高中数学专项复习：共线向量问题（解析版）

第20讲共线向量问题

参考答案与试题解析

一.解答题（共18小题）

22

1.已知直线/:y=Ax+l,椭圆E:二十一■=1（相＞°）.

9m

（I）若不论左取何值，直线/与椭圆石恒有公共点，试求出机的取值范围及椭圆离心率e关

于机的函数关系式；

（II）当左=平时，直线/与椭圆E相交于A,3两点，与y轴交于点若AM=2MB,

求椭圆E的方程.

【解答】解：（I）•直线/恒过定点M（0,l）,且直线/与椭圆E恒有公共点，

02I2

点M（0,1）在椭圆E上或其内部，得一+丁,,1（m＞0），

9m

解得用..1,且？nw3.（3分）

（联立方程组，用判别式法也可）

当］,帆＜3时，椭圆的焦点在X轴上，e=J9-m-；

当相＞3时，椭圆的焦点在y轴上，e=9

m

^9—m2

(1,,m<3)

3

（6分）

y/m1-9

(m>3)

m

y=『+i

消去y得(/+10)x2+6jWx+9(l-m2)=0.

--------1-------7—1

、9m2

9(1-7712)

设A&,%),B(Xy)，则\+x=X.x,=-7----

222T①1-+10

M（0,l）,.•.由得玉=一2%③.（9分）

由①③得“斓

④.

将③④代入②得，-2（型r）2=9（1"）,解得病=6（疝=一15不合题意，舍去）.

疗+io疗+10

22

.•.椭圆石的方程为二+匕=1.（12分）

96

2.已知直线/:y=Ax+l(左wO)与椭圆3一+丁=Q(Q〉0)相交于A,5两个不同的点，记直

线/与y轴的交点为C.

(I)若左=1,且|A2|=孚，求实数。的值；

(II)若a=5,AC=2CB,求％的值，及AAOB的面积.

【解答】解：设A(x「%),B(x2,y2)

Fy=x+1，口。

(/)联立/，,得：4尤2+2》+1-。=0

[3/+y2=a

\AB\=yj2\xl-x2|=^2(a-1)=^^a=2...(6分)

\y=kx+l-/n002k-4

(〃)彳32+25，可得：(3+女2)炉+2日—4=0=_^~~=g9

直线/:丁=区+1(kWO)与y轴的交点为。(0,1),AC=(—玉，1—必)，CB=(X2,y2-l),...

(9分)

/、2k-4

由AC=2CB得：Xy=-2X2,代入芯+/=一^~~^-,xlx2=-——,

消去人2得：攵2=3=＞左=±J^...(12分)

01।八…।1r72A1I~~16~6「八、

s

^0B=-\OC\\X1-x21=5J(X1+x2y-4X,X2=-J3+fc2)2+=~...(15分)

3.已知直线/:y=履+1(左wO)与椭圆39+尸=a相交于A、3两个不同的点，记/与y轴

的交点为C.

(I)若左=1,且|AB|=孚，求实数。的值；

(II)若AC=2CB,求AAOB面积的最大值，及此时椭圆的方程.

【解答】解：设A($,%),B(X2,y2),

(I)由41,得4/+2》+1-a=0,

[3厂+y2=a

in,i11-a

贝!J%%=—-,F/-—-—,

则|他|=夜|百一解得4=2.

(II)由口：44,得(3+/)/+2丘+1一4=0,

[3x+y-a

2k1—a

贝(JXy+%2——z-，XiXy—z-

3+/"23+严

由A.C—2cB得(―玉，1—%)=2(々，%—1)，

解得％=—2%，代入上式得：

%+羽=_々=_^7,则

1-'3+k2-3+左2

3_73

c_1।511I_31」31%|3

SMOB=~IOC^Xy-x\=-\x|=3+左2

22-3"丽=万'

3+肉

伙I

4k

当且仅当r=3时取等号，此时尤2=37,xtx2=-2<=-2X\,=,

3+左(3+k)3

又占Tl-a

~6~

则匕£=二，解得4=5.

