专题六概率统计算法复数与推理证明

专题六概率统计、算法、复数与推理证明第17讲排列、组合与二项式定理[云览高考]说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题二轮复习建议命题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕排列，组合展开，设计利用排列组合和两个基本原理求解的实际计数问题的试题，目的是考查对排列组合基本方法的掌握程度，考查分类与整合的思想方法，试题都是选择题或者填空题，难度中等或者偏易；第二点是围绕二项式定理展开，涉及利用二项式的通项公式计算二项式中特定项的系数、常数项、系数和等试题，目的是考查对二项式定理的掌握程度和基本的运算求解能力，试题也都是选择题或者填空题，难度中等．预计2013年对该部分的考查基本方向不变，即考查简单的计数问题、二项式定理的简单应用，但由于排列，组合试题的特点，也不排除出现难度稍大的试题的可能．复习建议：该部分的复习以基本问题为主，要点有两个：一个是引导学生掌握解决排列，组合问题的基本思想，即分类与分步的思想，使学生在解题时有正确的思维方向；一个是掌握好二项展开式的通项公式的应用，这是二项式定理的考查核心．主干知识整合1.两个基本原理分类加法计数原理各类之间是互斥的、并列的、独立的，N＝m1＋m2＋…＋mn.分步乘法计数原理各步之间是关联的、独立的，N＝m1×m2×…×mn.2．排列(1)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N，m≤n)，规定0！＝1；(2)排列数的性质：Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n－1)＋Aeq\o\al(m,n－1)；Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).3．组合(1)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)，Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m)).(2)组合数的性质：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)(m，n∈N，且m≤n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)(m，n∈N，且m≤n)．4．二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn.Ceq\o\al(k,n)叫做二项式系数，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式．5．二项式系数的性质二项式系数具有如下几个性质：(1)对称性、等距性、单调最值性；(2)Ceq\o\al(r,r)＋Ceq\o\al(r,r＋1)＋Ceq\o\al(r,r＋2)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1)；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1；Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1.要点热点探究►探究点一有关计数原理问题例1(1)[2012·浙江卷]若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(D)A．60种B．63种C．65种D．66种(2)[2012·课程标准卷]将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(A)A．12种B．10种C．9种D．8种[点评]两个基本原理是解决计数问题的根据，在计数问题中一般是先根据不同情况进行分类，然后对于每一类的计数问题再分步完成，根据分步乘法计数原理求出每类的数目，最后使用分类加法计数原理得到结果．变式题(1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(C)A．34种B．48种C．96种D．144种(2)在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名．并且日语和俄语都要求必须有男生参加．学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(C)A．20种B．22种C．24种D．26种►探究点二有关排列与组合问题例2(1)[2012·辽宁卷]一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(C)A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有(D)A．78种B．36种C．60种D．72种[点评]本例第一题是元素相邻的排列，只要把相邻元素看作一个整体即可；第二题为分配问题，当元素个数多于分配位置时要先把元素进行分组，组数与分配位置相同，然后再进行分配，在分组时如果有元素个数相等的小组，有几个就要除以几的阶乘．变式题(1)某市端午期间安排甲、乙等6支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方法有(D)A．96种B．192种C．216种D．312种(2)从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有____96____种．►探究点三有关二项式定理问题例3(1)[2012·安徽卷](x2＋2)的展开式的常数项是(D)A．－3B．－2C．2D．3(2)[2012·湖北卷]设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝(D)A．0B．1C．11D．12[点评]两个二项式相乘时求其中某项的系数，需要根据多项式乘法法则进行，此时要注意不要漏掉了其中的项，要把各种可能的情况都考虑进去；二项式定理解决整除性问题时，需要构造二项式，基本原则是根据除数对已知式进行变换．变式题(1)已知的展开式中常数项为eq\f(20,27)，那么正数p的值是(C)A．1B．2C．3D．4(2)若(x2＋1)5＝a0＋a1x2＋a2x4＋…＋a5x10，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝_____0___.规律技巧提炼•规律解答排列、组合试题的关键是先把问题分为既不重复也不遗漏的几类，这样不论是用直接法求解还是用间接法求解，都可以正确地使用这些分类中的某些类．