二次函数的实际应用问题（4大考点）（原卷版）

第三部分国数

专题10二次国数的实际应用问题（4大考点）

核心考点一销售、利润问题

核心考点二图形面积问题

核心考占------------------------------------------

“核心考点三抛物线型问题（拱桥、隧道等）

核心考点四其他问题

新题速递

核心考点一销售、利润问题

雨（2021•辽宁沈阳•统考中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那

么每天可销售20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将

销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大.

网旦（2022•山东聊城•统考中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程

中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10（尤（20时，其图象是线段N2,则

该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润=总销售额-总成本）.

雨（2021•江苏扬州•中考真题）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销

售量双千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格x（元/千克）3035404550

日销售量0（千克）6004503001500

（1）请直接写出p与x之间的函数关系式:

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出。元（a>0）的相关费用，当40W烂45时，农经公司的日获利的

最大值为2430元，求。的值.

厚命题度南

1、常用公式有：利润;售价-成本价，总利润:单个商品的利润X销售量，利润率=利润/进价X100%,通过

公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得到解决。

2、利用二次函数解决销售利润问题的方法：（1）读懂题意；（2）借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系;

⑶确定函数解析式；（4）确定二次函数的最值；（5）检验、解决实际问题。特别需要注意，解答此类型题要

抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销

售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数

最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。

3、一般情况对于此类问题的解题通法是：（1）审题：仔细审题，理解题意，看是不是二次函数。（2）建模：

根据销售利润方面的知识列出等量关系。⑶解模用含有x的代数式表示相关量，建立二次函数模型。（4）

应用：利用二次函数图像与性质解决有关问题。希望同学们认真理解掌握，关于最值问题，同学们一定要

多下功夫研究学习，总结出解决这类问题的思路方法，考试中得心应手。

.四寿加筑

【变式1］（2020•湖北武汉•统考模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，

发现每天销售量》（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示.则最大利润是（）

A.180B.220C.190D.200

【变式2］（2020•河北沧州•统考二模）“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x元，一天可售出（8-x）

个.当一天出售该种文具盒的总利润了最大时，x的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3］（2022•辽宁沈阳•统考二模）阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发

现，每天销量y（kg）与销售单价x（元）之间满足一次函数y=f+50的关系.若不计其他成本（利润=售

价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是元.

【变式4］（2022•河北石家庄•校考模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对

象种植的农产品在某月，（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格P（元/千克）关于x的函数关系

-x+4(0<x<20)

式为P=,；

销售量y（千克）与x之间的关系如图所示.

-yx+12(20<x<30)

（1）求了与x之间的函数关系式为歹=

（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是.（销售额=销售量x销售价格）

【变式5］（2022•贵州遵义・三模）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.

一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设

月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

⑴直接写出了与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款。元，已知该公司捐款

当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值

核心考点二图形面积问题

雨（2022・新疆•统考中考真题）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够

长），则这个围栏的最大面积为m2.

亟（2021•内蒙古•统考中考真题）已知抛物线了=/-2x-3与x轴交于，，8两点（点N在点8的左

侧）,与/轴交于点C,点Z）（4,V）在抛物线上,E是该抛物线对称轴上一动点.当BE+DE的值最小时，△4CE

的面积为.

司（2022•四川巴中•统考中考真题）如图1,M^y=ax2+2x+c,交x轴于/、3两点，交了轴于点

C,尸为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点£,当时，-l<x<3.

图1图2

⑴求抛物线的表达式；

⑵点P是线段8E上的动点（除8、£外），过点P作X轴的垂线交抛物线于点。.

①当点尸的横坐标为2时，求四边形ZCFD的面积；

②如图2,直线NO,AD分别与抛物线对称轴交于"、N两点.试问，EM+EN是否为定值？如果是,

请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

面积最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量，建立二次函数的模型，利用

二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围

13

【变式1］（2022•浙江宁波•校考模拟预测）已知抛物线：了=万一-5》-2顶点为。，将抛物线向上平移，

使得新的抛物线的顶点。，落在直线/：»=岸上，设直线/与＞轴的交点为。'，原抛物线上的点P平移后的

8

对应点为。，若07=。'。，则点。的纵坐标为（）

A.—B.—C.4D.V17

88

【变式2】（2022•甘肃嘉峪关•校考一模）如图①，在矩形N8CD中，当直角三角板MW的直角顶点尸在8C

上移动时，直角边M尸始终经过点4设直角三角板的另一直角边PN与相交于点0.在运动过程中线

段8P的长度为龙，线段的长为丹y与x之间的函数关系如图②所示.则43的长为（）

A.2.25B.3C.4D.6

【变式3］（2021•吉林长春•统考二模）在平面直角坐标系中，/点坐标为（-1,4）,2点坐标为（5,

4）.已知抛物线y=N-2x+c与线段有公共点，则c的取值范围是_.

