段CD、CA,的延长线分别交于点£、F、G.且满足NCFE=45。.

(1)求证：直线/，直线CE；

(2)若力B=DG.

①求证：^ABC=△GDE-,

②若半径r=2,CE=3,求四边形/BCD的周长.

15

3.（24-25九年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，AB为。。的直径，CD为弦，CD，于点E,连接。。并延

长交。。于点尸，连接4尸交CD于点G,CG^AG,连接AC.

（1）求证：AC||DF；

（2）@ZAOD=°；

②若力B=12,由①中结论求GD的长.

题型十切线的性质和判定的综合应用

例10.（2024九年级上•全国・专题练习）如图，A8是。。的直径，P4与O。相切于点/,N4BC=20。，OC

的延长线交P力于点尸，贝此P的度数是（）

A.20°B.40°C.50°D.60°

巩固训练

1.（2024・四川德阳•模拟预测）如图，在四边形4BCD中，AB||CD,ADVAB,以。为圆心，4D为半径的

弧恰好与BC相切，切点为£,若第=,，则tcmC的值是（）

16

2.（23-24九年级上•四川绵阳•期中）如图，是圆。的弦，。4J.。。，AB,。。相交于点C,且CD=BD.连

接。B,当。4=3,0C=1时，则线段BD的长为（）

3.（2023九年级•全国•专题练习）如图，在△4BC中，AB-AC,以4C边为直径作。。交BC于点D,过点。

3

作O。的切线，交力B于点E,交4C的延长线于点F；若半径为3,且sin/CED=『则线段力E的长是（）

题型十一利用切斜长定理求解

例11.（23-24九年级上•四川绵阳•阶段练习）如图，AD.AE是。。的切线，D、£为切点，BC与O。相切

于点R分别交4。、4E于点2、C.若△4BC的周长为16,则切线长力D为（）

D.无法确定

17

巩固训练

1.（23-24七年级下•陕西西安•阶段练习）如图，直线4B、BC、CD分别与。。相切于点E、F、G&AB||CD,

若03=8cm,0C-6cm,则BE+CG等于（）

A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm

2.（22-23九年级上•辽宁盘锦•开学考试）以正方形4BC。的边为直径作半圆。，过点C作直线切半圆于点F,

交ZD边于点E,若△CDE的周长为12,则直角梯形ZBCE周长为（）.

A.12B.13C.14D.18

3.（2024•四川泸州•中考真题）如图，及4,ED是。。的切线,切点为4,0,点5,C在。。上，若1B4E+/BCD=

C.68°D.70°

18

题型十二利用切线长定理求证

例12.(2024九年级下•辽宁•专题练习)如图，点/在。。外，AB.AD分别与。。相切于点3,D,AD,BO

的延长线相交于点C,O。交8C于点E,连接。。并延长，交O。于点尸，连接EF.

(2)若=6«，CD=3V5,求。。的半径及EF的长.

巩固训练

1.(2024•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测)如图，已知力B是。。的直径，过点/作射线114B,点尸为/上一个

动点，点C为。。上异于点/的一点，且PA=PC,过点8作力B的垂线交PC的延长线于点。，连接AD.

(1)求证：PC为。。的切线；

(2)若力P=48。，求sin/B力。的值.

2.(2023•湖北黄冈•模拟预测)如图，△A8C的内切圆切三边于点。，E,F,过F作BC的平行线交DE的延

长线于点G,求证：FH=GH.

19

A

3.（23-24九年级下•北京•期末）如图，4B是。。的直径，PB,PC是。。的两条切线，切点分别为瓦C.连

接P。交。。于点。，交BC于点E,连接4C.

（1）求证：0E=14C;

⑵若点£是。。的中点，O。的半径为6,求PB的长.

题型十三圆的综合问题

例13.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图，已知4B是。。的直径，BD是O。的弦，点P是。。外的一点，PC1

AB,垂足为点C,PC与8。相交于点£,连接尸。，且PD=PE,延长尸。交B力的延长线于点足

⑴求证：PD是。。的切线；

⑵若。尸=4,PE=gcosZPFC=求BE的长.

20

巩固训练

1.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)如图，力B是。。的直径，C是。。上一点过点C作CD14B于点E,交。。

于点。，点F是力B延长线上一点，连接CF,AD,乙FCD=2乙DAF.

⑴求证：CF是。。切线；

(2)若2F=10,sinF=|,求CD的长.

2.(2023•湖南永州•中考真题)如图，以4B为直径的。。是△ABC的外接圆，延长BC到点。.使得NB4C=

4BDA,点£在£M的延长线上，点4在线段AC上，CE交BM千N,CE交于G.

(1)求证：ED是。。的切线；

(2)若4。=逐,8。=5,力。＞。。，求8C的长;

(3)^DE-AM=AC-AD,求证：BM1CE.