•技巧相邻问题的“捆绑法”，不相邻问题的“插空法”；分配问题中先分组后分配．注意均匀分组与不均匀分组的区别；特殊赋值法求二项式系数和．•易错(a＋b)n的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指Ceq\o\al(k,n)，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.命题立意追溯抽象概括能力——典型的排列组合问题的解法示例[2012·山东卷]现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(C)A．232B．252C．472D．484[命题阐释]本题立意是通过组合问题考查对数学问题的抽象概括能力，解题中需要根据把问题抽象概括为两个类别问题加以解决．[跟踪练]某次会展共展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该会展展出这5件作品不同的方案有___24_____种．(用数字作答)教师备用例题选题理由：下面的三个例题具有一定的典型性．例1、例2可以放在探究点二中使用，例3可以放在探究点三中使用．例1方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(B)A．60条B．62条C．71条D．80条例2某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法数为___432_____(用数字作答)．例3[2012·浙江卷]若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝___10_____.第18讲概率与统计[云览高考]二轮复习建议命题角度：该部分通常围绕三个点展开．第一个点是样本估计总体，设计给出样本数据的分布估计总体的分布的试题，目的是考查基本的运算求解能力和统计的基本思想，试题一般是解答题的一个组成部分，难度中等；第二点是围绕变量的相关性与统计案例，设计判断变量的相关关系、独立性检验的应用等试题，目的是考查回归分析和独立性检验的基础知识和基本思想方法，试题难度也不大；第三个点是围绕概率初步展开，设计古典概型、几何概型求解等问题，目的是考查对概率初步知识的掌握程度，考查运算求解能力，试题难度较小．预计2013年对该部分的考查基本方向不会有大的变化，仍然会以考查样本估计总体的思想、变量相关性、独立性检验、古典概型与几何概型的计算等问题为主，由于概率统计内容较多，也不排除在抽样方法、回归分析等方面进行考查的可能性．复习建议：从课程标准卷近五年的考查情况看，该部分的重点是样本估计总体思想，在复习时首先要抓住这个重点，其次要对变量的相关关系、回归分析、独立性检验给予一定的重视，使学生掌握其基础知识和基本思想方法，虽然课程标准卷五年没有单独考查随机抽样的问题，也要适当注意．主干知识整合1.随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少；(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多；(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．2．样本估计总体频率分布表、频率分布直方图、茎叶图、众数、中位数、平均数、方差、标准差．3．变量的相关性与最小二乘法(1)相关关系的概念，正相关和负相关，相关系数．(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，通过求Q＝eq\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))(yi－a－bxi)2最小时，得到回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的方法叫做最小二乘法．4．独立性检验对于值域分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，列出其样本频数列联表，通过计算卡方统计量判断两个分类变量是否有关系的方法．5．概率(1)两个随机事件之间的关系：①包含关系；②相等关系；③和事件；④积事件；⑤互斥事件：事件A和事件B在任何一次试验中不会同时发生；⑥对立事件：事件A和事件B在任何一次试验中有且只有一个发生．(2)概率的基本性质：①任何事件A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1；②如果事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③事件A与它的对立事件的概率满足P(A)＋P()＝1.(3)古典概型和几何概型.要点热点探究►探究点一随机抽样的理解例1[2012·山东卷]采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(C)A．7B．9C．10D．15[点评]系统抽样是把总体分成间隔距离相等的段，在每段中各抽取一个个体，在各段中抽取时可以使用简单随机抽样的方法，不一定就是把第一段抽取的号码加上组距，但使用第一段抽取的号码加上组距的方法是最简单易行的方法．变式题某校对全校男女学生共1600人进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是____760____人．►探究点二样本估计总体的方法例2[2012·安徽卷]甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图6－18－1所示，则(C)图6－18－1A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差[点评]统计图给出了数据的分布情况，特别是茎叶图给出了全部的数据，根据给出的数据即可对数据的数字特征进行分析、计算．变式题(1)2012年春运期间铁道部门首次实行网上订购火车票，并且规定旅客可以提前10天预订，对60名在网上订票的旅客进行调查后得到下表：网上提前预订车票的时间(天)0～22～44～66～88～10旅客人数36181815则旅客平均提前预订车票的时间大约为___6.2_____天．(2)为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图6－18－2，那么在这片树木中，底部周长小于110cm的株数大约是(C)图6－18－2A．3000B．6000C．7000D．