第一章 集合与常用逻辑用语（10类题型清单）-2024-2025学年人教版高一数学必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破

（题型清单）

01思维导图

02知识速记

知识点oi：集合的含义

一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母J…表示.

把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.

1元素与集合的关系

(1)属于(belongto)：如果。是集合A的元素，就说。属于A,记作aeA.

(2)不属于(notbelongto)：如果〃不是集合A的元素，就说6不属于A,记作Z;史A.

2集合元素的三大特性

(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在

这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.

(2)互异性(考试常考特点，注意检验集合的互异性)：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，

集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.

(3)无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质

称为集合元素的无序性.

知识点02：集合的表示方法与分类

1常用数集及其符号

常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

数学符合NN*或N.ZQR

2集合的表示方法

(1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法

(2)列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号”{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

注用列举法表示集合时注意：

（3）描述法定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征「（乃的元素工所组成的集

合表示为｛xeA|P（x）｝,这种表示集合的方法称为描述法.有时也用冒号或分号代替竖线.

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在

竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

（4）venn（韦恩图法）：

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Vam图。

知识点03：图（韦恩图）

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。

匕用图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用正在图，可以使问题简单明了地得到解决。

对於而图的理解

（1）表示集合的Vem图的边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线.

（2）用血加图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系，缺点是集合元

素的公共特征不明显.

知识点04：子集

1子集：

一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，我们就说这两个集合有

包含关系，称集合A为集合3的子集

（1）记法与读法：记作（或读作“A含于5”（或“3包含A”）

（2）性质：

①任何一个集合是它本身的子集，即A0A.

②对于集合A,B,C,若且3口。，则

（3）vemz图表示：

2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别

符号“口”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“e”表示元素与集合之间的从属关系.

知识点05：集合相等

一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那

43)

么集合A与集合5相等，记作4=5.也就是说，若且则A=5.

(1)4=5的图表示

(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关

知识点06：真子集的含义

如果集合A08,但存在元素xe6,且xeA,我们称集合A是集合3的真子集;

(1)记法与读法：记作AUB,读作“A真包含于3"(或“B真包含A”)

(2)性质：

①任何一个集合都不是是它本身的真子集.

②对于集合A,B，C,若AU3,且BUC,则AUC

(3)vezm图表示:

知识点07：空集的含义

我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：0

规定：空集是任何集合的子集，即0口4；

性质：①空集只有一个子集，即它的本身，070

(2)4/0,则0UA

0和00和⑼。和{0}

相同点都表示无都是集合都是集合

不同点。表示集合；0不含任何元素0不含任何元素

0是实数{0}含有一个元素0{0}含有一个元素，该元

素为：0

关系0^00U{O}0。{0}或者0e{0}

知识点08：并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合称为集合A与集合5的并集，记作AUB(读

作：A并5).记作：A\JB=^x\xeA^x&.

并集的性质：A\JB=B\JA,AcAljB,AUA=A,A|J0=A.

高频性质：若

图形语言

AB

知识点09：交集

一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合即由集合A和集合B的相同元素组成的集合,

称为集合A与集合8的交集，记作AC8(读作：A交3).记作：4。5={尤|龙640/63}.

交集的性质：A^B=BC\A,ApBcA,AABcB,AAA=A,ACl0=0.

高频性质：若4口3=323口4.

图形语言

知识点10：全集与补集

全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用。表示，

全集包含所有要研究的这些集合.

补集：设U是全集，A是U的一个子集(即A=u),则由。中所有不属于集合A的元素组成的集合，叫

做U中子集A的补集，记作QA,即。04=卜,£。且xcA}.

补集的性质：AL)CuA=U,AnC(;A=0,Cf；(CuA)=A.

知识点11：充分条件与必要条件

一般地，“若p,则4”为真命题,就说P是4的充分条件，q是P的必要条件.记作：p=q

在逻辑推理中“P=q”的几种说法

(1)“如果P,那么4”为真命题.

