高中数学必修二（人教A版2019）课后习题答案解析

6.1平面向量的概念6.1.2向量的几何表示例1在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.解：表示A地至B地的位移，且__________________；表示A地至C地的位移，且__________________.6.1.3相等向量与共线向量例2如图6.1-8，设O是正六边形的中心.（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与，，相等的向量.解：（1），，，是共线向量；，，，是共线向量；，，，是共线向量.（2）；；.练习1.下列量中哪些是向量？悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.2.画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力.（用1cm长表示10N）3.指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）4.将向量用具有同一起点O的有向线段表示.（1）当与是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；（2）当与是平行向量，且时，求向量的长度，并判断的方向与的方向之间的关系.习题6.1复习巩固1.在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：（1）,点A在点O正南方向；（2）,点B在点O北偏西方向；（3）,点C在点O南偏西方向.【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析【解析】【分析】（1）按照题意要求画图即可；（2）按照题意要求画图即可；（3）按照题意要求画图即可；【详解】解：如图.【点睛】本题考查了作图能力，考查了方位角的定义，属于基础题.2.如图，点O是的对角线的交点，且，分别写出和折线MPQRST中与相等的向量.【答案】与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：.【解析】【分析】根据相等向量的定义直接求解即可.【详解】解：与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：.【点睛】本题考查了相等向量的定义，属于基础题.综合运用3.判断下列结论是否正确（正确的在括号内写正确，错误的写错误），并说明理由.3.若与都是单位向量，则.（）【答案】错误【解析】【分析】根据向量相等的概念即可得到答案.【详解】向量相等指的是向量的方向相同，模长相等，与都是单位向量，则两个向量的模长相等，但是方向不一定相同.故错误.故答案为：错误.4.方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量.（）【答案】√【解析】【分析】作图分析几何关系即可判断﹒【详解】如图所示，分别在O点的南偏西和北偏东作向量与，根据几何关系，O、A、B三点共线，所以与共线，所以说法正确﹒故答案为：√5.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（）【答案】错误【解析】【分析】根据向量的定义即可得到答案.【详解】直角坐标平面上的x轴、y轴不是向量，因为只有方向没有大小，也没有起点.故答案为：错误.6.若与是平行向量，则.（）【答案】错误【解析】【分析】根据向量共线的知识确定正确答案.【详解】与是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，所以判断错误.故答案为：错误7.若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.（）【答案】√【解析】【分析】两个向量相等，大小相等，方向相同﹒【详解】两个向量相等，则大小相等，方向相同，表示这两个向量的有向线段起点相同，则终点也必然相同﹒由此可判断“若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合”为正确表述﹒故答案为：√8.海拔、温度、角度都不是向量.（）【答案】正确【解析】【分析】根据向量的定义得到答案即可.【详解】这三个量只有大小没有方向，是标量，不是向量.故答案为：正确.拓广探索9.如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？【答案】24对【解析】【分析】根据相等向量定义，分类讨论进行求解即可.【详解】解：相等的非零向量共有24对.易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对.【点睛】本题考查了相等向量的定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.变式练习题10.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向 B.向量就是有向线段C.只有零向量的模长等于0 D.单位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】零向量的方向是任意的，故A选项错误；有向线段只是向量的一种表示形式，两者不等同，故B选项错误；只有零向量的模长等于0，故C选项正确；单位向量模长相等，单位向量若方向不同，则不是相等向量，故D选项错误.故选：.【点睛】本题考查了向量的定义和性质，意在考查学生对于向量基本知识的掌握.11.1.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心．（1）在图中标出的向量中，与向量长度相等的向量有多少个？（2）是否存在的相反向量？【答案】（1）11个（2）存在【解析】【分析】（1）正六边形由对角线分割为六个全等的等边三角形，进而求出向量长度相等的向量；（2）相反向量即模长相等，方向相反的两个向量【小问1详解】与向量长度相等的向量有：，，，，，，，，，，，共11个【小问2详解】存在，是的相反向量12.如图，点D，E，F分别是△ABC的三边BC，AB，AC上的点，且都不与A，B，C重合，＝.求证：△BDE∽△DCF.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据＝，可得且，从而可得DE∥AF，即可证得∠C＝∠BDE，∠FDC＝∠B，即可得证.【详解】证明：因为＝，所以且，故四边形AEDF是平行四边形，所以DE∥AF，则∠C＝∠BDE，由DF∥EA，得∠FDC＝∠B，故△BDE∽△DCF.13.如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量，（1）与的夹角是多少？（2）与垂直的向量有哪些？【答案】（1）45°（2）.【解析】【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解.(2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解.【小问1详解】因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°，所以与的夹角为45°.【小问2详解】因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H，显然，BF是圆O的直径，，，如图：所以与垂直的向量有：.14.下列说法正确的是（）A.向量与共线，与共线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行【答案】C【解析】【分析】根据共线向量（即平行向量）的定义即可求解.【详解】解：对于A：可能是零向量，故选项A错误；对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误．故选：C6.2平面向量的运算习题6.2复习巩固1.如果表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”，那么下列向量具有什么意义？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）向东走；（2）向东走；（3）向东北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走.【解析】【分析】由向量加法及其几何意义和位移的关系可得.【详解】由题意知：表示“向东走”，表示“向西走”，表示“向北走”，表示“向南走”（1）表示“向东走”（2）表示“向东走”（3）表示“向东北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向东南走”【点睛】本题考查向量加法及其几何意义，属于基础题.2.