63

所以，AAOB面积的最大值为弓，此时椭圆的方程为3f+必=5.

4.在平面直角坐标系中，已知A(-/0),4(应,0),尸(x,y),M(x,l),N。,-2),若实数几使得

A2OM-ON=-A.PCO为坐标原点)

(1)求P点的轨迹方程，并讨论尸点的轨迹类型；

(2)当X=q-时，若过点8(0,2)的直线/与(1)中P点的轨迹交于不同的两点E,F(E在

B,尸之间)，试求AOBE与03尸面积之比的取值范围.

【解答】解：(1)OM=(x,1),ON=(x,-2),=(%+^,y),A,P=(x-y)

22222222

AOM-ON=AlP-A2P(x-2)2=x-2+y化简得：(1-A)%+/=2(1-2)

①2=±1时方程为y=0轨迹为一条直线

②彳=0时方程为尤丁=2轨迹为圆

/v2

③Xe(-1,0)U(0,1)时方程为一+—二次=1轨迹为椭圆

22(1—Z)

22

④.2e(-oo,-1)U(1,+oo)时方程为^------—=1轨迹为双曲线

22(2—1)

（2）丸=克，.•.尸点轨迹方程为兰+9=i,

22

SXOBE=-x2x|.r,I,S&OBF=1x2x|xj

=

-S^OBE-,^AOBFl\I：I工2I

设直线EF直线方程为y=fcc+2,联立方程可得：（1+2左2）/+8履+6=0.

3

28k6

.•.△=64左2—24—48左2>0,k>-.X.+X=-----------y,X|-X,=---------y

2f21+2/”21+2公

64公364人2

.（玉+工2）=土+，2,2

k〉—9••------------------Z-e(4,y)

226(1+2左2)

%•马6(1+2k)x2石

」w（11）U（1，3）

q

由题意可知：S^OBE<S^OBF,所以也必G(-4)-

S^OBF

5.如图，动点〃到两定点A（-l,0）、3（2,0）构成AM4B,ZMBA^IZMAB,设动点对的

轨迹为C.

（I）求轨迹C的方程;

\PR\

（11）设直线、=-2工+〃?与〉轴交于点「，与轨迹。相交于点。、尺，且|「。|<|刊?|,求

IP0

【解答】解：（I）设的坐标为（x,y）,显然有x>0,且ywO

当NMR4=90。时,点M的坐标为（2,±3）

2tanZMAB

当ZMB4W90。时,x手2,由ZMBA^IZMAB有tanNMBA=

1—tan2ZMAB

o\y\

即我x+1

I号

化简可得3/—/—3=0

而点（2,±3）在曲线3/-V-3=0上

综上可知，轨迹C的方程为3f-y2-3=o（x>D；

(II)直线y=-2x+机与3/一J-3=0(犬＞1)联立，消元可得无之一4如+机2+3=0①

.•.①有两根且均在(1,+00)内

-4mr

----->1

2

设fM=x2-4mx+m2+3,/.</(I)=1-4m+m2+3>0,,m于2

▲=16m2-4(m2+3)>0

设Q,R的坐标分别为(q,%),(xR,yR),

22

I尸Ql<l尸R|，=2m+^3(m-1),xQ=2m-^3(m-1),

|PR\_xR_2m+《3(府-1)_]+4m

2

IPQIXQ2m_43(/-D2m-^(m-I)

m>\,且机w2

,2<——^^=<8+473,且——^^=#8

2m—^3(m2-1)2m—^3(m2—1)

.­,1<-1+—^^=<7+46,H.-1+—^^=工7

2m-J3(〃?2-1)2m-小3(相？_1)

，的取值范围是(1,7)U(7,7+473)

6.如图，动点Af与两定点4-1,0)、2(1,0)构成AM4B,且直线A么、MB的斜率之积为4,

设动点"的轨迹为C.