3.(2023・四川雅安•中考真题)如图，在Rt^ABC中，AABC=90°,以4B为直径的。。与4C交于点。，点

E是BC的中点，连接BD,DE.

21

(1)求证：DE是。。的切线;

(2)若。E=2,tan/B/C=；,求4。的长；

(3)在(2)的条件下，点P是。。上一动点，求PA+P8的最大值.

题型十四三角形的周长、面积与内切圆半径的关系

例14.(23-24九年级上•江苏盐城•期中)如图，。。为△A8C的内切圆，切点分别为F、G、点D,E分别

为BCMC上的点，且DE为。。的切线.

A

(1)若NC=40。，求N40B的度数；

(2)若/C=8,/B=6,3C=9,求△CDE的周长.

巩固训练

1.(22-23九年级上•贵州黔西•期中)如图，已知。是△ABC的内心，连接04OB,0C.若△ABC内切圆

的半径为2,△HBC的周长为12,求△4BC的面积.

22

1.（2024・湖北武汉•二模）如图，△ABC的内切圆。0与BC,CA,分别相切于点D,E,F,且48=20,

8c=21,CA=13,则下列说法不正确的是（）

A.乙EDF=NAB.乙EOF=NB+NC

14

C.8。=14D.OE=—

3

3.（22-23九年级上•湖北襄阳•自主招生）圆01内切于正三角形△ABC,半径为七圆/与圆。i及48,AC

均相切，圆。2的半径为八贝哈等于（）

A.4B.2C.3D.5

题型十五三角形内切圆与外接圆综合

例15.（2023・湖北武汉•模拟预测）如图，。是△力BC的外心，/是△ABC的内心，连接4并延长交BC和。。

于。，E.

(2)若48=8,AC=6,BE=4,求力/的长.

巩固训练

23

1.(2024•上海•模拟预测)已知△A8C的内心为。，AO=V3.

(1)如果△力BC的外心也为。，求证：△4BC为等边三角形，并尺规作线段4。；

(2)延长4。交边BC于£,求证：整喘.

2.(22-23九年级上•江苏盐城•期中)如图，/是△力BC的内心，4的延长线交△ABC的外接圆于点D

A

(2)求证：BD=ID；

(3)连接B/、CI,求证：点。是△B/C的外心.

3.(21-22九年级上•内蒙古呼伦贝尔•期末)如图，点£是△48C的内心，/£的延长线和△/2C的外接圆

相交于点。，连接

⑴若NC2D=34。,求/2EC的度数;

(2)求证：DE=DB.

24

题型十六正多边形与圆的综合

例16.（24-25九年级上•江苏盐城•阶段练习）如图，正方形4BCD内接于。。，“为弧4。中点，连接

（1）求证：BM=CM；

⑵连接。夙0M,求NBOM的度数.

巩固训练

1.（23-24九年级上•云南红河・期末）如图，正六边形4BCDEF内接于。。，。。半径为4.

~，B

（1）求点。至必B的距离；

（2）求正六边形4BCDEF的面积.

2.（23-24九年级下•全国•课后作业）如图,正方形4BCD的外接圆为。。，点P在劣弧CD上（不与点。重

合）.

⑴求NBPC的度数;

25

（2）若O。的半径为8,求正方形A8CD的边长.

3.（23-24九年级上•安徽淮南•阶段练习）如图，正六边形2BCDEF的边长为2,求该正六边形的外接圆与内

切圆所形成的圆环面积.

D

题型十七弧长与扇形面积

例17.（2024•安徽•模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如

图，分别以等边△ZBC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若

图中阴影部分的面积为Si，空白部分的面积为S2,则金的值为（）

12

巩固训练

1.（2024•安徽六安・模拟预测）如图，在△4BC中，^ABC=144°,与。。相切于点B,点C在O0上，若

。。的半径为1,则我的长为（）

26

2兀

C-7D.~5

2.（2024•山西晋中•一模）如图，在Rt△力BC中，ZC=90°,41=30。，BC=2,以边力C为直径作半圆交

边力B于点D.以点B为圆心，边BC长为半径作冷交边力B于点E,则图中阴影部分的面积为（）

A.5TT-4V3B.-2V3C.—~7i—2,y/3D.—7T—2A/3

o66

3.（2023•山东青岛・中考真题）如图,四边形/BCD是。。的内接四边形，=58°,=40°.若。。

的半径为5,则虎的长为

A1310D.7

A.—7TB.—7TC.7T

39

27

第二十四章圆知识归纳与题型突破(题型清单)

01思维导图

-圆的对称性

「圆的有关性质《弧、弦、圆心角之间的关系

-同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系

｛点和圆的位置关系一三角形的夕忖妾圆

直线与圆的位置关系一三角形的内切圆

Y

正多边形与圆｛等分圆周

r弧长

L弧长和扇形面积•扇形面积

*圆锥的侧面积和全面积

02知识速记

二、圆的有关概念

定义注意

弦连接圆上任意两点的线段叫做弦圆中有无数条弦,其中直径是最

直径经过圆心的弦叫做直径长的弦

(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；

(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，

弧、半圆、弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆

每一条胡都叫做半圆；

优弧、劣弧既不是劣弧，也不是优弧

(3)小于半圆的弧叫做劣弧；

(4)大于半圆的弧叫做优弧

28

能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的等圆只和半径的大小有关，和圆

等圆

两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等心的位置无关

等弧只能出现在同圆或等圆中；

等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧等弧是全等的，而不仅仅是弧的

长度相等

二、垂径定理及其推论

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弦.