一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.【解析】【分析】由向量的加减运算，即可得出结论.【详解】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义，考查学生的计算能力，区分路程、位移是关键.3.一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向（精确到l°）.【答案】，方向与水流方向成76°角【解析】【分析】利用向量的加法运算，模的运算，勾股定理，即可得出结论.【详解】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则由，得.船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.【点睛】本题以实际问题为载体，考查向量的加法运算，考查三角函数知识，属于基础题.4.化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.【答案】（1）.（2）（3）.（4）（5）（6）.（7）【解析】【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可.【详解】解：（1）原式.（2）原式（3）原式.（4）原式（5）原式（6）原式.（7）原式【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.5.作图验证：（1）（2）【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】根据向量的平行四边形法则，画图验证即可.【详解】解：如图，在平行四边形ABCD中，设，则.（1）因为，所以（2）因为，所以【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，属于基础题.6.（1）已知向量,,求作向量，使.（2）（1）中表示,,的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见解析.（2）当，共线时，不能构成三角形，当，不共线时能构成三角形.【解析】【分析】作平行四边形，使得，，可得，由于，可得，或作，使得，，，即可得出.【详解】（1）方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，则，又，所以，即，方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，则，即，当向量,两个共线时，如下图：使得，，则，，所以，，即.（2）向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.【点睛】本题考查了向量的三角形法则，平行四边形法则、分类讨论方法，考查了作图能力，属于基础题.7.已知，为两个非零向量，（1）求作向量；（2）当向量，成什么位置关系时，满足？（不要求证明）【答案】（1）见解析.（2）【解析】【分析】根据向量的三角形法则，作出图象即可.【详解】（1）当向量,两个不共线时，作，使得，，，，所以，当向量,两个同向且共线时，作，，，所以，当向量,两个反向且共线时，作，，，所以，，（2）当时，满足，如图，作矩形，作，，所以，，.【点睛】本题考查了平面向量的知识，考查了学生的动手能力，解题的关键是掌握三角形法则的应用，掌握数形结合思想的应用，属于基础题.8.化简：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，对每一个小题进行计算即可．【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，属于基础题．9..求证.【答案】见解析【解析】【分析】直接由已知结合向量减法的三角形法则可得.【详解】证明：因为，而，所以.【点睛】本题考查共线向量基本定理，考查了向量减法的三角形法则，属于基础题.10.填空：（1）若,满足,则的最大值为____________，最小值为____________；（2）当非零向量,满足_____________时，平分与的夹角.【答案】①.5②.1③.【解析】【分析】利用即可得到结论.【详解】（1），当且仅当，同向时取等号，又，当且仅当，反向时取等号，.（2）当时，为以,为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分与的夹角.答案：（1）5，1;（2）【点睛】本题考查向量的数量积的运算及计算公式，属于基础题.11.（1）已知,且与的夹角，求；（2）已知,且,求.【答案】（1）；；（2）；【解析】【分析】（1）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出；（2）根据向量的数量积公式和向量的模即可求出.【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查了向量的模和向量的数量积，考查了运算能力，属于基础题.12.求证：.【答案】见解析【解析】【分析】分，，讨论即可得到结论.【详解】证明：（1）设，的夹角为，当时，.成立.（2）当时，与同向，与同向，与的夹角为，与的夹角为.，，成立.（3）当时，与反向，与反向，与的夹角为，与的夹角为.,,,成立.综上可知，原等式成立.【点睛】本题考查向量的数乘运算及运算律，属于基础题.综合运用13.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：（1）；（2）；（3），且.【答案】（1）平行四边形.见解析（2）梯形，见解析（3）菱形，见解析【解析】【分析】（1）由，可得，，即可判断出四边形的形状；（2）由，可得，，即可判断出四边形的形状；（3）由，且，可得四边形是有一组邻边相等的平行四边形，即可判断出四边形的形状.【详解】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：且.且，∴四边形ABCD是平行四边形.（2）四边形ABCD是梯形，证明如下：.又，，即，∴四边形ABCD是梯形.（3）四边形ABCD是菱形，证明如下：且.且，∴四边形ABCD是平行四边形.又，∴四边形ABCD是菱形.【点睛】本题考查了向量相等的意义、特殊四边形的判定，考查了推理能力，属于基础题.14.在中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，用，分别表示向量.【答案】，.【解析】【分析】直接利用向量共线即可得到结论.【详解】如图，.【点睛】本题考查向量共线的表示，属于基础题.15.如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：+=2．【答案】证明详见解析．【解析】【详解】根据平面向量的加法意义，得，，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴0，0；∴2=（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=+，即．16.飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？【答案】图见解析，北偏东45°方向，距甲地1400km.【解析】【分析】作出方位示意图，构造等腰三角形，解这个三角形即可得出答案【详解】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图，则，，，，是等边三角形，，，，即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.【点睛】本题考查了解三角形的实际应用，画出草图是关键，属于基础题.17.（1）如图（1），在中，计算；（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.【答案】（1）（2）（3），见解析【解析】【分析】根据向量的加法法则直接对各式计算即可.【详解】解：（1）（2）.（3）.证明如下：【点睛】本题考查向量加法的运算法则，属于基础题.18.已知，求与的夹角.【答案】【解析】【分析】根据可求出，再根据求夹角，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，所以，因此，所以与的夹角为.【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.19.已知.且.求与的夹角（精确到1°）.（可用计算工具）【答案】【解析】【分析】先利用模的运算得，再利用向量夹角公式即可得到结论.【详解】，用计算器算得.【点睛】本题考查了向量的模，向量夹角公式，属于基础题.20.已知是非零向量，，求证：【答案】见解析【解析】【分析】从向量数量积相等入手，移项变形，得到数量积为0即可.【详解】证法1：证法2：设.先证.由得.即而，所以再证由得.即，因此.