高中数学复习：函数的图象 讲义

2-8函数的图象讲义

【高考要求】L能够判断指定函数的图象，也能根据图象判断适合的函数解析式；

2.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

3.熟悉函数图象变换，能根据图象变换分析函数性质；

【知识总结】

函数图象变换

(一).平移变换

1.把函数y=K尤)的图像沿x轴向左平移a个单位得到函数y=/(x+a)(a>0)的图像；

2.把函数y=/(x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到函数y=/(尤-a)(a>0)的图像；

3.把函数>=加)的图像沿y轴向上平移a个单位得到函数y=/(x)+a(a>0)的图像；

4.把函数尤)的图像沿y轴向下平移a个单位得到函数y=/(尤)-a(a>0)的图像；

(二).对称变换

1.函数自身的对称

(1)函数/(x)的图象关于x=a对称=/(a+x)=/(a—x)=y(x)=/(2a—x)=/(2a+x)；

(2)若函数“x)的定义域为R,且有<a+x)=/(i>—x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=62对称.

(3)函数(尤)的图象关于(a,0)对称尤)=C)e/(x)M2a—尤)=0=/(—x)92a+x)=0；

(4)函数大尤)的图象关于点(a,6)成中心对称+x)/a—尤)=2b^fi2a-x)+fix)=2b

2.两个函数之间的对称

(1)函数y=A尤)与函数g(x)=f(-x)的图像关于y轴对称；

(2)函数y=/(元)与函数g(x)=-f(x)的图像关于x轴对称；

(3)函数y=/(a+x)与g(x)=f(b-x)的图象关于直线x=呼对称；

(4)函数y=/(x)与g(x)=f(2b-x)的图象关于直线x=a对称；

(5)函数八彳)与函数g(x)=—f(—x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

(6)函数y=/(元)与g(x)=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称；

(7)函数y=/(x)与g(x)=2b—f(2匚-x)的图象关于点(a,b)对称.

(三).翻折变换

(1)y=|/(x)|的图像是将函数/(%)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折上来

得到的(如图(a)和图(b))所示

(2)y=/(凶)的图像是将函数/(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到函数

y=/(N)左边的图像即函数y=/(W)是一个偶函数(如图(C)所示).

1.将y=/a)上每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到y=A/U)(A>0).

2.将y=/U)上每一点的横坐标伸长(0<co<1)或缩短(3>1)到原来的工倍得y=f(cox)(o)>0).

Ci)

【常用结论】

【课前自测】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“义”)

⑴函数>=")|为偶函数.(X)

(2)函数x)的图象，可由y=/(—x)的图象向左平移1个单位长度得到.(X)

(3)当xd(0,+8)时，函数y=|/(x)|与>=川功的图象相同.(X)

(4)函数y=/(x)的图象关于y轴对称即函数y=/(x)与y=/(—x)的图象关于y轴对称.(X)

2.函数>=%)与>=k的图象关于y轴对称，再把y=/(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数;y=g(x)的图

象，贝!]g(x)=.

答案：e-x+i；解析：由题意可知元)=葭。

把y=/U)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e—(厂1)=屋，+1的图象.

【考点题型】

考点一作函数的图象

【方法总结】函数图象的作法

(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部

分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，

但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析

式的影响.

2尤一1］

［例1］作出下列函数的图象:⑴产=丁；(2)〉=/—2|x|T；(3)y=(w)w；(4)j=|log2(x+1)|.

象，即得函数2|x|—1的图象，如图.

⑶作出y=(1■厂的图象，保留y=(；『图象中x>0的部分，加上>=(；)，的图象中尤>0部分关于y轴的对称部

(4)将函数y=log加的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得至I函数y=|log2(x+

1)|的图象，如图中实线部分.

考点二函数图象的识别

【方法总结】识别函数图象的方法

(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象.

(2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：

①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；

②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；

③从函数的奇偶性判断图象的对称性；

④从函数的周期性判断图象的循环往复；

⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项.

⑶求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某

特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择.

注意：应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高.

［例2］⑴(2024•全国甲卷理•真题T7)函数+(e"efsiru在区间［-2.828］的大致图像为()

答案B解析/(-x)=-^2+(e--et)sin(-^)=-x2+(el-e-')sinA-=/(x),故该函数为偶函数，可排除A、C,

又/⑴=-l+(eTsinl>T+(eTsi*故可排除D;故选：B.

(2)(2018・全国^)函数/U)=e9的图象大致为()

答案B解析e"是奇函数，y=N是偶函数，.\/(x)=—不一是奇函数，图象关于原点对称，排除A

选项；当x=l时，/(l)=e—：>0，排除D选项；又e>2,.*.e—->1,排除C选项.故选B.