8000►探究点三古典概型与几何概型的应用例3(1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则a>2b的概率为(B)A.eq\f(1,5)B.eq\f(4,15)C.eq\f(1,3)D.eq\f(6,15)(2)[2012·湖北卷]如图6－18－3所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(A)图6－18－3A．1－eq\f(2,π)B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π)D.eq\f(1,π)[点评]古典概型的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时注意不要重复也不要遗漏；几何概型的关键是计算线段的长度、平面图形的面积、立体图形的体积等，在计算时要进行适当的技术处理，如本例第二题中要计算的是阴影部分的面积，解析采用面积变换的方法求解，实际上可以直接计算，不妨设OA＝2，可以验证以OA，OB为直径的两个半圆的交点平分半圆，其中一块空白区域的面积等于以OA为直径的圆面积的二分之一减去四分之一圆上的两个弓形的面积，即eq\f(π,2)－2＝1，所以空白区域的面积为2，根据对立事件的概率公式可得所求的概率是1－eq\f(2,π).►探究点四有关统计案例的问题例4(1)[2012·湖南卷]设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(D)A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(，)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg(2)在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是__=2\*GB3②_____．(填序号)①若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别有关系，是指有1%的可能性使得出的判断出现错误．规律技巧提炼•规律1.对于几何概型，当基本事件只受一个连续的变量控制时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助于平面区域解决；当基本事件是受三个连续的变量控制时，这类几何概型是体型的，可以通过构造空间几何体加以解决．2．方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．回归直线方程一定过点(，)•技巧计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算，值得注意的是如果数表中给出的数据均是有重复性的，要根据这个重复性简化计算．•易错注意确定性思维和统计思维的差异，确定性思维作出的是完全确定的、百分之百的结论，但统计思维作出的是带有随机性的、不能完全确定的结论，在解题中忽视了这两种思维方式作出结论的差异，就可能对统计计算的结果作出错误的解释.命题立意追溯数据处理能力——实际问题中的数据收集与处理示例[2012·北京卷]近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．注：s2＝eq\f(1,n)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数.解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为eq\f(“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量,厨余垃圾总量)＝eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3).(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为eq\f(400＋240＋60,1000)＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．因为＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)＝200，所以s2＝eq\f(1,3)[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.[跟踪练]某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图6－18－4所示．(1)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；(2)求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．图6－18－4解：(1)由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：eq\f(95＋102＋105＋107＋111,5)＝104，方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(95－104)2＋(102－104)2＋(105－104)2＋(107－104)2＋(111－104)2]＝28.8.乙种棉花的平均亩产量为：eq\f(98＋103＋104＋105＋110,5)＝104，方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(98－104)2＋(103－104)2＋(104－104)2＋(105－104)2＋(110－104)2]＝14.8.因为seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定．(2)从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法为Ceq\o\al(2,5)＝10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为(105,107)，(105,111)，(107,111)共3种．所以P(A)＝eq\f(3,10).答：两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为eq\f(3,10).教师备用例题选题理由：例1从样本平均数的理论计算上进行考查，较为新颖，可在探究点二中使用；例2把定积分与几何概型结合，这也是古典概型命题的一个方向，可在探究点三中使用；例3可作为解读统计思想的题目使用．例1[2012·江西卷]样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为()．