【点睛】本题考查了向量的数量积为0的运算，属于基础题.拓广探索21.已知的外接圆圆心为O,且,则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论.【详解】如图，由知O为BC的中点，又∵O为的外接圆圆心，又为正三角形，，在上的投影向量为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的含义，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则，本题是基本知识与技能考查题，主要考查了向量运算能力，属于基础题.22.如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示.【答案】【解析】【分析】由，，，即可得到结论.【详解】.【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题.23.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式.（1）作出满足条件的四边形ABCD.（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.【答案】（1）见解析（2）平行四边形.见解析【解析】【分析】（1）直接作图即可；（2）结论：四边形ABCD为平行四边形；将表达式变形，利用向量减法运算法则即可得到结论.【详解】（1）作图，通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形.（2）四边形ABCD为平行四边形，证明如下：因为，所以，因为.所以，即，因此四边形ABCD为平行四边形.【点睛】本题考查向量减法的运算法则，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于基础题.24.如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值？【答案】只与弦AB的长度有关，与半径无关【解析】【分析】由题意，设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，根据向量的数量积公式即可求出.【详解】只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：设的半径为r，AB的长度为2a，取AB的中点D，连接CD，则.在中，，.【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数中，角与边的关系，属于基础题.6.2.1向量的加法运算例1如图6.2-5，已知向量，，求作向量．作法1：在平面内任取一点O（图6.2-6（1）），作，.则．作法2：在平面内任取一点O（图6.2-6（2）），作，.以，邻边作，连接，则．例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）解：（1）如图6.2-9.表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度.（2）在中，，，于是.因为，所以利用计算工具可得.因此，船实际航行速度大小约为，方向与江水速度间的夹角约为68°.练习1.如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．【答案】见解析【解析】【分析】将的起点移到的终点或将两个向量的起点移到点，利用三角形法则或平行四边形法则作出.【详解】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.2.当向量满足什么条件时，（或）？【答案】反向【解析】【分析】当反向时，对与的大小进行讨论.【详解】当反向且时，；当反向且时，，所以，当反向时，（或）．【点睛】本题考查向量共线时的方向、模的大小关系，求解时注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，若要取等号则需共线.3.根据图示填空：（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）________．【答案】①.②.③.④.【解析】【分析】在图形中寻找三角形回路，两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接.【详解】因为两个向量相加第二个向量的起点移到第一个向量的终点，再首尾相接，所以；；；．故答案为：；；；.【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.4.如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”）（1）．（）（2）．（）（3）．（）【答案】①.×②.√③.×【解析】【分析】（1）由图形得；（2）、（3）利用向量加法几何意义；【详解】对（1），因为，故（1）错误；对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确；对（3），，故（3）错误.故答案为：(1)×；(2)√；(3)×【点睛】本题考查平面向量加法的几何意义，考查数形结合思想，求解时注意三角形法则的运用.5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西30°，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向．【答案】小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．【解析】【分析】作图，设为河水速度，为小船航行速度，由小船航行速度为河水的速度的2倍，可得，求出可得到小船的实际速度.【详解】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度．设E为渡口A在对岸对应的点，则，．在中，∵，∴．∴E与D重合，．∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．【点睛】本题考查平面向量在物理中的应用，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模的大小，表示速度的大小.变式练习题6.如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒【小问1详解】因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以．【小问2详解】因为与方向相同且长度相等，所以与是相同的向量，从而与方向相同，长度为长度的2倍，因此，可用表示，即．【小问3详解】因为与是一对相反向量，所以．7.在某河流南岸某渡口处，河水以大小为的速度向东流，渡船在静水中的速度大小为.渡船要垂直地渡过该河，其航向应如何确定？【答案】渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.【解析】【分析】画图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.由向量加法的平行四边形法则，可知四边形为平行四边形，在中，求解，即可.【详解】如图，设表示水流的速度，表示渡船在静水中的速度，表示渡船实际垂直过河的速度.因为，所以四边形为平行四边形.在中，，，，所以，即渡船要垂直地渡过该河，其航向应为北偏西.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，以及向量的模，属于中档题.8.请用平行四边形法则作出．【答案】答案见解析【解析】【分析】三个向量用平行四边形法则求和，则先求和其中两个，再用和向量与第三个向量求和﹒【详解】解：在平面内任取一点，作．如图，以为邻边作□．再以为邻边作□，则．9.已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是____.(填序号)【答案】①④##④①【解析】【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.【详解】①;②;③;④.故答案为：①④.10.如图，已知D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】根据向量运算得到，，，相加得到证明.【详解】如图，连接DE，EF，FD,因为D，E，F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得①,同理②，③，将①②③式相加，.6.2.2向量的减法运算例3如图6.2-12（1），已知向量，，，，求作向量，.作法：如图6.2-12（2），在平面内任取一点O，作，，，.则，.例4如图6.2-13，在中，，，你能用，表示向量，吗？