(2)P是4的充分条件.

(3)4是2的必要条件.

(4)P的必要条件是4.

(5)4的充分条件是P.

这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.

知识点12：充分条件、必要条件与充要条件的概念

(1)若夕nq,则P是4的充分条件，4是P的必要条件；

(2)若，ng且44P,则，是4的充分不必要条件；

(3)若。44且qn。，则，是4的必要不充分条件；

（4）若P=q,则，是4的充要条件；

（5）若。44且44P，则P是4的既不充分也不必要条件.

知识点13：全称量词命题和存在量词命题的否定

1全称量词命题及其否定（高频考点）

①全称量词命题：对”中的任意一个x,有p（x）成立；数学语言：VxeM,P（x）.

②全称量词命题的否定：

2存在量词命题及其否定（高频考点）

①存在量词命题：存在M中的元素无，有p（x）成立；数学语言：3x^M,p（x）.

②存在量词命题的否定：

03题型归纳

题型一集合的表示方法

例题1.（23-24高一上.江苏淮安.开学考试）若4={-2,-1,1,2,3},B={x\x=t2,teA\,用列举法表示

B=.

【答案】{1,4,9}

【分析】由集合的性质求解即可.

【详解】因为A={—2,T,1,2,3},3=卜,=尸,止入},

所以8={1,4,9}.

故答案为：{1,4,9}

例题2.（23-24高一上•河南商丘•阶段练习）已知集合4={1,2,3,4,6},8=则集合8中的元

素个数为.

【答案】13

【分析】由题列举出集合2,即得.

【详解】将x,y及j的值列表如下，去掉重复的值，可知集合3=中的元素个数为13.

12346

112346

2

2123

22

124

312

33i

j_j_32

4i

4242

j_J_j_2

61

6323

故答案为：13

例题3.（23-24高一上•上海杨浦•期中）用列举法表示集合A="|三eN*,aez1=.

【答案】{T2,3,4}

【分析】对整数。取值，并使一为正整数，这样即可找到所有满足条件的。值，从而用列举法表示出集

5-a

合A.

【详解】因为aeZ且3eN*

5-a

所以a可以取-1,2,3,4.

所以A={-1,2,3,4}

故答案为：{-1,2,3,4}

【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z表示整数集，属于基础题.

巩固训练

1.（23-24高一上•上海杨浦•阶段练习）用列举法表示集合{y|y=Y,-i＜尤＜2,yeZ}=

【答案】{01,2,3}

【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.

【详解】因为丫=/,-1＜》＜2,

所以04y＜4,

又yeZ,

所以y=0,1,2,3

故答案为{0」,2,3}

【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.

2.（23-24高一上.广东广州•期中）用列举法表示集合租|£eZ,mez]=______.

m+1।

【答案】｛—11,—6,—3,—2,0,1,4,9).

【分析】利用题目条件，依次代入，使£eZ,meZ,从而确定出机的值，即可得到答案

m+1

【详解】V—eZ,m^Z,

m+1

.,.加+1为10的因数

则根+1=1,2,5,10,-10,-5,-2,-1

m-0,1,4,9,-11,—6,-3,—2

贝惜案为{T1，-6,-3,-2,0,149}

【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解

决问题的能力，属于基础题.

3.(23-24高一・全国•课后作业)用另一种形式表示集合.

(1)A=[eZ----ezj>；(2){2,4,6,8).

【答案】(1){-3,0,1,2,4,5,6,91；(2){x\x=2k,l<k<4,keZ).

【解析】(1)描述法转为列举法时，首先确定集合是有哪些元素组成的，然后将所有元素写在花括号内；(2)

列举法转为描述法时，首先明确集合中元素的公共属性，即把握住集合中元素满足什么条件.

【详解】(1)要使元,二一是整数，则|3-尤|必是6的约数，当x=-3,0,1,2,4,5,6,9时，|3-尤|是6的约数，

3-x

AA={-3,0,1,2,4,5,6,9).