(I)求轨迹。的方程；

(II)设直线y=x+m(机>0)与y轴交于点P,与轨迹C相交于点。、R,且|PQ|<|PR|,

求些的取值范围.

【解答】解：(I)设M(x,y),则

%=x+1'^MB=x-1

直线M4、MB的斜率之积为4,

上=4

x+1x-1

又彳=±1时，必有一个斜率不存在，

故XH±1

综上点V的轨迹方程为

4x2-y2-4=0(x^±l)

(II)直线y=x+m与

4丘-yZ-4=0(尤*±1)联立，消元

可得3尤2—2mx—m2—4=0@

△=16m2+48>0

当1或-1是方程①的根时，加的

值为1或-1,结合题设(加>0)可

知，>0且加W1

设。，R的坐标分别为(％,y°),

(4,%)，

IPQKIPRI，

m+2y1m2+3

••%R=~，

m-m2+3

q=3，

m+2A/m2+3

-3__乙

IPQIXQm-2y1m2+31-211I

3Vm2

相>0且mwl

33

/.1+—>1,且1+—

mm

2

1<1----------.<3，且

「2尸

Vm

些的取值范围是（1，

\PQ\

2”

7.在平面直角坐标系中，已知A4BC的两个顶点A,3的坐标分别为(-1,0),(1,0),

且AC,3c所在直线的斜率之积等于-2,记顶点C的轨迹为曲线E.

(I)求曲线E的方程；

(II)设直线＞=履+2(0＜左＜2)与y轴相交于点P,与曲线E相交于不同的两点。，R(点

R在点尸和点。之间)，且尸。=比尸尺，求实数2的取值范围.

【解答】解：(I)设点C(x,y),AABC的两个顶点A,3的坐标分别为(-1,0),(1,0),

且AC,BC所在直线的斜率之积等于-2,

.•.上.上=-2,

x-1X+1

化简得曲线石的方程为：2x2+/=2(y^0)；

(II)设直线y=6+2(0v2)与y轴相交于点尸(0,2),

与曲线石相交于不同的两点Q,R(点H在点尸和点。之间)，设Q&,%)，R%,必)

[y=kx+2

二[2%2+/=2

(2+左之_|_4丘+2=0；

-Ak2

X,+x=-------9x,x=-------...①

1?-2+k2?2+k2

△=165-16-8朽=8左2-16>0,nV>2

又0〈发<2,:.2<k2<4...@

PQ=(xl,yl-2),PR=(3,%-2),S.PQ=APR,

X[=AX2…③

_Ak?

2

由①②得，

(1+A)X2=--------AX2=----

乙十KZ十K

_21,2、

N--------T=­(1—T)

(1+2)28k2

结合②得G却实数2的取值范围.

-A3

--------T>---

(l+A)2163A2-10A+3<01,°口，，

,=>—<几<3且彳大1.

'A1A2-22+1>03

--------T<一

(1+Z)24

点R在点P和点。之间，

综上，实数沈的取值范围：(1,3)

8.已知抛物线C:^=2px经过点尸(1,2),过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交

点A,B,且直线R4交y轴于直线交y轴于N.

(I)求直线/的斜率的取值范围；

(II)设。为原点，QM=AQO,QN=〃Q。，求证：,+工为定值.

【解答】解：(I)抛物线C：V=2px经过点尸(1,2),，4=2p,解得p=2,

设过点(0,1)的直线方程为y=京+1,A(w,%),B(X2,%)

联立方程组可得,消y可得左2f+(2%-4)x+l=0,

[y=kx+1

.♦.△=(2左一4)2—4^>0,且女中0解得左<1,

口〜c21_1

.H.左W(J,石+马-7—，不马—,

又•丛、PB要与y轴相交，.■.直线/不能经过点(1,-2),即4w-3,

故直线/的斜率的取值范围(-8,-3)。(-3,0)U(0,1)；

(II)证明：设点M(0,y“)，N(0,yQ,

则QM=（0,加一1）,20=（0,-1）

因为QM=2。。，所以%-1=-N,故彳=1-%，同理〃=1-y”

直线心的方程为===

1-%]_江2+%

4

令彳=0,得力/=豆一，同理可得如=0：,

2+%2+%

因为3=」一+」-=2+2

入41一％1-Mv2-％2-%

8—2%%8-2（依+1）（仇+1）

（2—%）（2—%）1—左（石+%2）+42玉X2

2

8—2[kx^x2+左（玉+x2）+1]

4-2k

8-2（1++1）

k

4—2%

1-+1

k

4-2k

4-2x

k—2,

4—2%

2-

k

111工为定值.