解：由向量加法平行四边形法则，我们知道同样，由向量的减法，知.练习1.如图，在各小题中，已知，分别求作．【答案】见解析【解析】【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.【详解】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，，(1)(2)(3)(4)【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.2.填空：____；____；____；____；____．【答案】①.②.③.④.⑤.【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则，进行向量的减法运算.【详解】因为向量的起点相同，可直接进行向量的相减运算，所以；；；；．故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【点睛】本题考查向量减法的运算，求解时注意向量用两个大写字母表示，可直接进行代数的运算，而无需再画图形.3.作图验证：．【答案】见解析【解析】【分析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量.【详解】当中至少有一个为时，显然成立（图略）；当不共线时，作图如图（1），显然；当共线时，同理可作图如图（2）所示．【点睛】本题考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想，属于基础题.变式练习题4.如图，已知向量，不共线，求作向量．【答案】作图见解析，【解析】【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O，作，．因为，即，所以．5.如图，点O是的两条对角线的交点，，，，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，，所以，即．6.如图，在▱ABCD中，若，（1）当满足什么条件时，?（2）当满足什么条件时，?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到▱ABCD为菱形求解；（2）由，得到▱ABCD为矩形求解.【小问1详解】解：如图：，当时，▱ABCD为菱形，对角线相互垂直，所以，即；【小问2详解】当时，▱ABCD为矩形，对角线长度相等，所以，即.7.证明：当向量不共线时，.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据向量不共线，在OAB中，利用三角形的边的关系证明.【详解】证明：因为向量不共线，如图，在OAB中，由三角形两边之和大于第三边得：，由三角形两边之差小于第三边得：，所以.6.2.3向量的数乘运算例5计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．例6如图6.2-15，的两条对角线相交于点M，且，，用，表示，，和．解：在中，，．由平行四边形的两条对角线互相平分，得，，，．练习1.任画一向量，分别求作向量，．【答案】见解析【解析】【分析】先画出，依次画出，即可.【详解】如图．【点睛】本题考查了向量的画法，考查了相反向量的概念，属于基础题.2.点C在线段上，且，则___，___．【答案】①.②.【解析】【分析】根据题意画出图形，分析即可得解.【详解】由点C在线段上，且，可画出图形，设，则，∴，∴和同向，且，∴和反向，且.【点睛】本题考查向量的意义，属于基础题.3.把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】根据向量的数乘运算计算即可.【详解】（1），；（2），；（3），；（4），．【点睛】本题考查平面向量数乘的运算法则，属于基础题.例7如图6.2-16，已知任意两个非零向量，，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想．分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上．在本题中，应用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可以通过判断向量，是否共线，即是否存在，使成立．解：分别作向量，，，过点A，C作直线（图6.2-17）.观察发现，不论向量，怎样变化，点B始终直线上，猜想A，B，C三点共线．事实上，因为，，所以．因此，A，B，C三点共线．例8已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．解：由，不共线，易知向量非零向量．由向量，共线，可知存在实数，使得，即．由，不共线，必有.否则，不妨设，则．由两个向量共线的充要条件知，，共线，与已知矛盾．由，解得．因此，当向量，共线时，．练习4.判断下列各小题中的向量与是否共线：（1），；（2），．【答案】（1）与共线；（2）与共线．【解析】【分析】根据向量共线定理进行分析计算即可.【详解】（1），所以与共线；（2），所以与共线．【点睛】本题考查向量共线的问题，熟练掌握向量共线定理是解题的关键，属于基础题.5.化简：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】根据向量的数乘运算和加减法运算法则进行计算即可.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.6.已知是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，求实数的值．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的共线的充要条件列出等式计算即可.【详解】由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，即，∴，∴∴的值为．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于常考题.变式练习题7.已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，求.【答案】＝－8＋9－3.【解析】【分析】根据向量的数乘运算，移项，直接解出即可.【详解】因为3(2－＋)＋＝2(－＋3)，所以6－3＋3＋＝－2＋6，即＝－8＋9－3.8.如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．【答案】见解析.【解析】【分析】由题意画出图象，利用向量的加法和条件表示出，利用向量共线的充要条件，即可证明M、N、D三点共线．【详解】由题意画出图象：因为BMAB，点N在BC上且BNBC，所以，，因为，，所以，则，所以M、N、D三点共线．【点睛】本题考查向量在几何中的应用，向量的加法法则，以及利用向量共线的充要条件证明三点共线，属于中档题.9.已知，是两个不共线的向量，向量－，－共线，求实数的值．【答案】.【解析】【分析】由向量－，－共线得存在实数λ，使得－＝λ，整理，由，不共线可得，的系数都为零，列方程组求解即可.【详解】解由，不共线，知向量－为非零向量．由向量－，－共线，可知存在实数λ，使得－＝λ，即＝.由，不共线，必有＋＝＋1＝0.否则，不妨设＋≠0，则＝，得，共线，与已知矛盾．由，解得＝.因此，当向量－，－共线时，＝.10.设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．【答案】k＝±4.【解析】【分析】由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.【详解】由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.因为不共线，所以.11.已知向量，.求证：与是共线向量．【答案】证明见解析【解析】【分析】由平面向量共线定理即可证明问题.【详解】由题意，，，则，由向量共线定理知与是共线向量．6.2.4向量的数量积例9已知，，与的夹角，求．解：．例10设，，，求与的夹角．解：由，得．因为，所以．练习1.已知，，和的夹角是60°，求．【答案】24【解析】【分析】由运算即可得解.【详解】解：．【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属基础题.2.已知中，，，当或时，试判断的形状．【答案】钝角三角形或直角三角形．【解析】【分析】由平面向量数量积公式，结合向量夹角的余弦值的符号判断即可得解.【详解】解：当时，有，即，所以为钝角，为钝角三角形；当时，有，即，为直角三角形．故为钝角三角形或直角三角形．【点睛】本题考查了平面向量数量积公式，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.3.已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量．