【变式4］（2021•江苏南通•统考一模）如图，在必中，4c3=90。，AC=BC=&,。是上的一

个动点，连接CD,将△8C。绕点C顺时针旋转90。得到A4CE,连接则A4DE面积的最大值等于

【变式5](2022•宁夏银川•校考二模)已知：如图，在Rt42c中，ZACB=9Q°,AB=8cm,AC=4cm,

。。为48边上的高，点。从点/出发，沿/C方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点尸从点2出发，沿R4

方向匀速运动，速度为2cm/s.设运动时间为f(s)(O<t<4).解答下列问题：

C

图1

(1)当/为何值时，PQ//BC.

(2)当尸。中点在CD上时，求f的值；

⑶设四边形。P8C的面积为S(cm),求S与/的函数关系式，并求S最小值.

核心考点三抛物线型问题(拱桥、隧道等)

亟（2022・四川广安•统考中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下

降米，水面宽8米.

酝（2022・贵州黔西•统考中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照

图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是

125

y=--x2+-x+-,则铅球推出的水平距离。/的长是m.

瓯（2022•浙江台州•统考中考真题）如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向行驶，为绿化带

浇水.喷水口b离地竖直高度为力（单位：m）.如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直

角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DMG,其水平宽度。E=3m,竖直高度

为E尸的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为

2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到/的距离。。为d（单位：m）.

图1图2

⑴若〃=1.5,£F=0.5m；

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程。C；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；

（2）若取=lm.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出〃的最小值.

厚命题内限

1、根据题意，建立恰当的坐标系，设抛物线解析式；

2、准确转化线段的长与点的坐标之间的关系，得到抛物线上点的坐标，代入解析式，求出二次函数的解析

式；

3、应用所求解析式及性质解决问题；

独田寿期皖

【变式1］（2022•辽宁抚顺•模拟预测）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶（拱桥

洞的最高点）离水面2m,水面宽为4m.如果水面宽度为6m,则水面下降（）

D.2加

【变式2］（2022•山东临沂•统考一模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路

线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度分（单位：加）与足球被踢出后经过的时间「（单

位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（）

t01234567

h08141820201814

———9

A.足球距离地面的最大高度超过20mB.足球飞行路线的对称轴是直线1=不

C.点（10,0）在该抛物线上D.足球被踢出5s：7s时，距离地面的高度逐渐下降.

【变式3］（2022•河北•校联考一模）某游乐场的圆形喷水池中心。有一雕塑。4,从点/向四周喷水，喷出

的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点。为原点建立直角坐标系，点/在y轴上，x

轴上的点C,。为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（x-5）2+6

（1）雕塑高O/的值是—〃?；

（2）落水点C,。之间的距离是m.

【变式4］（2022•浙江台州•统考一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物

线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为4,第二次反弹后的最大高度为外,

2

第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度2c=若

【变式5】Q022•河北邯郸・校考三模）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口/位于桌面8C左上方,

桌面2c的长为2.74m.过点/作CM12C,垂足为。，02=0.03m,以点。为原点，以直线2C为x轴，

所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口/发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部

分乙设乒乓球与出球口/的水平距离为x(m),到桌面的高度为y(m),运行时间为/(s),在桌面上的

落点为。，经测试，得到如下部分数据：

t(s)00.20.40.60.8

x(m)00.511.52

y(m)0.250.40.450.40.25

(1)当/=5时，乒乓球达到最大高度；猜想丁与x之间是否存在二次函数关系，如果存在，求出函数

关系式；如果不存在，请说明理由;

(2)桌面正中间位置安装的球网G8的高度为0.15m,求乒乓球从出球口”发出经过多长时间位于球网正上

方，此时乒乓球到球网顶端〃的距离约为多少？(结果保留两位小数)

⑶乒乓球落在点。后随即弹起，沿抛物线//：y=-0.56(x-p)(x-3.5)的路线运动，小明拿球拍斯

与桌面夹角为60。接球，球拍中心线所长为0.16m,下沿E在x轴上，假设抛物线乙二与放在同一平面

内，且乒乓球落在斯上(含端点，点£在点C右侧)，求。的值，并直接写出跖到桌边的距离CE的取

值范围.

核心考点四其他问题

H(2020•山东淄博•统考中考真题)某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站(包括甲站、

乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货

包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个.在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是

个.

雨（2022・四川成都・统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面

的高度a（米）与物体运动的时间f（秒）之间满足函数关系〃=-5〃+"M+〃，其图像如图所示，物体运动

的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到，秒时〃的值的"极差”（即0

秒到f秒时〃的最大值与最小值的差），则当04区1时，w的取值范围是；当2Vf43时，w的取

值范围是.

酝（2022•四川攀枝花•统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至

2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳

台滑雪是一项极为壮观的运动.运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成,

如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角6=37。的跳台/点以速度%沿水平方向跳出，若忽略

空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此,

运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在2点着陆，^5=150m,且sin37。=0.6.忽

略空气阻力，请回答下列问题：

⑴求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m?

（2）以N为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；

⑶若该运动员在空中共飞行了4s,求他飞行2s后，垂直下降了多少m?