(2){x\x=2k,1<A;<4,^GZ}.

【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.

题型二根据元素与集合的关系求参数

例题1.(2024•全国•模拟预测)若。<1,2,片},则“的取值集合为()

A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2)

【答案】C

【分析】结合元素与集合的关系计算即可得.

【详解】当a=l时，/=i,不满足集合中元素的互异性，舍去；

当a=2时，贝1|ae{l,2,4},符合题意，

当〃=/时，有々=1或。=0,已知当a=1时符合题意，

当〃=0时，则”{1,2,0},符合题意，

故〃的取值集合为{0,2}.

故选：C.

例题2.(23-24高一上•浙江宁波•期中)已知集合A={a,a-2,a2-a-i},若一个小则实数。的值

为.

【答案】-1或0

【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.

【详解】由题意，—leA,

若a=-1,此时a-2=-3,〃=符合题意；

若a—2=—1,贝［|a=l,此时a—1=—1,不符合题意；

若/-a-l=-l,贝1ja=l或a=0,

a=l时，a-2=-l,a2-a-1=-1,不符合题意；

a=0H寸，a-2=-2,/-a-1=-1,符合*^§意，

综上，。=一1或a=0.

故答案为：-1或0.

例题3.(23-24高一上.四川达州•期中)设关于x的不等式加一2元+.W0的解集为S,若OeS且-leS,

则。的取值范围是.

【答案】-l<a<0

【分析】根据已知条件列不等式组，由此求得。的取值范围.

axO2-2x0+fl<0

【详解】依题意，、2,、，

〃x(—1)—2x(—1)+a〉0

解得一1<4W0.

故答案为：-1<6?<0

巩固训练

1.(23-24高一上.湖北孝感•期中)已知集合4=卜,储+24,2。+1},且3eA,贝心=()

A.1B.-3或1C.3D.-3

【答案】D

【分析】根据元素与集合的关系可得出关于。的等式，结合集合元素满足互异性可求得实数。的值.

【详解】因为集合&={4,4+24,24+1},且3eA,

所以，/+2〃=3或2。+1=3,

解得a=1或a=—3,

当a=l时，/+2々=2々+1=3,集合A中的元素不满足互异性；

当a=-3时，A={4,3,—5},符合题意.

综上，a=—3.

故选：D.

2.(23-24高一上•天津南开•期中)设集合4={2,.+2,2/+力，若3eA,贝.

_3

【答案】-万/—1.5

【分析】依题意可得，+2=3或2/+〃=3,求出。的值，再检验即可.

【详解】因为A={2M+2,2Q2+〃}且3巳A,

~3

所以〃+2=3或2〃+々=3,解得。=1或。=-5,

当〃=1时2/+々=4+2=3,不满足集合元素的互异性，故舍去；

当。=一］时A=［2,；,31,符合题意.

故答案为：-£3

3.（23-24高一上•北京•期中）不等式‘一＜1的解集为A,若2®A,则实数。的取值范围是.

X-Y

【答案】［1,+8）

【分析】根据2/A,得至求出答案.

【详解】由题意得解得

故实数。的取值范围是［1,+8）.

故答案为：［1,+8）

题型三根据集合中元素的个数求参数

例题1.（多选）（23-24高一上•广东佛山.阶段练习）已知集合4=卜|（"-1卜2+5+1卜+1=0}中有且仅

有一个元素，那么”的值为（）

A.-1B.1C.-D.0

3

【答案】BC

【分析】根据题意分类讨论求解即可.

【详解】因为集合4=卜|（/-1卜2+（。+1"+1=（）}中有且仅有一个元素，

所以当/-1=0,即4=±1时，

若。=1,贝l"={x|2x+l=0}=.；1符合题意，

若a=-l,则4={冲=0}=0不符合题意；

当/—I。。，即QW±1时，

贝那=（。+1）2_4（/_1）=_3/+2。+5=0,

解得。=-1（舍）或"*

所以a的值可能为1,1

故选：BC

例题2.（23-24高一・全国•课后作业）已知集合&={闻依2-3x+2=。}.