【答案】见解析【解析】【分析】由在上的投影向量为，再将已知条件代入运算即可得解.【详解】解：当时，在上的投影向量为，当时，在上的投影向量为，当时，在上的投影向量为．【点睛】本题考查了向量的投影的运算，重点考查了运算能力，属基础题.例11我们知道，对任意，恒有，．对任意向量，，是否也有下面类似结论？（1）；（2）．解：（1）；（2）．因此，上述结论是成立的．例12已知，，与夹角为60°，求．解：．例13已知，，且与不共线．当为何值时，向量与相垂直？解：与互相垂直的充要条件是，．因为，，所以．解得．也就是说，当时，与互相垂直．练习4.已知，，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解；（2）由平面向量的数量积运算及向量的数乘运算即可得解.【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算及向量的数乘运算，属基础题.5.已知，，且与互相垂直，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.【详解】证明：因为与互相垂直，所以，即．又因为，所以．因为是非零向量，所以．6.求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】由平面向量的运算性质即可得证.【详解】证明：由左边右边，故等式成立．【点睛】本题考查了平面向量的运算性质，属基础题.变式练习题7.已知向量与的夹角为，，，分别求在下列条件下的：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根据，代入数值，即可求出结果；（2）因为，所以或，再根据即可求出结果；（3）因为，所以，再根据即可求出结果.【小问1详解】解：因为，，，所以；【小问2详解】解：因为，所以或，当时，；当时，；所以的值为或.【小问3详解】解：因为，所以，所以.8.已知，，，求与的夹角．【答案】【解析】【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以.9.已知向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．【答案】（1）－5.（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；（2）根据向量数量积的定义求得，再根据向量数量积的运算律求得|－|2，由此可求得答案.【小问1详解】解：因为向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．【小问2详解】解：因为向量与的夹角为120°，||＝2，||＝3，所以，所以|－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．10.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.【详解】由余弦定理可知，，，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，是中点，，由图可知向量在上的投影向量为，.故选：B【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.11.已知，，与的夹角为，问：当为何值时，？【答案】.【解析】【分析】根据数量积的定义可得的值，再利用数量积的定义和性质计算即可求解.【详解】因为，，与的夹角为，所以，若，则，即，所以，所以，可得：.12.已知，，且与互相垂直，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】因为与互相垂直，所以，整理化简，可得，由此即可证明结果.【详解】证明：因为与互相垂直，所以，即．又因为，所以．因为是非零向量，所以．13.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形是菱形，，是其对角线．求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】设，，则且，即可求得，由此即可证明结果.【详解】证明：设，．因为四边形为菱形，所以，又则，故．所以.14.设⊙C半径为r，若A，B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．【答案】2r2【解析】【分析】根据数量积公式，结合圆的性质，即可得答案.【详解】若AB恰为⊙C直径，易知；若AB不是⊙C直径，则综上，的最大值为2r6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．解：因为，所以．例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．证明：如图6.3-6，设，，则，，于是..因为，所以.因为，，所以.因此.于是是直角三角形.练习1.如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．【答案】；；；．【解析】【分析】直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。【详解】解：；；；．【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．（1）用表示，，；（2）能由（1）得出，的关系吗？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。（2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系【详解】解：（1），，．（2）由（1）知，，，∴，即．【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。3.如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出，（2）设，则，．计算即可。【详解】解：（1）；．（2），证明如下：设，则，．．∴，∴．【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.解：由图6.3-10可知，，所以同理，，，.6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示例4已知，，求，的坐标.解：，.例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.因为，，又，所以.即解得，所以顶点D的坐标为.解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知，而.所以顶点D的坐标为.练习4.在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算可得.【详解】解：（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．5.在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.【详解】解：（1）,；．（2），；．（3），；．（4），；．【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.6.若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．【答案】平行，证明见解析【解析】【分析】求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.【详解】解：．证明如下：因为，，所以．又因为与不共线，所以．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示例6已知，，求的坐标.解：.例7已知，，且，求.解：因为，所以.解得.例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.因为，，又，所以.又直线，直线有公共点A，所以A，B，C三点共线.例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知.所以，点P的坐标是.（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.如果（图6.3-17（1）），那么，即点P的坐标是.同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.练习7.已知，，求，的坐标．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算即可．【详解】解：，；．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．