/.—+—=2,.1----F

2AA

y

9.如图，已知抛物线C:yZ=2px经过点尸(1,2),过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不

同的交点A,B.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，直线上4交y轴于直线PB交y轴于N.OQ=4M。，OQ=/uNQ,

求证：％+〃为定值.

【解答】解：(1)抛物线C:y?=2px经过点尸(1,2),;.4=20,解得p=2,

设过点(0,1)的直线方程为y=Ax+l,A(X],M)，BQ2，%)；

联立方程组可得,

[y=kx+l

消y可得左2炉+(2左一4)%+1=0,

.♦.△=(2左一4)2—442>0,且女中0解得左<1,

故直线/的斜率的取值范围(-8,0)U(0,1)；

(2)证明：设点M(0,y.)，N(0QN)，

则MQ=(O,1,OQ=(0,1)；

因为OQ=2M。，所以1=〃1-坨)，故；l=—L—,同理〃=_L_,

IfIf

直线"的方程为丫-2="且5-1)=上*1)=」一D，

Ifl_yL_2-y,

4

令x=0,得％=0L,同理可得

2+必2+为

因为彳+〃=」一+'=2+"左=8-2%%

1-%i-yN2-％2-%(2-%)(2-%)

„-4_2k]、

8-2(何+1)(饱+1)_8-2M?为/+人(占+尤2)+1]+k+',

22

1-k{xx+x2)+kxxx21-k{xx+x2)+kx1x214-2、।1

k

即有/l+〃为定值.

10.已知点尸(1,2)在抛物线C:;/=2px上，过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交

点A、B,且直线R4交y轴于/,直线尸3交y轴于N.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设。为原点，QM=AQO,QN=〃QO,试判断工+工是否为定值，若是，求工+工值；

AjU4"

若不是，求工+工的取值范围.

24

【解答】解：(1)因点尸(1,2)在抛物线C:：/=2/上，则22=2pL解得p=2,

所以抛物线C的方程为/=4%.

令直线/的斜率为左，则直线/方程为：y=kx+l,

由消去y并整理得，k2x2+2(k-2)x+l=0,

直线/与抛物线C有两个不同的交点A、3,则.2“，2八，解得k<1且发#0,

又直线上4,PB与y相交，而点(1,-2)在抛物线C上，则直线/不能过点(1,-2),

否则R4或尸3之一平行于y轴，矛盾，因此女工-3,

综上得：k<1,左力。且左H：—3,

所以直线/的斜率的取值范围(-8,-3)D(-3,0)U(0,1).

(2)设点/(0,%),N(0，VN),QM=(0,yM-1),00=(0,-1),

而。M=X。。，贝!J2=1-y”，同理〃=1-%，

设A(%i,%)，B(X2，%)，

由公V+2(后一2)x+l=0,知天+X2=—筌3,玉々=土,

直线B4方程：y_2=^^(无一1),即1一2=^4。_1),则/_2=^—(x_l),

If]_5_2+y

4

令x=。，得%=0%，同理%=0%，

2+%2+y2

于是得J_+!=]+]=2+M+2+%=8-2%%=8-2(何+l)(g+D

_

X41-%1-＞N2-%2-%(2-%)(2-%)(1)(1~kx2)

只”沙2112左—4

2

_8-2[kxxx2+k(xx+x2)+1]_k2k?+_8左一2x4_2

1--占+/)+/玉%\\k2k~^\k2-\4%—4-，

k2k2

所以工+工为定值2.