（1）若集合A中只有一个元素，则实数。的值及该元素分别为;

（2）若集合A中至多有一个元素，贝心的取值范围是.

【答案】0，1或{alazj或a=0}

【分析】（1）、根据集合A中只有一个元素对。分类讨论，当a=0时验证A是否只有一个元素；当。片0时，

则A=0；即可求出实数。的值及相对应的元素；

（2）、根据题意可知A=0或集合A中只有一个元素，当A=0时，则/<0；结合（1）即可求出。的取

值范围.

【详解】（1）、A=1x|ax23-3x+2=o|

当a=0时，A=⑶-3x+2=0}=51,集合A中只有一个元素，符合题意；

9

当〃。0,因为A中只有一个元素，则方程62一3x+2=0有两个相等的实根..・・△=（-3）92-8〃=0,得。=三,

O

4

此时A=集合A中只有一个元素符合题意;

综上所述，当a=0时，集合A中只有一个元素羡2；当〃=9三时，集合A中只有一个元素4刀.

383

a0,9

（2）、若集合4=0,则方程分2一3彳+2=0无解,

A=(-3)-8a<0,8

?94

由（1）可知当a=0时，集合4中只有一个元素当a=g时，集合A中只有一个元素丁.

383

综上所述：a的取值范围是号或。=0}.

O

故答案为：。［7或Q4{alawQj或a=0、}.

3o3o

例题3.（23-24高一上.河南南阳•阶段练习）已知集合A={xeR|"2-3无+l=0,aeR},求集合4满足下列

条件时实数a的所有可能取值组成的集合

（1）集合A中有且仅有一个元素；

（2）集合A中有两个元素；

【答案】（1）（。，：

⑵{*<0或0<。<*

【分析】将集合中元素的个数转化成方程办2一3x+1=0MwR解的个数，然后利用方程"2-3x+1=0,a€R解

的情况求解即可.

【详解】（1）集合A中有且仅有一个元素，即方程内2_3x+l=0,aeR只有一个解，

①当。=0时，方程为-3x+l=0,解得x=；,符合要求；

9

②当时，方程为一元二次方程，八=9-4〃=0,解得〃=:；

4

所以0的所有可能取值构成的集合为

（2）集合中有两个元素，即方程内2-3》+1=0,。€区为一元二次方程，a^O,且方程有两个解，所以

Q9]

A=9-4«>0,解得a<j,所以°的所有可能取值构成的集合为„<0或0<a<].

巩固训练

1.（23-24高一上•广东梅州•期中）若集合/=同（加+1）/-阳+根T=。}的所有子集个数是2,则加的值

是—

【答案】-1或土空

3

【分析】首先将题目等价转换为方程（〃2+1）/-：加+〃工-1=0只有一个解，从而对加分类讨论即可求解.

【详解】由题意M只含有一个元素，当且仅当方程（〃工+1）/-侬+〃工-1=0只有一个解，

情形一：当加=T时，方程变为了x-2=0,此时方程只有一个解x=2满足题意；

情形二：当〃件-1时，若一元二次方程（根+1）工2-3+m一1=。只有一个解，

则只能A=〃-4（m-l）（m+l）=4-3m2=。，

解得"2=±

23°.

综上所述，满足题意的加的值是-1或土区1.

3

故答案为：-1或土空.

3

2.（23-24高二下•江苏扬州•阶段练习）集合4=卜|冰2—3x+2=0,aeR}

（1）若A是空集，求。的取值范围.

（2）若A中至多一个元素，求〃的取值范围.

9

【答案】（1）。>三

O

9

(2)。2—或a=0

8

9

【分析】(1)根据题意可知方程改2_3%+2=0无解，可知且A<0,即可解得〃>7；

O

(2)由题可得方程"2-3x+2=0至多一个实数根，易知a=0符合题意，当a彳0时需满足AWO,即可求

得a的取值范围.