8.当为何值时，与共线？【答案】【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.【详解】解：，，，解得时，时，与共线．【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．9.若点，，，，则与是否共线？【答案】共线【解析】【分析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.【详解】解：，，，，．∵，∴与共线．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.10.求线段的中点坐标：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得【详解】解：（1），，∴的中点坐标为；（2），，∴的中点坐标为；（3），，∴的中点坐标为．【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.11.已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．【答案】或【解析】【分析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．【详解】解：，．点是线段的三等分点，，或者．，或．或．∴P点的坐标为或．【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．6.3.5平面向量数量积的坐标表示例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：因为，，所以..于是.因此，是直角三角形.例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.解：因为，，所以用计算器计算可得.利用计算器中的“”键，得.例12用向量方法证明两角差的余弦公式.证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则，.由向量数量积的坐标表示，有.设与的夹角为，则.所以.另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以.于是.练习12.已知，，求，，．【答案】，，【解析】【分析】根据向量坐标运算求解即可.【详解】解：,,．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.13.已知．求．【答案】，【解析】【分析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.【详解】解：,,,【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.14.已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：∵,∴．又∵,∴．【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.习题6.3复习巩固15.如图，在中，，点E是CD的中点，设，用表示.【答案】，【解析】【分析】根据向量的加减运算法则，，分别代换即可.【详解】解：【点睛】此题考查平面向量基本运算，根据线性运算法则求解即可.16.已知作用在坐标原点的三个力对应向量分别为，求作用在原点的合力的坐标.【答案】【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算即可.【详解】解：.【点睛】此题考查力的合成，根据向量加法关系求解.17.在下列各小题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点A的坐标，求终点B的坐标.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据，，求出点的坐标；（2）根据，，求出点的坐标；（3）根据，，求出点的坐标.【详解】（1），.（2）,，（3），【点睛】此题考查向量的加减运算，用端点坐标表示向量.18.已知的顶点，，，求顶点D的坐标．【答案】(1，5)﹒【解析】【分析】由平行四边形可得：，于是．【详解】设坐标原点为O，由平行四边形可得：，，，，．∴D的坐标为(1，5)﹒19.已知点，且，求点及向量的坐标.【答案】，，【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，结合的坐标形式，求出点的坐标.【详解】解：因为，所以点的坐标为.因为，所以点的坐标为.所以向量.【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.20.已知点，且,求点C，D，E的坐标.【答案】C，D，E【解析】【分析】根据向量线性运算法则，依次求出，，的坐标表示，再结合点坐标，求出点C，D，E的坐标.【详解】解：设O为坐标原点，则.,，所以点C的坐标为；，所以点D的坐标为；，所以点E的坐标为.【点睛】此题考查平面向量的线性运算的坐标表示.21.你认为下列各组点具有什么样的位置关系？证明你的猜想.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）三点共线，证明见解析；（2）三点共线，证明见解析；（3）三点共线，证明见解析【解析】【分析】（1）通过计算：，三点共线；（2）通过计算：，三点共线；（3）通过计算：，三点共线.【详解】解：（1）A，B，C三点共线、因为，所以，因为直线AB与AC有公共点A，所以A，B，C三点共线.（2）P，Q,R三点共线，因为，所以.因为直线PR与PQ有公共点P，所以P，Q，R三点共线.（3）E，F，G三点共线，因为，所以.因为直线EF与EC有公共点E，所以E，F，G三点共线.【点睛】此题考查利用平面向量处理三点共线问题，准确进行线性运算求解.22.分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）直角三角形，证明见解析；（2）直角三角形，证明见解析；（3）直角三角形，证明见解析【解析】【分析】（1）结合图象通过计算得：得直角三角形；（2）结合图象通过计算得：得直角三角形；（3）结合图象通过计算得：得直角三角形.【详解】解：（1）如图，为直角三角形，证明如下：,.为直角三角形.（2）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：为直角三角形.（3）如图，△ABC为直角三角形，证明如下：为直角三角形.【点睛】此题考查平面向量的数量积运算的坐标表示，通过非零向量数量积为零判定向量垂直得三角形形状.23.已知，且，求的坐标.【答案】或【解析】【分析】设，根据模长关系和平行关系列方程组求解.【详解】解：设，则，解得：或于是或.【点睛】此题考查平面向量的模长关系和平行关系的坐标表示，根据方程组求解未知数.24.已知，求与垂直的单位向量的坐标.【答案】或【解析】【分析】设与垂直的单位向量，通过模长关系和垂直关系列方程组即可求解.【详解】解：设与垂直的单位向量，则，解得：或于是或.【点睛】此题考查平面向量的模长关系和垂直关系的坐标表示，根据方程组求解未知数.综合运用25.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设.（1）用表示；（2）如果，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据平面向量运算法则，依次代换即可表示；（2）根据（1）的表示形式计算，则.【详解】解：（1）（2）.证明如下：由（1）知，，【点睛】此题考查平面向量的线性运算和数量积的计算，通过非零向量数量积为零判定向量垂直.26.已知点.当时，分别求点P的坐标.【答案】当时，点P的坐标分别为：，，，.【解析】【分析】根据分别计算时的坐标.【详解】解：当时，，所以；当时，所以当时，，所以；当时，，所以.【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，根据向量关系求点的坐标.27.已知，，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标．【答案】【解析】【分析】根据点在线段的延长线上，且，可得，可得．【详解】点在线段的延长线上，且，，，，，．所以点P的坐标为28.求证：以为顶点的四边形是一个矩形.【答案】证明见解析【解析】【分析】分别利用坐标计算即可得证【详解】证明：因为，，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.【点睛】此题考查向量的相等和垂直的判断，考查平面向量数量积的运算.拓广探索29.