湖南省长沙市望城区某中学2024-2025学年高一年级上册12月期末数学试题（附答案解析）

湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一上学期12月

期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

l+logn|x|,x<-l

1.已知函数"x)=/、2，方程/(月-1=0有两解，则。的取值范围是()

(x+1)+2,ct,x>—1

A.(1,1)B.(0,1)C.(0,1)D.(l,+oo)

2.已知函数/(月=1112-'-》3,则不等式/(3-/)>〃205)的解集为()

A.(-4,2)B.(一叫2)

C.(-00,-2)o(2,+00)D.(-00,-4)0(2,+00)

3.已知函数/(x)=asinx+6cosx,其中a^R,6GR,如果对任意％wR,者B有/(x)w2,

那么在下列不等式中一定成立的是()

A.-4<a+b<4B.-4<。-6<4C.a2+b2<2D.a2-^-b1<4

4.已知角9的顶点在坐标原点，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点尸

则()

A.cos20>0B.cos23<0C.sin23>0D.sin23<0

5.下列函数是奇函数且在区间(0,1)上是增函数的是()

A.y=sinxB.y=3~x

21

C.y=x2D.y=—

x

6.已知集合/={-1,1,2,3,4,5},5={xeJV|(x-l)(x-5)<0},则自3=()

A.{3}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{-1,1,5}

7.已知锐角0满足6sinp-cosp=l.若要得到函数〃x)=；-sin2(x+/)的图象，则可以

将函数V=；sin2尤的图象().

试卷第1页，共4页

A.向左平移曾个单位长度B.向左平移二个单位长度

12

C.向右平移一7兀个单位长度D.向右平移己个单位长度

12

8.“x<l”是“炉-4工+3>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

二、多选题

9.已知/'(x)是定义在R上不恒为0的函数，/(尤-1)的图象关于直线x=l对称，且函数

>=下的图象的对称中心也是/'(x)图象的一个对称中心，则()

A.点(-2,0)是/(x)的图象的一个对称中心

B./(尤)为周期函数，且4是/(无)的一个周期

C./(4-x)为偶函数

D./(31)+/(35)=2

10.已知定义在R上的函数/'(x)满足：对VdPeRJ(a+p)+/3-£)=2/0)/0),

且=,则以下结论正确的为()

A./Q=0B./⑺=0

C./(-x)=/(x)D./(x+7t)=/(x)

11.已知函数/'(x)=J^cos21■-sin|'cos!',贝!]()

A.函数/(x)的最小正周期为47r

B.点-丁，方-是函数“可图象的一个对称中心

I32)

C.将函数/(X)图象向左平移;个单位长度，所得到的函数图象关于V轴对称

D.函数/(x)在区间上单调递减

12.下列说法正确的是()

试卷第2页，共4页

A.是的充分不必要条件

ab

B.=0,是/=0的必要不充分条件

C.若a,b,ceR,则“ac?>犷”的充要条件是“a>b”

D.若a,6eR,则“/十尸为”是“同+1上0”的充要条件

三、填空题

13.已知sinar-0cosa=,贝Utana的值是.

a

14.角6的终边经过点尸(4/),且sinO=-1,贝ijtane=.

15.已知/(x)是定义在R,且满足知(x+2)=/(x-2),当xe［0,4)时,/(x)=|x2-4x+3|

若函数y=/(x)-正在区间［-4,6］上有10个不同零点，则实数机的取值范围是.

四、解答题

16.已知函数/(x)=l°g5(-，+2〃+l)的定义域为0,g(x)==A

4x+1

(1)若4=求函数/(x)的值域；

⑵若。=(九〃)，且g(叫之《io,求实数2的取值范围.

17.如图为函数〃x)=2cos(0x+/)(0>O,冏的部分图象，且|。必=%

(2)将/'(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移?个单

位长度，得到函数g(x)的图象，讨论函数〉=g(x)-。在区间-兀微的零点个数.

18.已知函数/(x)=2sinx(由cosx-sinx)+l,XGR.

试卷第3页，共4页

(1)求曲线y=f(x)的对称中心；

(2)在锐角三角形48c中，。，6,。分别是内角A,B,C的对边，且/(弓］=2.若6+cV切

恒成立，求实数上的最小值.

19.请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.

(1)如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形48cD,如何

截取？并求出这个最大矩形的面积.

图1

(2)如图2,要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大

的矩形N2CD,如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

AOB

图2

20.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:

年份201420152016201720182019

人数/千人208221352203227623392385

(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的

变化趋势；

⑵研究人员用函数尸(。=2000+4487K554-1拟合该地的人口数量，其中/的单位是

年,2014年初对应时刻"0,P")的单位是千人，设尸⑴的反函数为T(x),求7(2400)的值

(精确到0.1),并解释其实际意义.