2、垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

三、弧、弦、圆心角之间的关系

1、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

2、推论

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等；

3、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系

在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等.

四、圆周角

1、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

2、圆周角定理的推论

（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弦是直径.

3、''五量关系”定理

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一

组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

五、圆内接多边形

1、圆内接多边形

29

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形

的外接圆.

2、圆内接四边形的性质

圆内接四边形的对角互补.

推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.

六、点与圆的位置关系

1、点和圆的位置关系

设。O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:

点和圆的位置关系特点等价关系

点在圆外点到圆心的距离大于半径点尸在圆外od>r

点在圆上点到圆心的距离等于半径点P在圆上=d=r

点在圆内点到圆心的距离小于半径点尸在圆内r

2、确定一个圆的条件

(1)已知圆心、半径，可以确定一个圆；

(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

七、直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系相离相切相交

图示

―-1

公共点个数012

公共点名称切点交点

直线名称切线割线

圆心0到直线/的距d>rd=rd<r

离d与半径r的关系

d>r=直线I=直线1d<ro直线I

等价关系

与。。相离与。0相切与。。相交

八、切线的相关知识

1、切线的判定

(1)判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

(2)判定方法

30

a.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

b.数量法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；

c.判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

2、切线的性质

(1)性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.

(2)切线的性质

a.切线和圆只有一个公共点；

b.圆心到切线的距离等于半径；

c.圆的切线垂直于过切点的半径；

d.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)；

e.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).

3、切线长定理

(1)切线长定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

(2)切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条

切线的夹角.

九、三角形的外接圆

1、三角形的外接圆经过三角形的三个项点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形

叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上.

2、三角形的外心

(1)定义:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂真平分线的交点，叫做这个三角形的外心

(2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.

3、三角形外接圆的作法作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点;以该交点为圆心，以交点到三个

顶点中任意一点的距离为半径作圆即可

十、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形

2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

3、三角形内心的性质

三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.

31

十一、弧长和扇形面积

1、弧长公式，=鬻

lol）

2、扇形面积S

360

03题型归纳

题型一圆的基本概念辨析

例1.（2024九年级上•全国・专题练习）下列语句中，不正确的是（）

A.圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形

B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

C.当圆绕它的圆心旋转89。57'时，不会与原来的圆重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

【答案】C

【分析】此题考查了圆的轴对称性质和圆的旋转不变性，解题的关键是掌握以上知识点.

根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解.

【详解】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称

图形，正确；

B＞圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；

C、当圆绕它的圆心旋转89。57'时，会与原来的圆重合，错误；

D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确.

故选：C.

巩固训练

1.（2024九年级上•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.大于半圆的弧叫做优弧

B.长度相等的两条弧叫做等弧

C.过圆心的线段是直径

D.直径一定大于弦

32

【答案】A

【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点.

根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意；

B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意；

C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意；

D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意；

故选：A.

2.（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等

圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆.其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断.

【详解】解：直径是弦，故①正确，

半圆是弧，故②正确，

半径相等的圆是等圆，故③正确，

同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误，

平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误，

正确的各数为3,

故选：C.

3.（23-24九年级上•宁夏石嘴山•期中）如图，下列说法正确的是（）

A.线段AB,AC,CD都是。。的弦

B.线段4c经过圆心。，线段4C是直径

C.AD=BD

D.弦力B把圆分成两条弧，其中而是劣弧

【答案】B

33

【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定

AD=BD,则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断.

【详解】解：A.线段4B,AC都是。。的弦，CD不是，所以A选项不符合题意；

B.线段4C经过圆心O,线段AC是直径，所以B选项符合题意；

C.当点。为4B的中点时，AD=BD,所以C选项不符合题意；

D.初为优弧，所以D选项不符合题意.

故选：B.

题型二利用垂径定理求平行弦问题

例2.（2023九年级上•全国・专题练习）已知。。的直径为20cm,AB,CD是。。的两条弦，AB||CD,AB=

16cm,CD=12cm,贝！与CD之间的距离为—cm.

【答案】2或14

【分析】作。于E,延长E。交CD于尸，连接。4、OC,如图，利用平行线的性质。尸_LCD,根据垂径

定理得到AE=BE=8cm,CF=DF=6cm,则利用勾股定理可计算出。E=6cm,OF=8cm,讨论：当点

。