2025年仁爱科普版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学下册月考试卷244考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】在锐角三角形中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，设B=2A，则的取值范围是（）

A.（-2，2）B.（）

C.（2）D.（0，2）2、给出下列四个命题：

①命题“若则”的逆否命题为假命题；

②命题任意都有则“非”：存在使

③“”是“函数为偶函数”的充要条件；

④命题存在使

命题△ABC中，那么命题“‘非’且”为真命题．

其中正确的个数是（）A.B.C.D.3、由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为（）A.36B.32C.28D.244、一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（）A.B.C.D.5、已知其中i为虚数单位，则a+b=（）A.1B.2C.-1D.36、如图，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点，已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB的长为（）A.4B.6C.8D.10评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、=____．（用数字作答）8、如果一组数据为6，4，3，5，2，则这组数据的方差S2=____．9、【题文】已知随机变量服从正态分布则____10、【题文】已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<2}，则不等式bx2-5x+a>0的解集为_________.11、【题文】正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上,则这个正三角形的边长为___________.12、【题文】科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０º，则这两颗恒星之间的距离为____亿光年。13、【题文】已知对于任意的自然数n,抛物线与轴相交于An,Bn两点；则。

|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+|A2014B2014|=14、甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球；白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：

①P（B）=

②P（B|A1）=

③事件B与事件A1不相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关；

其中正确结论的序号为____．（把正确结论的序号都填上）15、随机变量ξ的分布列为：

。ξ0123Px0.20.30.4随机变量ξ的方差D（ξ）______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共2题，共16分)21、已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间［０，３］上的最大值与最小值22、【题文】在△中，已知向量且．

（1）求的值；

（2）若点在边上，且求△的面积．评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)23、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共4题，共8分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【解析】C=π-3A.由0＜B＜0＜C＜得＜A＜

由正弦定理得=2cosA.而＜cosA＜

∴＜＜故选B.【解析】【答案】B2、C【分析】【解答】“若则”为真命题，则其逆否命题为真命题，知①错误；对全称命题的否定改为特称命题，根据格式可知②是正确的；当时，为偶函数，当函数为偶函数时，可知③是正确的；因为可知命题为假命题，由△ABC中，是正确的知命题是真命题，所以“‘非’且”为真命题知④是正确的.故选C.3、A【分析】【分析】a，b都不与c可以分成两种情况，一是三个都不相邻，二是a，b相邻，但是不和c相邻，当三个都不相邻时，先排列d，e，再把三个元素插空，当a，b相邻，但是不和c相邻时，把a，b看成一个元素；插空排列，注意本身还有一个排列．

【解答】a，b都不与c可以分成两种情况；

一是三个都不相邻，二是a，b相邻；但是不和c相邻；

当三个都不相邻时，先排列d，e，再把三个元素插空，有A22A33=12

当a，b相邻，但是不和c相邻时，有A22A32A22=24；

根据分类计数原理知；共有12+24=36种结果；

故选A

【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查带有限制条件的元素的排列问题，本题是一个易错题，易错点在a，b都不和c相邻，但是这两个元素可以相邻，容易漏掉这种情况．4、C【分析】【解答】∵一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件为∴a<0，故一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

【分析】掌握常见的二次方程根的分布法则是解决此类问题的关键5、A【分析】【解答】根据复数相等的概念可知，

【分析】两个虚数不能比较大小，只能说两个虚数相等.6、B【分析】解：根据切割线定理。

PT2=PA•PB，PB===8；

∴AB=PB-PA=8-2=6．

故选B．

首先根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得一个线段的等式；再根据线段的关系可求得AB的长度即可．

本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

原式===．

故答案为：210．

【解析】【答案】利用组合的性质进行推导计算．

8、略

【分析】

这组数据的平均数为（6+4+3+5+2）÷5=4

方差S2=[（6-4）2+（4-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（2-4）2]==2

故答案为：2

【解析】【答案】先求出数据的平均数；再利用方差公式计算即可．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得由于随机变量服从正态分布对称轴为x=2，那么可知=则在0.4；故答案为0.4

考点：正态分布曲线。

点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．【解析】【答案】0.410、略

【分析】【解析】由方程ax2-5x+b=0的两个根分别为-3,2.可知所以不等式即

所以所以不等式的解集为{x|x>或x<}.【解析】【答案】{x|x>或x<}.11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】设地球为Ｏ，则根据条件，ＯＡ＝５，ＯＢ＝２，∠ＡＯＢ＝６０º，再利用余弦定理可得：故ＡＢ＝【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：令则由题意得所以

因此所以正确答案为

考点：二次函数零点、数列求各.【解析】【答案】14、②③④【分析】【解答】解：∵甲罐中有4个红球；3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球；白球和黑球的事件；

再从乙罐中随机取出一球；以B表示由乙罐取出的球是红球的事件；

则P（B）=++=≠故①⑤错误；

②P（B|A1）=正确；

③事件B与事件A1不相互独立；正确；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；正确；

故答案为：②③④

【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析五个结论的真假，可得答案．15、略

【分析】解：由随机变量ξ的分布列的性质得：

x+0.2+0.3+0.4=1；解得x=0.1；

∴Eξ=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.4=2；

∴Dξ=（0-2）2×0.1+（1-2）2×0.2+（2-2）2×0.3+（3-2）2×0.4=1．

故答案为：1．

由随机变量ξ的分布列的性质得求出x=0.1；从而得Eξ=2，由此能求出Dξ．

本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．【解析】1三、作图题(共5题，共10分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、解答题(共2题，共16分)21、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

（1）由即或所以的单调递增区间为和单调递减区间为由当时，当所以，当时，取到极小值，且又所以的最小值为8，最大值为24。考点：导数的运用【解析】【答案】（1）的单调递增区间为和单调递减区间为（2）的最小值为8，最大值为24。22、略

【分析】【解析】

试题分析：

解题思路：（1）先由平面向量的垂直关系得出再利用三角形的三角关系求角A；

（2）先由（1）中的三角关系得出三边关系；再利用余弦定理求出有关边长，进而利用三角形的面积公式求三角形的面积.

规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理余弦定理三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识；综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边；角的合理互化.

试题解析：（1）由条件可得

（方法一）：由A+B+C=π，所以

又所以

所以即

（方法二）：因为所以

因为所以

而因此

（2）由（1）得由正弦定理得设则在中，由余弦定理，得解得所以

所以

考点：1.三角形的三角关系、三边关系、边角关系2.正弦定理；3.余弦定理.【解析】【答案】（1）（2）．五、计算题(共3题，共18分)23、略

【分析】【解析】

（1）由绝对值不等式，有那么对于只需即则4分（2）当时：即则当时：即则当时：即则10分那么不等式的解集为12分【解析】【答案】（1）（2）24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共4题，共8分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、（1）{#mathml#}255

{#/mathml#}；（2）{#mathml#}x245+y29=1

{#/mathml#}【分析】【解答】1、由题设条件知，点M的坐标为（），又Kom=从而=进而得a=c==2b,故e==

2、由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB的方程为+=1,点N的坐标为（-),设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），则线段N