如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x，y）叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设，（1）计算的大小；（2）根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.【答案】（1）；（2）合理【解析】【分析】（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解；（2）根据平面向量基本定理，作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对使得.【详解】解：（1）建立如围所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，所以.（2）作为一组基底，对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理.【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析30.用向量方法证明：对于任意的，恒有不等式【答案】证明见解析【解析】【分析】构造向量，根据数量积的坐标表示证明.【详解】证明：构造向量.（其中为向量u，v的夹角）.所以，所以.【点睛】此题考查平面向量数量积的坐标表示证明不等式，关键在于准确建立模型求解.6.3.1平面向量基本定理例1如图6.3-4，，不共线，且，用，表示．解：因，所以．例2如图6.3-5，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形．分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．证明：如图6.3-6，设，，则，，于..因为，所以.因为，，所以.因此.于是是直角三角形.练习1.如图，，，是的三条中线，，．用表示，，，．【答案】；；；．【解析】【分析】直接利用向量的减法三角形法则和平行四边形法则即可。【详解】解：；；；．【点睛】本题主要考查了向量的减法三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，，，点E，F分别是，的中点，G是的三等分点．（1）用表示，，；（2）能由（1）得出，的关系吗？【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形法则以及平行四边形法则即可。（2）利用（1）的结果找出的关系即可得出，的关系【详解】解：（1），，．（2）由（1）知，，，∴，即．【点睛】本题主要考查了三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题。3.如图，在中，，点E，F分别是，的中点．设，．（1）用表，．（2）如果，，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．【答案】（1），；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量的三角形法则以及中位线定理即可表示出，（2）设，则，．计算即可。【详解】解：（1）；．（2），证明如下：设，则，．．∴，∴．【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及利用向量的数量积判断直线的关系，属于中等题。变式练习题4.在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可证得结论成立.【详解】解：如下图所示，由平面向量的加法法则可得，，，因为，所以，，解得，因此，.故答案为：.5.若向量不共线，且（其中），求证：共线．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题设条件和向量的运算法则，化简得到，结合向量与有公共点，即可证得三点共线．【详解】由题意，向量不共线，且（其中），可得，所以，即，所以，由向量与有公共点，所以三点共线．6.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM.【答案】4∶1.【解析】【详解】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在λ,μ∈R,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,而=+=2e1+3e2,∴∴∴=,∴=,即AP∶PM=4.7.如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.【答案】＝a＋b.【解析】【详解】设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，＝－＝－＝－a＋b.又∵A，M，D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C，M，B三点共线，∴与共线．∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴消去t1得4m＋n＝1.②由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.8..如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.【答案】证明见解析【解析】【分析】由三点共线计算可得，由三点共线，计算可得，即可求得，由三点共线，计算可得，消去,即可证得结果.【详解】因为三点共线，所以存在实数，使得，又三点共线，所以存在实数，使得,由于不共线，所以,解得.故.因为三点共线，所以存在实数，使得,消去,得＋＝平面向量的正交分解及坐标表示例3如图6.3-10，分别用基底表示向量，，，，并求出它们的坐标.解：由图6.3-10可知，，所以.同理，，，.6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示例4已知，，求，的坐标.解：，.例5如图6.3-13，已知的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，求顶点D的坐标.解法1：如图6.3-13，设顶点D的坐标为.因为，，又，所以.即解得，所以顶点D的坐标为.解法2：如图6.3-14，由向量加法的平行四边形法则可知，而.所以顶点D的坐标为.练习1.在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求的坐标：（1），；（2），；（3），；（4），．【答案】（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算可得.【详解】解：（1）；．（2）；．（3）；．（4）；．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．2.在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；．（2），．（3）；．（4）；．【解析】【分析】根据向量的坐标求法，向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标.【详解】解：（1）,；．（2），；．（3），；．（4），；．【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.3.若点，，，，则与有什么位置关系？证明你的猜想．【答案】平行，证明见解析【解析】【分析】求出，的坐标，即可判断，的关系，得到与的位置关系.【详解】解：．证明如下：因为，，所以．又因为与不共线，所以．【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量共线的判定，属于基础题.6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示例6已知，，求的坐标.解：.例7已知，，且，求.解：因为，所以.解得.例8已知，，，判断A，B，C三点之间的位置关系.解：在平面直角坐标系中作出A，B，C三点（图6.3-15）.观察图形，我们猜想A，B，C三点共线.下面来证明.因为，，又，所以.又直线，直线有公共点A，所以A，B，C三点共线.例9设P是线段上的一点，点，的坐标分别是，.（1）当P是线段的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.解：（1）如图6.3-16，由向量的线性运算可知.所以，点P的坐标是.（2）如图6.3-17，当点P是线段的一个三等分点时，有两种情况，即或.如果（图6.3-17（1）），那么，即点P的坐标是.同理，如果（图6.3-17（2）），那么点P的坐标是.练习4.已知，，求，的坐标．【答案】（-6，-8），（12,5）【解析】【分析】根据向量的坐标运算法则计算即可．【详解】解：，；．