2//

11.已知0M:(尤-1)2+，=工，直线/:尤=-工，动圆N与:-Af相外切，且与直线/相切.设

-42

动圆圆心N的轨迹为C,过点。(0,1)的直线/与曲线C有两个不同的交点A、B.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

(2)设O为原点，点P(l,2),直线以交y轴于直线交y轴于N,QM=AQO,

QN=fiQO,求证：,+工为定值.

A4

11*----------1

【解答】解：⑴由题意设N(羽y),且由题意可得x+[=J(x-iy+y2一3,

整理可得：y2=4.r；

所以曲线C的方程为：9=4尤；

由题意可得直线的的斜率存在且不为0,设直线钻的方程为：y=kx+l,设A(x「％),

B®,%)

联立直线与抛物线的方程：f,=丘+1,整理可得：k2x2+2(k-2)x+l=0,

[y=4尤

可得△=4(左一2)2-4公＞0,解得左＜1,且女工0,

所以直线/的斜率的取值范围(-8,0)U(0,1).

k

(2)证明：由(1)可得：xl+x2=--~^-,再4=2，

直线班的方程为：y-2=^^(x-l),令x=0可得尸口^+2=1丑+2,可得

M—1X.—1Xy—1

M(0,Z^±l+2),

玉一1

一3+1+2,

同理可得N的坐标％=

%2—1

由QN=piQO,可得,=2=1-,

所以

22左一4

XT।石一1_12玉％2一（石+冗2）k2*7

3='+」二2，

1

4〃l-yMl-yN(女一1居(k-l)x2k-1XxX2k-1

所以_L+_L为定值2.

22

12.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E:三+[=13>6>0）,其中6=a，

ab2

过椭圆E内一点尸（1,1）的两条直线分别与椭圆交于点A,C和3,D,且满足AP=ZPC,

BP=APD,其中2为正常数.当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的2=3.

7

（1）求椭圆E的离心率；

（2）求a与6的值；

（3）当2变化时，左加是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

【解答】（本小题满分16分）

解:（1）因为6=且0,

2

所以加=34,整理得〃一°2=3储，即4°2=02,

444

所以离心率e=£=1.…(4分)

a2

(2)因为C(a,O),A=-,

7

所以由4P=2尸C,得A(12—5。,空),…0分)

77

将它代入到椭圆方程中，

得(12—5,2+=解得。=2,

49a249x.

4

所以a=2,6=石.…(10分)

(3)解法一：设A&,y),B(X2,%),C(x3,%),D1，乂)，

由A尸=4尸C,得1,...(12分)

22

又椭圆的方程为土+匕=1，

43

2222

所以由工+里=1,至+”=1,

4343

得3X：+4%2=120,M3(^—+1)2+4(^-^-+1)2=12@,

?14

12

22

由②得,-^[3(1-^)+4(1-yj]+-[3(1-^)+4(1-yi)]=5,

即![(3尤；+4y；)+7—2(3%+4%)]+1[7-(3%,+4^)]=5,

/_pAZT\/曰rA19+144—54?z八、

结合①，得3玉+4/=------------，...(14分)

2A+2

19+144-5万

同理,有3%+4y2=

2X+2

所以3%,+4%=3X2+4%，

从而二A=—3,即左一3为定值.…(16分)

%-％244

(3)解法二：设A(%,%),B(X2,y2),C(%3，%)，。(%，”)，

fx+Ax.=1+4

由AP-PC,得「「

1%+丸％=1+4

L.E1[修+2%=1+4八、

同理24..(12分)

[为+2%=1+2

将A,3坐标代入椭圆方程得卜J，％』？，

13%+4%=12

两式相减得3(菁+々)(七一工2)+4(%+%)(%-%)=。，

即3(玉+%2)+4(必+%)勤=0,...(14分)

同理，3(%+/)+4(%+”)左CD=。，

而=kcD，所以3(毛+兄4)+4(必+为)配=°，

所以3A(X3+%4)+44(%+yJ^AB=0，

所以3(%+2X3+%2+丸%4)+4(%+4%+%+4y4)kAB=0，

即6(l+/l)+8(l+X)左=0,所以第8=-彳为定值.…(16分)

13.已知椭圆C：W+/=l(a>6>0)的离心率为电，右焦点为尸，过尸作x轴的垂线交

双曲线工-/=1的两条渐近线于E,G,得到三角形OEG的面积为1.