【详解】(1)由A是空集可知方程及-3x+2=0无解，

若a=0,则方程-3x+2=0必有解，不合题意；

若a片0,由方程a尤2-3尤+2=0无解可得A=(-3)2-4x2a=9-8。<0,

9

解得。>g；

o

9

即“的取值范围为a>g.

o

(2)由A中至多一个元素可知方程依2一3%+2=0至多一个实数根，

2

若〃=0,则方程-3%+2=0有一解x=§,符合题意；

若则方程"-3%+2=0至多一个实数根，

,9

即可得△=(—3)—4x2a=9—8〃00,解得〃之一；

8

综上可得，〃的取值范围为〃之:9或，=0

o

3.(23-24高一.全国•课后作业)已知集合A是方程(4-1)尤2+2,+1卜+1=0的解集.

(1)若A是空集，求。的取值范围；

(2)若A是单元素集(集合中只有一个元素)，求。的值；

(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围.

【答案】(l)(-s,T]

(2)1

⑶STU。｝

【分析】(1)需对参数。进行分类讨论，分/一1=0和4一1力0两种情况求解；

(2)结合(1)可直接求解；

(3)将(1)(2)结论综合，即为对应取值范围.

【详解】(1)若"_1=0,贝!ja=l或〃=一1,当a=l时，方程为4x+l=0,

其解为X==，所以A是单元素集.

4

当。=-1时，方程为0J+1=0,无实数解，所以A为空集.

所以，若A是空集，

/—1w0,

则。=一1或V/、2/9\

A=4（4Z+1）-4（«2-l）=8tz+8<0,

即aW—1,所以〃的取值范围为（-g-1］；

（2）由⑴可知，若A是单元素集，贝躇=1或:一产。'即a=l；

（3）由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则。的取值范围为

题型四集合的基本关系

例题1.（2024・陕西商洛•模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合4={-3,0,3}和8={》|必+3彳=（）}的关

系的是（）

A.A=BB.A^BC.A=BD.Ac3=0

【答案】B

【分析】先求出集合8,然后利用两个集合之间的关系进行判断即可.

【详解】由8={X3+3X=0},可得3={-3,0},又4={-3,0,3},所以A^B

故选：B

例题2.（23-24高一上・吉林•阶段练习）已知集合M=1x|x=2根+g,meZ：,N=|尤|x=

尸={x|x=p+g,pez1,则M,N,尸的关系（）

A.M=N窿PB.M^N=P

C.M^N^PD.N^P^M

【答案】B

【分析】将集合尸化为与N相同的形式，即可判断集合间的关系.

［详解］由M=|x|x=（2m+1）_1,相ez1,P=|x|x=（p+l）_g,peZ：,

而2m+1为奇数，P+1为整数，X^=1x|x=n-|,nezj,

所以M星N=P.

故选：B

例题3.（2024.重庆.三模）已知集合A=„-5x+6=。},B={x|-l<x<5,xeN},则满足AgC8的

集合C的个数为.

【答案】7

【分析】化简集合48,结合求集合的子集的结论即可求得结果.

【详解】因为4={无--5彳+6=0}={2,3},

B={x|-l<x<5,xeN}={0,l,2,3,4},

所以满足A=C2的集合C中必有元素2,3,

所以求满足CB的集合C的个数，即求｛0,1,4｝集合的真子集个数,

所以满足A=C8的集合C的个数为23-1=7个.

故答案为：7.

巩固训练

1.（23-24高一下•山东淄博・期中）己知集合卜=+N==左±;，左eZ,,M=（）

A.M=NB.M?N

C.MjND.McN=0

【答案】A

【分析】先分析集合河、N,得到M=N,从而得解.