若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝α＋(1－α)，其中0<α<eq\f(1,2)，则n，m的大小关系为(A)A．n<mB．n>mC．n＝mD．不能确定例2[2012·福建卷]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)例3从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①________________；②________________.[答案]①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度)②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定)，甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大)第19讲离散型随机变量及其分布列[云览高考]二轮复习建议命题角度：该部分的命题通常围绕三点展开．第一个点是围绕概率计算展开，设计利用事件的独立性、互斥性、对立性等进行计算的概率试题，目的是考查对概率知识的掌握程度和运算求解能力、分类整合的数学思想方法，一般是选择题、填空题或者解答题的一个组成部分；第二个点是围绕离散型随机变量及其分布列展开，设计求解离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的带有实际背景的试题，目的是考查对实际问题的理解、分析，并把实际问题转化为概率计算、数学与方差的计算，这是概率统计考查的一个核心命题点，试题一般是解答题，难度中等；第三个点是围绕正态分布展开，设计利用正态密度曲线的对称轴求解概率、或者实际应用问题，目的是考查对正态分布的理解程度和数形结合思想，试题为选择题或者填空题，难度较小．预计2013年该部分的考查仍然会以离散型随机变量的分布列、数学期望和方差为主，通盘试卷整体结构，兼顾考查含有独立事件的概率、正态分布等问题．复习建议：该部分是概率统计的核心内容，复习时要抓住核心中的核心，即离散型随机变量分布列的求解，其本质上是概率的求解，要把概率计算方法和技巧作为复习的重中之重．值得指出的是从近五年来全国课标区的概率统计解答题看，有三年以解答题的形式考查了随机变量的分布列和数字特征，但这三个解答题都是与函数问题结合进行考查的，复习时也要注意这个特点．主干知识整合3.数字特征数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpnE(aX＋b)＝aE(X)＋b方差和标准差方差：D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,[)xi－E(X)]2pi，标准差：σX＝eq\r(DX)D(aX＋b)＝a2D(X)4.典型分超几何分布、二项分布、正态分布.要点热点探究►探究点一相互独立事件的概率与n次独立重复试验概型例1[2012·山东卷]现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为eq\f(3,4)，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为eq\f(2,3)，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，由题意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3)，由于A＝Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)P(eq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(D)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X＝0)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝P(Beq\o(C,\s\up6(－))eq\o(D,\s\up6(－)))＝P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))Ceq\o(D,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－))D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝P(BCeq\o(D,\s\up6(－))＋Beq\o(C,\s\up6(－))D)＝P(BCeq\o(D,\s\up6(－)))＋P(Beq\o(C,\s\up6(－))D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))CD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列为X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).[点评]本题的考查核心就是独立事件的概率计算，这也是一般的概率解答题的考查特征．该题对乙靶的射击实际上是二次独立重复试验问题，求解时可以借助二次独立重复试验概型简化计算，如第一问中命中甲靶一次、乙靶没有命中的概率是eq\f(3,4)×Ceq\o\al(0,2)×＝eq\f(1,12)，没有命中甲靶命中乙靶一次的概率是×Ceq\o\al(1,2)＝eq\f(1,9)，所以该射手恰好命中一次的概率是eq\f(1,12)＋eq\f(1,9)＝eq\f(7,36)，第二问中的各个概率值也可类似地进行计算．在概率的计算中事件的独立性和n次独立重复试验概型是最为重要的．变式题甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被终止射击的概率是多少？(3)设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标的次数，求ξ的数学期望Eξ.(结果可以用分数表示)解：(1)记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－eq\f(2,3)3＝eq\f(19,27).(2)记“乙恰好射击4次后，被终止射击”为事件A2，由于各事件相互独立，故P(A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,64).(3)根据题意ξ服从二项分布，Eξ＝3×eq\f(2,3)＝2.