河北省保定市六校联盟2023-2024学年高一下学期期中联考 数学试题

六校联盟2024年4月期中联考高一数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量和的夹角为60°，，，则（）A．15 B．12 C．6 D．33．在中，，，，则角B的大小为（）A．90° B．60° C．45° D．30°4．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为45°，则的大小为（）A． B．5N C． D．5．灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，，则灵运塔的高度CD是（）A．45米 B．50米 C．55米 D．60米6．如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（）A． B． C． D．7．古希腊数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c别为的三个内角A，B，C所对的边，S是的面积，该公式具有轮换对称的特点．在中，，且的面积为，则BC边上的中线长度为（）A． B．4 C． D．8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（）A．－1 B． C． D．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．，B．若（a，），则C．若，，则的最小值为1D．若是关于x的方程（p，）的根，则10．已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．的最大值为6C．若，则 D．若，则11．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体（如图2）的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．正八面体内切球的表面积为B．正八面体外接球的体积为C．若点P为棱EB上的动点，则的最小值为D．若点Q为棱EB上的动点，MN为正八面体的内切球的直径，则的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．若复数为纯虚数，则实数a的值为______．13．已知向量在向量上的投影向量，，则______．14．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分。需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）如图所示，为四边形OABC的直观图，其中，，，．（1）画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．16．（本小题满分15分）如图，在四边形ABCD中，，，，，．（1）求及AD的长度；（2）求BC的长度．17．（本小题满分15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．（1）求角A的大小；（2）已知直线AM为的平分线，且与BC交于点M，若，求的周长．18．（本小题满分17分）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近点B的一个三等分点，P为线段BC上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．19．（本小题满分17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求角A与a；（2）若点O为的所在平面内一点，且满足，求的值；（3）若点M为的重心，且，求的面积．六校联盟2024年4月期中联考·高一数学参考答案、提示及评分细则1．C 2．B 3．A 4．C5．B 6．B 7．D 8．D9．ACD 10．ABD 11．ACD12．2 13．10 14．15．解：（1）在直观图中，，，，则在平面图形中，，，，，于是，所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示：由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，所以面积为．（2）直角梯形OABC以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；圆锥的高为，母线长为，所以体积；所以表面积．16．解：（1）因为，，，，所以，，由于，则，又，所以，，所以．在中，由正弦定理，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，可得，解得，由于，，在中，由余弦定理可得．17．解：（1）根据题意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，则，因为，所以．（2）因为，所以，又AM平分，所以，所以，则，即．由余弦定理得，即，所以，解得（负值舍去），故的周长为．18．解：（1）依题意，，∴，∴．（2）由已知，因P是线段BC上动点，设，，又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，在上递增，所以，，，，故的取值范围是．19．解：（1）因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又因为，所以．又因为，所以由正弦定