21.在/4BC中，角4民。的对边分别是瓦。，且43,C成等差数列.

______3L

(1)若4B,BC=—3，b—V3,求的值；

(2)求2sin4-sinC的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDDDADAAACACD

题号1112

答案BCDBD

1.B

【分析】根据已知条件对。进行分类讨论：。>1,然后分别考虑每段函数的单调

性以及取值范围，确定出方程/(x)-l=O有两解时。所满足的不等式，由此求解出。的取值

范围.

,、l+loga|x|,x<-l

【详解】因为/X=,、2，所以。>0且OR1,

(x+1)+2a,x>-l

当0<a<l时，/(x)在时单调递增,所以/(x)1mx=

又/(x)在女(-1,+8)时单调递增,M/(x)>/(-l)=2a,

因为方程/卜)-1=0有两解，所以2a<1,所以

当0>1时，/(力在时单调递减，/(x)^=/(-1)=1；

又/(x)在久e(-1,+oo)时单调递增,/(%)>/(-1)=2a,

因为方程=0要有两解，所以2a<1,此时不成立.

综上可得ae(0,£|,

故选：B.

【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：

方法(1):将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题;

方法(2)：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析

/(x)的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.

2.D

【分析】先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可.

【详解】由题意，xeR,/(x)=-xln2-x3,易知函数［(x)在R上单调递减(减+减)，而

/(3-x2)>f(2x-5),所以3(2x_5n(尤_2)(x+4))0nxe.

答案第1页，共11页

故选：D.

3.D

【分析】根据题意分“=0和。w0求解函数的最值进行判断即可.

【详解】当。=0时，f(x)=bcosx,

因为对任意xeR,都有/(x)22,

所以同<2,所以一2<6<2,

所以一2<a+b<2,—2<〃一6<2,/+/<4，

当。力0时，/(%)=°sinx+6cos+&sin(x.)，其中tan9=「，

因为对任意xeR,都有/(x)w2,

所以<2,所以/+加<4，

综上，只有/+/<4成立，

故选：D

4.D

【分析】根据三角函数的定义求出cos6、sin6,结合二倍角的正弦、余弦公式计算即可判断

选项.

【详解】由题意知，设坐标原点为O,则=,z>0,

由三角函数的定义，得cose=2=7『，sine=W

OP正JOP

_2/7

所以sin26=2sin6cose=-------<0,

t+\

cos20=cos2^-sin20=---,

t+\

当0<I<1时,cos2。<0；当％21时，cos26。0.

故选：D.

5.A

【详解】根据题意依次分析选项中函数的奇偶性和单调性即可得答案.

【解答】对于A：>=sinx是正弦函数且为奇函数，且在区间(0,1)上是增函数，故A符合

题意；

答案第2页，共11页

对于B：了=3一、是指数函数不是奇函数，故B不符合题意；

对于C：y=x?是二次函数，且为偶函数不是奇函数，故C不符合题意；

对于D：v=-是反比例函数且是奇函数，但在区间(0」)上是减函数，故D不符合题意.

X

故选：A.

6.D

【解析】求出集合8,利用补集的定义可求得集合立5.

r

【详解】•.-JB={xeA|(x-l)(x-5)<0)={ref<x<5)=?,3,4},4={-1,1,2,3,4,5},

因此，^={-1,1,5}.

故选：D.

【点睛】本题考查补集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于

基础题.

7.A

【解析】由6sin夕-cosp=l可得"=(,代入〃尤)化简得/(x)=；sin(2x+%,即可知如

何平移V=gsin2尤得到了(尤).

【详解】由V^sin。—cos。=1知：2sin(^>——)=1,BP——)=—,

662

‘锐角夕=g,故/'(x)=；-Sil?(x+e)=J-sin?(x+=；cos(2x+,

J乙乙)乙J

1_2乃、1._TC、1._77r、

乂—cos(z2xH——)———sin(z2x+——sinz(2xH——),

.•./(x)=：sin(2x+4,故/(x)是将了=1sin2x向左平移二个单位长度得到，

26212

故选：A

【点睛】关键点点睛：由辅助角公式化简已知条件求锐角。，根据/(无)的函数式，应用二

倍角、诱导公式将〃x)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式.

8.A

【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.

【详解】解不等式/一4x+3>0得尤>3或x<l,

记4=(-8,1)3(3,+°°),3=(-8,1)，

答案第3页，共11页

因为/B,所以“x<l”是“--以+3>0”的充分不必要条件.

故选：A

9.AC

【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数的性质，再逐项推理判断得解.