般命题度南

二次函数的其他问题，主要在于应用二次函数的图象与性质，结合其他的知识点，求出二次函数的最值情

况即可；

【变式11（2021•江苏苏州・苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气

量y（单位：n?）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0。〈烂90。）近似满足函数关系>="2+加+。（存0）.如

图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可

推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

D.58°

【变式2］（2021•安徽淮南•统考二模）如图，一段抛物线：y=-x（x-4）（0<x<4）记为C”它与x轴交

于两点。，4；将C/绕出旋转180。得到。2，交x轴于上；将C2绕出旋转180。得到。3，交x轴于小…如

此变换进行下去，若点尸（21,加）在这种连续变换的图象上，则阳的值为（）

A.2B.-2C.-3D.3

【变式3］（2022・湖北黄冈・统考三模）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代

建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，己知其底部宽

度为80米，高度为200米.则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为.

图①图②

【变式4］（2020・浙江温州•校联考模拟预测）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1）,当手按住顶部/

下压时（如图2）,洗手液瞬间从喷口3流出，已知瓶子上部分的诬和而的圆心分别为。，C,下部分的

视图是矩形CG〃D,GH=10cm,GC=8cm,点E到台面G”的距离为14c〃z,点8距台面G"的距离为

16cm,且2,D,〃三点共线.如果从喷口2流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过

C.£两点，接洗手液时，当手心。距。〃的水平距离为2c〃?时，手心。距水平台面GH的高度为

图1图2

【变式5］（2022•河北唐山・统考三模）北京冬奥会的召开激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小

型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点/作水平线的垂线为丁轴，建

144

立平面直角坐标系，图中的抛物线。：了=-不+§近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好

者小张从点o正上方/点滑出，滑出后沿一段抛物线：了=+/+c运动.

O

⑴当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为万米，贝同=,。=.

4

（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为§米?

（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于3米，求跳台滑出点的最小高度.

【新题速递】

1.（2022•河北石家庄•校考模拟预测）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食

用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间1（单位：分钟）满足的函数关系p=a〃+4+c（a,b,c

是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）

0.5-----------------厂十T

•'।!!

।•।

-------!'--<!--.；-->

O345f

A.4.25分钟B.4.00分钟C.3.75分钟D.3.50分钟

2.（2022•辽宁大连•统考三模）如图1,校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛.我们发现，实心

球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线.如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度»（”）

与水平距离x（加）之间的函数关系是尸-丘/+§工+；,则该同学此次投掷实心球的成绩是（）

图1

3.（2022•浙江温州•统考二模）已知抛物线了="2-4ax-5a与x轴交于8两点，尸为抛物线顶点，且当

xWl时，了随x的增大而减小，若A4AP为等边三角形，则。的值为（）

A.-也B.—C.-V3D.上

33

4.（2022•安徽亳州•统考二模）已知，在菱形N8CZ）中，AB=6,Z5=60°,矩形尸QW的四个.顶点分

别在菱形的四边上，则矩形尸的最大面积为（）

BD

V?X/A,

1c

A.6GB.773C.8cD.973

5.（2021•四川绵阳•统考三模）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物

资需求量激增.某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息

如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液的单日产销

利润〉元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大.（）

消毒

每瓶售价（元）每瓶成本（元）每日其他费用（元）每日最大产销量（瓶）

液

30181200+0.02x2250

A.250B.300C.200D.550

6.（2022•广西钦州・统考二模）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为

18m.要使菜园的面积最大，则平行于墙面的边长为

18米

7.（2022・广西河池•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-；/+；x+3与x轴交于/、2两

点（点3在点/的右侧），与y轴交于点C,。为线段05上一点.过点。作x轴的垂线与抛物线交于点

E,与直线8c相交于点尸，则点E到直线2C距离d的最大值为

8.（2022・湖北黄冈•校联考模拟预测）矩形N5CD中，点P从点/出发，沿边以每秒1个单位的速度向

8点运动，至2点停止；同时点。也从/点出发，以同样的速度沿N-D-C-8的路径运动，至3点停止，在

此过程中A4PQ的面积y与运动时间t的函数关系图象如图所示，则m的值为

13

9.（2021•广东佛山・统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=]--5工-2与x轴相交于A、B两

点，与丁轴交于点C,点尸是抛物线上位于直线8C下方一动点，当=时，点尸的坐标为

10.（2021・陕西•三模）如图，在矩形48CD中，/D=24B=6,点E是工。的中点，连接BE,点M是BE

上一动点，取CW的中点为N,连接MV,则/N的最小值是.

n.（2022・辽宁大连•校考模拟预测）新冠肺炎疫情后期，我县某药店进了一批口罩，成本价为2元/个，投

入市场销售，其销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于80%.经一段时间调查，发现每天

销售量丁（个）与销售单价x（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定为2.3元，每天

销售1080个；销售价定为2.5元，每天销售1000个.

（1）直接写出了与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（2）如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价应定为多少元？

（3）设每天的总利润为卬元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？

3

12.（2022•山东泰安•校考二模）如图，已知二次函数了="2+加+。的图象与x轴交于点/（-于0）,点8（4,

0）,交y轴于点C（0,4）,点M（加,0）是线段05上一点（与点O、8不重合），过