［详解］=：+==>「I，左eZ,,

［I,14k±l,J

?/=<%%=A：±—=--—,keZ>,

因为M+l表示奇数，列举为｛…-3,5,7…｝,

4k±1同样表示奇数，所以Af=N.

故选：A

2.（23-24高一上•江苏南通•期中）下列关系中正确的是（）

A.兀eQB.0c｛O｝C.｛0,1｝c｛（O,l）｝D.｛（a,/?）｝=｛（Z?,a）｝

【答案】B

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系确定正确答案.

【详解】兀是无理数，所以A选项错误.

空集是任何集合的子集，所以B选项正确.

集合｛0,1｝与集合｛（0,1）｝的元素不相同，所以没有包含关系，所以C选项错误.

所以D选项错误.

故选：B

3.（多选）（2024・湖北•模拟预测）已知集合4=｛1,2｝,8=｛0,1,2,3,4｝,集合C满足A。=3,则（）

A.leC,2tCB.集合C可以为｛1,2｝

c.集合C的个数为7D.集合C的个数为8

【答案】AC

【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案.

【详解】由题意得&={1,2},B={0,1,2,3,4},又AC=B.

所以leC,21C,故A正确；

当6={1,2}时，不满足AC,B错误，

集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数，

所以集合C的个数为23-1=7,故C正确，D错误，

故选：AC.

题型五根据集合的包含关系求参数

例题1.（多选）（23-24高一下•河北张家口•开学考试）若集合4=卜g-2=0},3=1,2+3彳+2=0},且

A=则实数”的取值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】ABC

【分析】空集是任何一个集合的子集，由A=分别对A=0和AW0进行分类讨论求实数a的值.

【详解】因为f+3x+2=0,

解得X1=-1,X2=-2,则B={-2,-1}.

当A=0时，方程双—2=0无解，贝！Ja=0；

2

当AW0时，方程改一2=0有解，贝1]。。0且工=一，

a

2

因为所以一£3,

a

2

若一二一1,即a=—2

a

2

若一=—2,即，=—1.

a

综上所述，Ag5时，〃的值为-2,-1,0.

故选：ABC.

例题2.（23-24高一上•湖北武汉•阶段练习）设使式子J至*有意义的实数x的取值范围为集合A,集合

V5-x

3={%*_2rwc+2m2—m—1<0^.

（1）求集合A；

（2）若求实数机的取值范围.

【答案】（1）A={x\-2<x<5}（2）me{-2}u[-l,2]

【分析】（1）判断JpE有意义条件，即可求出集合A；

V5-x

(2)将B中的不等式左侧进行因式分解，利用关系8g4对于8是空集和B非空分类讨论，分别得到关于m

的不等式，解出即可得到答案.

【详解】⑴由可知420邛2+“)(5：)2。..._2=<5,A={x|-2<x<5}；

V5-x5-x["5

(2)B=x2—3mx+2m2—m—l<=2m—l)(x—m+1)<01

①当m—1=2m+1即m=一2时，5=0qA,满足题意；

m<-2

②当相一1>2m+1即相〈一2时，B={x|2m+l<x<m-l},要使则<2机+12-2,.,.根的值不存在;

m-l<5

m>-2

③当机一1<2m+1即机>一2时，B={x|m-l<x<2m+l},要使则<2机+1<5,m42；

m-1>-2

综上：实数m的取值范围是%=-2或-1W〃zW2即me{-2}u[-l,2]

例题3.(23-24高一・浙江杭州.期末)已知集合A=[x[=<o[,B=U>1

[尤+1J[X--3x+2

C={x|2x?+mx-lWO}.

(I)若(Ac3)uC,求机的取值范围.

(II)若Cu(AUB),求加的取值范围.