【详解】由/(X-1)的图象关于直线尤=1对称，得函数/(无)关于V对称，即/(X)为偶函数,

/(-X)=/(X),

显然函数>=工图象的对称中心为原点，则函数>的图象的对称中心为(2,0),即

Xx-2

f(2+x)+f(2-x)=0f

对于A,/(-2+x)+/(-2-x)=/(2-x)+/(2+x)=0,则于2,0)是图象的一个对称中

心，A正确；

对于B,由〃2+x)+/(2-x)=0,#/(4+x)+/(-x)=0,即/(x+4)=-/(x),

/(x+8)=-/(x+4)=/(x),〃x)是周期函数，8是该函数的一个周期，

若4是“X)的一个周期，则〃x+4)=/(x),而/(x+4)=-/(x),从而是x)=0与已知矛盾,

B错误；

对于C/(4-x)=/[-8+(4-x)]=/(-4-x)=f(4+x),因此〃4一x)为偶函数，C正确；

对于D,由f(2+x)+/(2-x)=0,得〃3)+〃1)=0,

则/(3D+/(35)=/(8x4-l)+/(8x4+3)=/(-1)+州3)=/(1)+/(3)=0,D错误.

故选：AC

10.ACD

【分析】根据题意，利用赋值法进行运算，逐项判断.

【详解】因为定义域为R的函数/(x),有/>+0+/>-夕)=2〃0〃£),

令a=B=g贝丫用+/(。)=2上同，又〃。)=4升一1,

所以/t1=0,故A正确；

令&=/=则/(兀)+/(o)=2,

所以;■(兀)=1,故B错误；

令a=0,则/(0+/(-£)=2/(0)/(0,

答案第4页，共11页

得到/(-£)=/(£)，/eR,

所以/'(无)是偶函数，C正确;

取TTt~»。=&+7了T-"=7U"

兀71兀

则u+/(%)=/x+4+小小=0

444

所以d+;71

=-/(%),则/(x+兀)=-/X+-=/1),D正确.

故选：ACD.

11.BCD

【分析】先将/(x)=Gcos2t-Si*cos5化简为〃x)=cos(x+工)+",再结合余弦函数

22262

的性质判断4个选项即可.

【详解】

1+cosxsinxcos.-1smx皿=c°s(xEa

f(x)=V3COS2--sin—cos—=A/-3

2~2P2262

故最小正周期为2%,A错误;

{g)=c°s(-/公+3=丁点］-是一个对称中心，

B正确;

向左平移詈个单位长度得到/(x)=cos(x+p*+,=-cosx+*关于了轴对称，C

正确；

xe^—―,0^,x+—6^0,—^,/(X)单调递减，D正确.

故选：BCD.

12.BD

【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解.

【详解】A选项：当。=2,6=-2时，满足工＞!,但是不能推出。＜6；

ab

反之当。=-2,6=2时，满足。＜6,但是不能推出!＞；,所以两者既不充分也不必要，故

ab

A错误;

B选项：当么={1}，B={2},NcB=0,但是不能推出力=0

当4=0时，4cB=0,故B正确；

C选项：当c=0时，不能由推出＞立2,故C错误；

答案第5页，共11页

D选项：/+〃。0等价于〃wo,6。0等价于问+同。0,故D正确;

故选：BD.

13.一匹

2

【分析】结合辅助角公式即可求出sin(a-0)=1,其中tan0=也，再根据正弦函数值域用°

表示a,代入tana利用诱导公式即可求值.

【详解】Vsina-V2cosa=y/isin(a一夕)=G,其中tan9=V2.

sin(a-9)=l,a-(p=——F2k7i(JiGZ),a=(p-\-----1-2kn(kGZ),

1_y/2

故tana=tan夕+一

tancp2

故答案为一f

3

14.——

4

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan。的值.

/、•八3y

【详解】解：角。的终边经过点尸(4,歹)，且sm6=-J"；,

/.y——3,则tan。————,

44

3

故答案为-了.

4

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.

15.0<m<l

【分析】由/(x+2)=f(x-2)可知函数/■(》)的周期为4,再数形结合得出结果.

【详解】由/(x+2)=/(x-2)得/(x+4)=〃x),

所以函数/(x)的周期为4,

先作出夕=/(》)在区间［-4,6］上图像：

答案第6页，共11页

又/（0）=3,/⑵=1,

则实数m的取值范围为0（加<1.

故答案为：0<〃?<1.

16.（1）（-叫2]

⑵卜3,3]

【分析】（1）当彳=a:时，先求内层函数/n—f+Q3X+l的值域，进而再求函数/（X）的值域

即可；

（2）由对数函数定义域可知方程--+2Xx+i=o的两根分别为九〃，利用韦达定理可得

m+n=2A,mn=-1,代入[g(m)-g(〃)『V10化简即可求角军.