(3)(2018•浙江)函数y=2%in2x的图象可能是()

答案D角翠析由y=2%in2x知函数的定义域为R,令/(x)=2%in2］,贝］/(—x)=2L*in(—2x)=­2Wsin2x,丁

y(x)=­/i-x),.•.凡r)为奇函数..\/(无)的图象关于原点对称，故排除A、B.4>»=2wsin2x=o,解得x=»■(左e

7T

Z),.•.当A=1时，x=5，故排除C,选D.

(4)己知函数/U)的图象如图所示，则人元)的解析式可以是()

inivie"11

A.B.fix)=~C.>)=7-1D.f{x)=x~~

人，人人人

iy

——7oV7x

答案A解析由图象知"x)为奇函数，排除B、C.若方则无一+s时，危)T+OO,排除D.

(5)(多选).已知定义在［-3,3］上的函数y=f(x)的图像如图所示.下述四个结论：()

A.函数y=f(x)的值域为［―2,2］B.函数y=f(x)的单调递减区间为［—1,1］

C.函数y=f(x)仅有两个零点D.存在实数。满足f(a)+f(-a)=O

由图，y=f(x)的最大值大于2,最小值小于2,故值域不为[-2,2],故错误;

对B,函数y=f(x)的单调递减区间为[―1,1],故正确;对C,函数y=f(x)有三个零点，故错误;

对D,f(0)+f(—0)=0成立，故正确；故选：BD

一2x32(—x)32X3.

答案：B；解析：:丁=加)=2%+2一中6,6],A-1)-2r+2.——2X+2X—―,汽彳)

2x4^128

是奇函数，排除选项C.当x=4时，＞=亏户=-----^G(7,8),排除选项A、D.故选B.

::16+记

2.(2018•全国III)函数y=—f+r+2的图象大致为()

答案：D；

所以排除C项.故选D.

Y2

3.函数＞=至一ln|x|的图象大致为(

答案：D；解析：令兀v)=y=R—ln|x|,则八一x)=/(无)，故函数为偶函数，排除选项B;当无＞0且x-0

时，y—十(»,排除选项A;当x=2/时，j=l-ln(2V2)＜l-lne=0,排除选项C.故选D.

4(多选).已知二次函数+c的图象如下图所示，则下列说法正确的是()

A.〃>4acB.ac>0C.人<。D.ci-b+c<G

答案：AD；解析：由图可得“<0,f(0)=c>0,4>0，A=Z>2-4ac>0,f(.-l)=a-b+c<0

所以b>0,ac<0,故选：AD

x2,x>0

5.已知函数1,g（x）=—fi—x）,则函数g（x）的图象是（）

x<0

答案：D；解析：法一:

题图选项D中图象.故选D.

法二：先画出函数人））的图象，如图1所示，再根据函数尤）与一八一x）的图象关于坐标原点对称，即可画出函数

一/（一尤），即g（x）的图象，如图2所示.故选D.

8.若函数y=/（x）的图象如图所示,则函数>=—y（x+l）的图象大致为（)

答案：C；解析：要想由y=/（x）的图象得到y=-/（x+l）的图象，需要先将y=/a）的图象关于x轴对称

得到y=-/（x）的图象，然后向左平移1个单位长度得到y=-A无+1）的图象，根据上述步骤可知C正确.

考点三利用函数图象研究函数的性质

【方法总结】利用图象研究函数性质问题的思路

对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究:

［例3］（1）已知函数"x）=M尤|一2无，则下列结论正确的是（）

A.八x）是偶函数，递增区间是（0,+8）B.人尤）是偶函数，递减区间是（一8,1）

C.兀0是奇函数，递减区间是（一1,1）D./U）是奇函数，递增区间是（一8,0）

［了2—2%,x>0,

答案C解析将函数於)=小|—2x去掉绝对值得'画出函数危)的图象，如图,

［—x~2x,x<0,

观察图象可知，函数兀0的图象关于原点对称，故函数兀X)为奇函数，且在(一1,1)上单调递减.

2^—1

(2)设函数y==p关于该函数图象的命题如下:

①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y=x对称；④关

于原点中心对称.其中正确的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

2r—12)+34

答案B解析y=一丁=」2(一Y—~一=2+T，图象如图所示，可知②③正确.

%—2x~2x~2

⑶大幻=1042在区间［徵，4］上的值域为［—1,2］,则实数小的取值范围为_________.