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．5.当为何值时，与共线？【答案】【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得到关于的方程，解得.【详解】解：，，，解得时，时，与共线．【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用；如果共线，那么存在唯一的，使成立或，属于基础题．6.若点，，，，则与是否共线？【答案】共线【解析】【分析】首先求出与的坐标，再根据平面向量共线定理判断即可.【详解】解：，，，，．∵，∴与共线．【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.7.求线段的中点坐标：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据中点坐标公式，若、，则的中点坐标为，计算可得【详解】解：（1），，∴的中点坐标为；（2），，∴的中点坐标为；（3），，∴的中点坐标为．【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，属于基础题.8.已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标．【答案】或【解析】【分析】．由于点是线段的三等分点，可得，或者．即可得出．【详解】解：，．点是线段的三等分点，，或者．，或．或．∴P点的坐标为或．【点睛】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题．6.3.5平面向量数量积的坐标表示例10若点，，，则是什么形状？证明你的猜想.解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下：因为，，所以..于是.因此，是直角三角形.例11设，，求及，的夹角（精确到1°）.解：.因为，，所以用计算器计算可得.利用计算器中的“”键，得.例12用向量方法证明两角差的余弦公式.证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则，.由向量数量积的坐标表示，有.设与的夹角为，则.所以.另一方面，由图6.3-20（1）可知，；由图6.3-20（2）可知，.于是，.所以.于是.练习9.已知，，求，，．【答案】，，【解析】【分析】根据向量坐标运算求解即可.【详解】解：,,．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算公式,属于基础题型.10.已知．求．【答案】，【解析】【分析】根据向量的运算法则以及向量坐标的运算求解即可.【详解】解：,,,【点睛】本题主要考查了向量的运算法则以及向量坐标的运算,属于基础题型.11.已知，利用计算工具，求与的夹角（精确到1°）．【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：∵,∴．又∵,∴．【点睛】本题主要考查了向量的夹角运算,属于基础题型.变式练习题12.已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？【答案】向量与平行，直线AB与CD平行【解析】【分析】求出的坐标，利用共线向量的坐标表示即可判断，然后计算坐标，判断点A，B，C是否共线得解.【详解】因点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，则=(2，4)，=(1，2)，显然有2×2-1×4=0，于是得∥，因=(2，6)，而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，则与不平行，即点A，B，C不共线，因此，AB与CD不重合，所以直线AB与CD平行.13.已知，，，．（1）t为何值时，点P在x轴上？t为何值时，点P在y轴上？（2）四边形OABP能否构成一个平行四边形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）；（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）求出点坐标，根据的位置列方程或不等式得出答案；（2）令列方程组，根据方程组是否有解得出结论．【小问1详解】解：因为，，，所以，所以,，若在轴上，则，即；若在轴上，则，即；【小问2详解】解：假设四边形为平行四边形，则，，，不等式组无解，四边形是不可能为平行四边形．14.设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？【答案】k＝11或k＝－2.【解析】【分析】由题设得＝(k－4,7)、＝(6,k－5)，利用向量共线的坐标表示有(k－4)(k－5)－6×7＝0，求解即可.【详解】由题设，＝－＝(k－4,7)，＝－＝(6,k－5)，令∥，得(k－4)(k－5)－6×7＝0，即k2－9k－22＝0，k＝11或－2.故当k＝11或－2时，A，B，C三点共线.15.已知向量，．当k为何值时，与的夹角是钝角？【答案】且【解析】【分析】由条件可得且不共线，然后可建立不等式求解.【详解】因为与的夹角是钝角，所以且不共线，即所以且.16.设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．【答案】（1）.（2）或.【解析】【分析】（1）根据即可求出点P的坐标；（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.【小问1详解】（1）如图，由向量的线性运算可知,所以点P的坐标是.【小问2详解】当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，若，如图(1)，那么，即点P的坐标是.同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法例1如图6.4-1，是的中位线，用向量方法证明：，.分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.如果用向量方法证明这个结论，可以取为基底，用，表示，，证明即可.证明：如图6.4-2，因为是的中位线，所以，.从而.又，所以，于是，.例2如图6.4-3，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：如图6.4-4，取为基底，设，，则，.第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：，.上面两式相加，得.第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：.练习1.证明：等腰三角形的两个底角相等.2.如下图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，求的余弦值.3.如下图，在中，点O是BC中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设，，求的值.6.4.2向量在物理中的应用举例例3在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释.解：先来看共提旅行包的情况.如图6.4-5，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，，为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为，旅行包所受的重力为.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道.这里，为定值.分析上面的式子，我们发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，的值由大逐渐变小，此时由小逐渐变大；反之，当由逐渐变小到0时，由逐渐变小到0，的值由小逐渐变大，此时由大逐渐变小.这就是说，，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.事实上，要使最小，只需最大，此时，可得.于是的最小值为，若要使，只需，此时，即.例4如图6.4-6，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间（精确到0.1min）？分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的.考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸.解：设点B是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短.如图6.4-7，设，则.此时，船的航行时间.所以，当航程最短时，这艘船行