4

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设尸，M,N的三个点都在椭圆C上，设睦V的中点为。，且PO=2OQ,试判断APM2V

的面积是否为定值，并说明理由.

【解答】解：(1)因为椭圆C：5+/=13>6>O)的离心率为日，

所以a=应c,

双曲线9-丁=i的两条渐近线的方程为>=±],

设FG=t,则OF=2t,

因为三角形OEG的面积为1,所以L2r-2f=l,所以"走，c=OF=2t=y/2,

22

a=yflc=2,

22

所以椭圆。的方程为土+匕=1；

42

(2)①当直线MN的斜率不存在时，

因为PO=2O。,

所以。（-1,0）,此时MN的方程为x=-l；

或。（1,0）,此时的方程为x=l.

将x=—l,代入椭圆方程二+t=1得，M（T逅），N（—1,鸣,

4222

所以APMN的面积为，|A/N|・|尸。|=gx而x3=dF.

由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x=l时，APMN的面积也为侦；

2

②当直线跖V的斜率存在时，

设直线MN方程为y=kx+m,

设M{xx,y）,N{X2,%）,P（%3，%）,

因为MN的中点为。，且尸0=20。，所以APMN的重心是坐标原点O,

所以…

[%+%+%=0

r2v2

联立y=kx+m^—+=1,

得(2k1+l)x2+4hwc+2疗一4=0,A=8(2+4jt2-m2),

Mz,A_L-4km2m2-4

*>0nnN'T，Xi+X)=------，--，

"22^+11-2k2+1

所以％=2：f：i，%=-(%+%)=—左(%+x2)—2m=-2：：］，

故尸(半,-告)，

2k2+12k2+1

因为点尸在椭圆上，所以代入椭圆整理得力=3=，满足△>(),

2

Op-1-1

因而用与人满足的等式关系为①

2

J18(2+4^-〃，2)

当△>()时,

―2r+1-2r+1

因为APMN的重心是坐标原点O,所以APMZV的面积为AOA/N的面积的3倍,

设直线/与y轴交于点£>,则D(O,in).

znrzzAL13A/8777-(2+Ak~~1TI~)

那么XPMN的面积为：3x-ODx-x=△——--------,

2X1l-22(2公+1)

关系式（i）代入得s=侦,

2

综合①②得，APMN的面积为定值当

2

22

14.双曲线上:----^-r-=l（4z>0,Z?>0）,已知Q（%o,%）（%（）。土。）是双曲线石上一'点，A>B

ab~

分别是双曲线后的左右顶点，直线QA,Q5的斜率之积为1.

（I）求双曲线的离心率；

（II）若双曲线后的焦距为20,直线过点尸（2,0）且与双曲线E交于M、N两点，若

MP=3PN,求直线/的方程.

【解答】解：（I）Q®,%）（/。±。）是双曲线石上一点，

可得斗^=1，即"SV

由题意可得A(-a,0),B(a,0),

kk

^QA^QB

可得a

(II)由题意可得c=\/5\a=b=l9

双曲线的方程为尤2-丁=1,

设直线/的方程为y=-x-2）,（左。0,女。士1）,联立双曲线的方程,

可得（1-左2）/+4左2%一1一4左2=0,

设加（西，乂），N（%2，%），

4k21+4F小

则mil占+々=_匚出，g=_，①

又MP=3PN,可得2-西=3(尤2-2),②

由①②可得％=?当，-4-2k2

1-k2

代入①可得3/=15,解得％=±行，

则直线I的方程为y=土石(x-2).