——%，+-%+-,%>—1

333

答案［—8,-1］解析作出於)的图象，当烂一1时，段)=/0出(一》单调递减，且最小值为八-1)=一1,则

令，。。2(-：)=2,解得％=—8;当x>一1时，函数於)=—¥+++,在(一1,2)上单调递增，在［2,+oo)上递减，

2

则最大值为月2)=2,又/(4)=w<2,/(-1)=-1,故所求实数机的取值范围为［-8,-1］.

考点四利用函数图象解决方程根的问题

【方法总结】利用函数的图象解决方程根问题的思路

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程40=0的根就是函数式幻图象与X轴交点

的横坐标，方程次x)=g(x)的根就是函数人x)与g(x)图象交点的横坐标.

［例4］(1)已知函数y(x)=21nx,g(x)=，一4x+5,则方程八%)=且0)的根的个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案C解析由已知以%)=。-2产+1,得其顶点为(2,1),又12)=21n2£(l,2),可知点(2,1)位于函数

J(x)=21nx图象的下方，故函数危)=21nx的图象与函数以防二一一4x+5的图象有2个交点.

(2)函数/C%)=ln(x+1)的图象与函数g(%)=f—4x+4的图象的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案：C；解析：由于函数4x)=ln(x+l)的图象是由函数y=lnx的图象向左平移1个单位长度得到的,

函数g(%)=——4%+4=(x—2)2,故函数g(x)图象的对称轴为x=2,顶点坐标为(2,0),开口向上，所以作出1工),

g(%)的图象如图所示，故函数1%)与g(x)的图象有两个交点.

(3)已知函数满足：①定义域为R；②Vx£R,都有危+2)=危);③当1,1］时，兀x)=一国+l.则

方程/(%)=/og2国在区间［-3，5］内解的个数是()

A.5B.6C.7D.8

答案A解析依题意画出y=«x)与y=glog2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5.

(4)(多选).函数f(x)=(x-2)(x-5)-1有两个零点久1，尤2，且/<&下列结论错误的是()

A.f(2)>0B.函数f(x)在［2,5］上有最小值

C.函数丫=代*+3)+1的零点为5,8D.久i<2且冷>5

答案:AC；解析:令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,

所以函数f(x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)与y=1的图象交点的横坐标.

如图，在同一坐标系中作出函数g(x)与y=1的图象，两图象交点的横坐标分别为.的,％2

A：/⑵=°T=T<°,故A错误；

B：因为g⑶在［2同上有最小值，所以“X)在RS］上也有最小值，故B正确;

C：函数y=〃尤+3)+1=(尤+1)(了一2),则零点为-1,2,故C错误；

D：由图可知不<2且%>5,故D正确.故选：AC

考点五利用函数图象解不等式

【方法总结】利用函数图象求解不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从

而利用数形结合求解.

[例5](1)设奇函数五功在(0,+8)上为增函数，且八1)=0,则不等式©子也<0的解集为()

A.(-1,0)U(l,+oo)B.(-oo,-l)U(0,1)C.(-oo,-1)U(1,+oo)D.(—1,0)U(0,1)

答案D解析因为五x)为奇函数，所以不等式K—一，二制<0可化为与<0,即状尤)<0,黄尤)的大致图象如图所

示.所以对(无)<0的解集为(-1,0)U(0,1).

(2)如图，函数危)的图象为折线AC8,则不等式7(x)Kog2(x+l)的解集为.

2C/\y=logz(%+l)

-10|2~X

...一y=2,

答案[x\—1<X<1｝解析令y=log2(x+1),作出函数y=log2(x+1)图象如图所示.由彳得

-ly=log2(x+l)

w=l,

结合图象知不等式加巨log2(尤+1)的解集为｛X|-1K1｝.

[y=l.-

(3)若犬尤)是周期为4的偶函数，当xG[0,2]时，兀c)=x—1,则不等式对(尤)>0在(-1,3)上的解集为()

A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,O)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)

答案C解析作出函数«x)的图象如图所示.当xG(—l,0)时，由状x)>0得xG(—l,0);当xe(0,1)时，

由状x)>0得尤G0；当尤e(l,3)时，由灯⑴>0得xe(l,3).故xe(—l,O)U(1,3).

(4)若不等式(x—l)2<logax(a>0,且存1)在尤以1,2)内恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(1,2]B.(y,l)C.(1,柩D.(y[2,2)

答案A解析要使当xG(l,2)时，不等式(无一l)2<logd恒成立，只需函数>=(无一1)2在(1,2)上的图象在y

=loga尤的图象的下方即可.当0<°<1时，显然不成立；当。>1时，如图，要使xG(