►探究点二随机变量的分布列、均值与方差例2[2012·浙江卷]已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．[规范评析]本题的背景是超几何分布，只是把超几何分布中的随机变量根据取球情况不同，得分不同作了个简单的替换．在概率统计中二项分布、超几何分布是两个典型而重要的概率分布，在复习时要高度重视．例3[2012·课程标准卷]某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．►探究点三有关正态分布问题图6－19－1例4[2012·课程标准卷]某一部件由三个电子元件按图6－19－1方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．[点评]正态分布N(μ，σ2)中的μ是总体的均值，直线x＝μ是正态密度曲线的对称轴，如果X～N(μ，σ2)，则P(X<μ)＝P(X>μ)＝eq\f(1,2).题设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零点的概率是(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)规律技巧提炼规律1.概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．2．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．技巧在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答，这就是解决含有相互独立事件的概率题的基本解题思路．•易错混淆相互独立事件与互斥事件，在求离散型随机变量的分布列时忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义理解不清等.命题立意追溯示例[2012·天津卷]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.[命题阐释]本题以独立重复试验概型为中心展开，考查的重点是概率问题中的运算求解．其中对事件之间关系的合理分拆是解题的关键环节，也是概率计算的重要技巧．[跟踪练]某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q(单位：年)有关．若Q≤1，则销售利润为0元；若1<Q≤3，则销售利润为100元；若Q>3，则销售利润为200元．设每台该种设备的无故障使用时间Q≤1,1<Q≤3及Q>3这三种情况发生的概率分别为p1，p2，p3，又知p1，p2是方程25x2－15x＋a＝0的两个根，且p2＝p3.(1)求p1，p2，p3的值；(2)记ξ为销售两台这种设备的利润总和，求ξ的分布列和数学期望．教师备用例题选题理由：把统计与概率综合命制解答题是近年来概率统计解答题的一个命题趋向，下面的例题从样本的频率分布，到独立性检验，再到二项分布，较为全面地考查了概率统计的主干知识和方法，可以作为该讲总结之用．例[2012·辽宁卷]电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷总计男女1055总计将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次．记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．附：P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635第20讲复数、算法与推理证明[云览高考]二轮复习建议题角度：该部分的命题就是围绕两个点展开．第一个点是围绕复数展开，设计考查复数的概念、运算的试题，目的是考查对复数基础知识的掌握程度和基本的运算求解能力，试题很简单；第二个点是围绕算法展开，设计以程序框图表达的算法试题，目的是考查对算法的基本逻辑结构的认识，对算法功能的认识，试题难度中等．至于推理与证明，理论上讲任何数学试题的解答都离不开推理，所以我们在考点统计中没有进行全面统计，只看合情推理、反证法和数学归纳法．预计2013年对复数和算法的考查不会发生变化，即考查复数的基本概念和运算，考查以程序框图设定的算法．但对合情推理以及反证法和数学归纳法的考查，则可能出现新的试题．复习建议：该部分中复数的内容非常简单，只要把概念和运算法则弄清楚即可；算法的复习中要引导学生模拟框图给出的算法进行计算，注重对算法中的判断条件的分析；在推理与证明中适度注意合情推理问题及反证法和数学归纳法．主干知识整合1.复数(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).要点热点探究►探究点一复数的基本概念及其运算例1(1)[2012·课程标准卷]下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，其中的真命题为(C)A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4(2)[2012·山东卷]若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(A)A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i[点评]复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本例第一题注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)中的b是虚部，不是bi为虚部，也就是说虚部是一个实数不是纯虚数；本例第二题也可以设z＝a＋bi(a，b∈R)代入z(2－i)＝11＋7i后进行乘法运算，然后根据两复数相等的充要条件得出方程组求出a，b.►探究点二利用程序框图描述算法例2(1)[2012·课程标准卷]如果执行图6－20－1所示的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则(C)A＋B为a1，a2，…，aN的和B.eq\f(A＋B,2)为a1，a2，…，aN的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数(2)[2012·辽宁卷]执行如图6－20－2所示的程序框图，则输出的S值是(A)图6－20－2A．－1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．4[点评]本例第一题把算法的顺序结构、条件结构、循环结构综合起来进行考查，是一道很有新意的题目，解