15.已知圆。:/+丁=2,过点A(l,l)的直线交圆。所得的弦长为差，且与x轴的交点为

2

双曲线E：r尤2-之V=1的右焦点尸(c,0)(02),双曲线E的离心率为3.

a2b12

(1)求双曲线E的方程；

(2)过点P(—,5)作动直线/交双曲线右支于/、N两点，点0异于M,N,且在线段

上运动，并满足关系此=也，试证明点。恒在一条直线上.

\PN\\ON\

【解答】解：(1)设过点A(l,l)的直线为y—1=左(九—1),

即为依一y+l—左=0,

圆心。到直线的距离为d=匕色

由弦长公式可得2,产一屋=2也一屋=?，

解得

5

由解得左=一2或二.

y/1+ie52

则直线为y-l=_2(x_l),令y=0,贝|尤=：＜2舍去,

或直线y-l=-g(x-l),令y=0,贝l|x=3>2成立，

即有c=3,

由离心率为3.即6=£=』.解得a=2,b—A/C2—a2=下.

2a2

22

则双曲线E的方程为上-乙=1；

45

设过点尸(一，5)作动直线/交双曲线右支于%)、N(x2,%)两点，

点Q(x,y),

则5龙;-4y；=20,54-4yf=20,

\PM\\MQ\,

|PN|一|ON|'

；・设需=^5则，MQjQN,

则,—川J%+生-x,%一2%=5%+♦为,7

1-2-3'1+2―.，1-A—'1+2―，'

玉-Zx玉+AX_4弘一必

则22——xXM+2%

1-A1+231-21+2

玉2-A2X2_4]

即2

1-2231-22

则5x『-4x5"淬产4M2一422%2_5%24yJ一分每2—4%?)20-2022

1-22—-1-A21-22

4

即—x-4y=4,

即x—3y=3,

故％-3丁一3二0,

故点。恒在一条直线上％-3,-3=。.

22

16.点尸在以月，骂为焦点的双曲线方=l(q>0,6>0)上，已知尸丑尸鸟，

|「耳|=2|「乙|,O为坐标原点.

(I)求双曲线的离心率e；

(II)过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于/；,g两点，且。々。吕:-日，

2PP.+PP.=0,求双曲线E的方程；

(III)若过点。(加，0)(根为非零常数)的直线/与(2)中双曲线E相交于不同于双曲线顶

点的两点M、N,且MQ=XQN(X为非零常数)，问在x轴上是否存在定点G,使

片鸟_L(GM-XGN)?若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(I)\PFl\=2\PF2\,\PF1\-\PF2\=2a,.[尸用=4。,\PF2\=2a

222

PF,1PF2(M+(2a)=(2c):.e=y/5

22

u吟

渐近线为y=±2x设6(网，2占)，P2(x2,-2%)，P(x,y)

279

OR,OF^——3飞%2=—~，••玉w=a，

2PPX+PPZ=O

._2%+々_2(2%-x2)

代入E化简占了2=：。2，，。2=2

(HI)假设在X轴上存在定点GQ,O)

使用8_L(GM-/IGN),

设/:彳=勿+租，Af(%,,%)，N(x4,%)

联立I与E的方程得(4F-1)丁+8kmy+4病_8=0

-8km

(1)

~4k2-l

故,

4m2-8...

-九

GMGN={x3-t-AX4+At,y3-2yJ月8=(2何,0)

F,F21(GM-AGN)ox3-t-Ax4+At=0ok(y3-A,y4)+(l-A.)m+(2-l)r=0(3)

由MQ=AQNy3+Ay4=0/.y3=-Ay4(4)

.­.(3)即为263+(1-4)m+(4-1»=0(5),将(4)代入(1)(2)

2_??

有为=(XT)“m代入(5)得r=上

2kmm

2

故在x轴上存在定点G(—,0)使FF1(GM-4GN).

mX2

22

17.设直线/:y=x+〃z,双曲线£:二-与=1(a>0,6>0),双曲线的离心率为6,/与E交