【答案】(I)相(II)--<m<l

【解析】(I)首先求出集合A,B及AcB,再根据4口8工。，得到不等式组，解得即可；

(II)首先求出AU3,根据Cu(AUB),则方程2/+*一1=。的小根大于一1,大根小于或等于4,令

/(X)=2X2+;MX-1,即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：因为A中言<。},B中曾念“}

因,2U21,即x+2-(/一3x+2)即苫4；4)v°解得01或2<.

x-3X+2d-3x+2(x-2)(x-l)

所以A={x[—l<x<3},B=[0,l)U(2,4]

。={尤|2炉+初^—1《0}表示2f+7依-140的解集；

(I)因为AnB=[0,l)U(2,3),由题意知ApIBaC

所以方程2尤2+3-1=0的小根小于或等于0,大根大于或等于3,令〃x)=2x2+/nr-1

/(3)=3/71+17<0

m

当“。则m八，不等式组无解,

---«。

4

[/(0)=-1<0

当一：23则m,解得〃ZV—72,

4——>3

I4

〃0)=-上。17

当0〈一?<3则</(3)=3根+17<0,WW-12<m<-y

八

0<——1n<A3

I4

,17

由此得加工---.

(II)AUB=(-1,4]

由C=AU3)

所以方程2炉+如-1=0的小根大于-1,大根小于或等于4,令f(x)=2x2+7加一1

所以</（4）=4制+3120解得一号4根<1

-1<——<4

I4

【点睛】解决集合的关系问题，一般先化简各个集合，然后利用交集、并集、补集的定义求出结果，属于

中档题.

巩固训练

1.（23-24高一上•上海普陀•期中）已知集合2=卜|尤2+尤_6=0},0={幻依+1=0},且满足Q=求实

数。可能取的一切值.

【答案】0,-1|

【分析】根据。屋尸，分类讨论求解即可.

【详解】•••尸=卜|/+尤-6=0}={-3,2},。=「，

可能为0,{-3},{2}.

当。=0时，依+1=0无解，故Q=0,满足QuP,

当。={一3}时，贝IJ—3。+1=0,解得〃=；,

当。={2}时，则2a+l=0,解得

综上，实数々的取值为0Tq.

2.（23-24高一上.江苏无锡.阶段练习）已知集合人={尤卜2+2彳-°=0}.

（1）若。是A的真子集，求”的范围；

(2)^B=[X\X2+X=0],且A是B的子集，求实数。的取值范围.

【答案】(1)a>-l；(2)a<-l.

【解析】(1)根据。是A的真子集可得ANO得解；

(2)由A是8的子集对集合A进行讨论可求解.

【详解】(1),•若。是A的真子集

A=|x|x2+2x-a=0}*0,

/.D=4+4a?0,

aN—1；

(2)B=|x|x2+x=o|={0,-1},

**,AcrB,A=0,{0},{—1},{0,-11,

A=0f则A=4+4a<0,<7<—1；

A是单元素集合，A=4+4a=0,，a=—l止匕时

A={-1},符合题意；

A=10,-1},0-1=-1w-2不符合.

综上，a<-\.

【点睛】本题考查了集合的基本运算，分类讨论集合的包含关系求参数，属于基础题.

3.(20-21高一上.湖北武汉.阶段练习)设集合A={2,3,4+2“-3},B={|2a-l|,2).

(1)若CM={5},求实数。的值；

(2)若8gA,求实数。的取值集合.

【答案】(1)G=2；(2){1,2,A/2,-2-2A/2}.

【解析】(1)由补集的定义结合集合的性质得出满足意义的方程组进而解出。的值即可；

(2)由集合的包含关系，得出|2a-l|=3,|2a-l|="+2a—3,分别解方程求得a,验证后可得答案.

6+2a—3=5

【详解】(1)由得：,解得：。=2；

|2«-1|=3

(2)①若|2a—1|=3,解得：〃=2或a=—l,

当〃=2时，a2+2a—3=5,满足题意，

当〃二一1时，a2+2a—3=—4满足题意，

②若|2Q—1=储+2a-3,解得：〃或〃=一2-2a，

当々=应时，4={2,3,2立-1},8={20一1,2卜满足题意，

当°=-2-2&时，A={2,3,5+4应},B=(5+472,2),满足题意,

综上所述，实数。的取值集合为：{1,2,忘,-2-2忘}.