【详解】（1）当2时，由-X?+]X+1=（-尤+2）（x+/

>om--<x<2

2

^t=-x2+-x+i,当丫_5_3时t取最大值+3x3+1=竺,

22^1)-4⑷2416

所以IJo,从而/(x)的值域为(-*2].

(2)由于。=(刃,〃)，JELA=4A2+4>0»

所以方程-_?+2人+1=0的两根分别为%”,且〃z+〃=2/l,mn=-\,

又[g（W-g（〃）『410，即（与三-容彳]VI。，

将加+“=2%,mn=-1代入整理得

\(m-nn-m\1mii+m-ri-n-nin+ni-n+m1(m-n]

41/+lA?2+1J4------440

4(m—n)

从而(m+〃)2-4mn<40,

所以；P—9W0=—3«八3

答案第7页，共11页

即实数2的取值范围为

71

17.⑴q=2,(p=—

(2)答案见解析

【分析】(1)由周期求出。，根据-2］求出外

(2)首先求出g(x)的解析式，函数〉=g(x)-a在区间-兀的零点个数即为函数g(x)的

图象与直线＞=。在-兀上的交点个数，由*的取值范围，求出|x-g的取值范围，再

结合余弦函数的图象即可得解.

【详解】(1)根据题意得，故7=兀，。=1=2,故/(x)=2cos(2x+。).

将/［If，-2］代入，得2x］-1|j+p=-兀+2E(0Z),解得9=q+2foi亿eZ),

又陷＜］，故夕=一/•

(2)依题意，g(x)=2cos^x-^-=2cos^-.

7TIT

函数y=g(尤)-“在区间-匹］的零点个数即为函数g(x)的图象与直线y=。在-兀,万上

的交点个数.

当xe-匹5jr时，-2x-2y冗e-4y7r，-^71,结合余弦函数图象可知，

当xe-71,时，g(x)单调递减，当时，g(x)单调递增，

且g(-兀)=-1，gg|=l，8(_?=_2，

作出函数g(x)在-阳'上的大致图象如图所示.

71X

观察可知，当。=-2或时，＞=g(x)-。有1个零点;

答案第8页，共11页

当一2<时，>=g(x)—。有2个零点;

当。〈一2或〃〉1时，V=g(%)-。有0个零点.

18.(1)(-历十了，。)，keZj；(2)2.

【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦函数的性质求解即可；

(2)由=2求出A,利用正弦定理得出与=2sind，由Ce仅，号结合正弦函

数的性质得出实数左的最小值.

【详解】(1)由题意，得了(x)=273sinxcosx-2sin2x+1=6sin2x+cos2x=2sin^2x+^.

_71,_/口兀ku,_

令A2xH—=ku,k1eZ,付x=-----1-----,keZ

6122

•••曲线y=/(x)的对称中心为[4+g,oj,keZ.

(2)/^=2sin^+^=2,gpsin^+^J=l

•.T是锐角三角形/3C的内角，.••/+3=W，=

623

由正弦定理得"£=sing+smC=(sin5+smC)

asin/3

=^^[sin(N+C)+sinC]

=x—sinC+cosC=2sin[C+q].

3(22JI6；

0<C<-

71兀

在锐角三角形力5C中，。解得

八2兀「兀652

0<------C<—

132

A+f

得竺£(2,.•.左22,即实数上的最小值为2.

a

【点睛】本题考查三角函数的图象与性质及利用正弦定理解三角形，属于中档题.

19.(1)0A=—,面积最大为1(2)OB=E，BC=—,面积最大值为2

22

【分析】(1)通过设出N3OC=a,进而用a表示出。2,BC；最后表示出S利用三角函数即

可求解;

(2)通过设出点。的坐标(冽，n),进而表示出。5=加，BC=n,S=2mn；再利用点。为

答案第9页，共11页

椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可;

JT

【详解】（1）设（0Va<5）；

OB=cosa,BC=sina；

■:S=2OB・BC,

S=2sinacosa=sinla；

.•.当时，即。/=交时，矩形面积最大为1；

42

2

（2）依题意可得：椭圆方程为：?+/=1,320）；

设：点C坐标为（加，〃）即：OB=m,BC=n；

：.S=2OB・BC=2nm；

:点C为椭圆上的点；

2I~~2

..m2、。加2

・---\-n>2.---n=mn;

4V4

~mj

：.mn<l,当且仅当丁=〃=彳时取等号；

.1.S<2；即矩形面积最大为2；当OB=C，即BC=日时取等号；

【点睛】本题考查了基本不等式的运用，考查了学生的发散性思维，属于中档题.

20.（1）见解析，（2