【点睛】本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系求参数，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于

常考题.

题型六集合的基本运算

例题1.(天津市河北区2023-2024学年高三总复习质量检测(二)数学试题)已知集合A={1,2,3,4},集

合2=印2斗<3},则Ac隔8)=()

A.{3,4}B.{1,4}C.{2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】B

【分析】利用集合的交集、补集运算求解即可.

【详解】由题可得：々2={x|x<2或x>3},所以Ac他8)={1,4},

故选：B

例题2.(23-24高一上.陕西西安.开学考试)已知国表示不超过x的最大整数，集合A={尤eZ[0<[x]<3},

5=卜卜2+办乂炉+2苫+6)=0},MAndRB=0,则集合8的子集个数为().

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】由新定义及集合的概念可化简集合A={L2},再由Ac(%3)=0可知分类讨论1,2的归属，

从而得到集合B的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合8的子集的个数.

【详解】由题设可知，A={xeZ|0<[x]<3}={l,2},

又因为AC(%B)=0,所以AgB,

而8={x|(无2+ax)(尤2+2x+6)=o},

因为Y+0的解为%=0或1=一。，％2+2%+/7=0的两根%],%2满足％1+%2=—2,

所以1，2分属方程X2+ax=。与％2+2%+8=0的根，

,,，—一fl2+lXd!=0心,1

右1是/+依=0的根，2是12+2%+/?=。的根，则有LcC7C，解得I7Q，

22+2x2+0=0[b=-S

代入x1+ax=0与X2+2%+》=0,解得x=0或x=l与x=2或％=-4,

故5={0,l,2,T}；

[22+2x^=0f〃=-2

若2是—+公=o的根，1是％2+2x+Z?=0的根，则有(2-17八，解得L

[r+2xl+Z?=0[b=-3

代入x2+ax=0与％2+2%+8=0,解得x=0或x=2与x=l或x=-3,

故3={0,1,2,—3}；

2

所以不管1,2如何归属方程/+分=0-^X+2X+Z>=0,集合B总是有4个兀素，

故由子集个数公式可得集合8的子集的个数为24=16.

故选：C

例题3.（2024•四川绵阳•模拟预测）集合A={-2,0,l,2},B={-2,1,3},U=则e（AnB）=（）

A.{-2}B.{0,2,3}C.{0,1,3}D.{1,2,3}

【答案】B

【分析】根据集合交并补运算规则直接计算即可.

【详解】由题U={—2,0,1,2,3},AnB={-2,1},

所以d（AcB）={0,2,3}.

故选：B.

巩固训练

1.（2024.内蒙古呼和浩特.二模）已知集合。={0』,3,5,7,9},A={1,3},B={1,7},则屯（4口3）=（）

A.{1,3,7}B.{5,9}C.{0,3,5,7,9}D.{0,5,9}

【答案】D

【分析】先求AUB,再根据补集定义即可求解结论.

【详解】集合u={0,1,3,5,7,9},A={1,3},B={1,7},

二AJ8={1,3,7},

（A|JB）={0,5,9}

故选：D.

2.（2024•天津北辰・三模）已知集合。={-2,-1,。」,2},M={-2,2},N={x|-lVx〈l,xeN},贝|&M）cN=

（）

A.{-1,0,1}B.[-1,1]C.{0,1}D.[0,1]

【答案】C

【分析】

由已知求解必M,化简集合N后再由交集运算得答案.

【详解】

♦.•集合U={—2,-1,0,1,2},M={-2,2},

A^={-1,0,1},又"=何一1"<1,无€用={0』},

；.（毛M）nN={0,l}.

故选：C.

3.（23-24高二下.江苏苏州・期末）设全集U={-3,T0,l,3},集合A={-1,0,1},B={y\y=3x,x^A\,则

AI”=()

A.{-3,0,3}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{