2024-2025学年北京市房山区良乡中学高三上学期质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市房山区良乡中学高三上学期质量检测数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知全集U=R，集合A=x∣x2−1>0，则A.−1,1 B.−1,1 C.−∞,−1 D.1,+∞2.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A,B，则z1⋅zA.−1−3i B.−3−i C.1−3i D.3+i3.若双曲线x2a2−yA.y=±2x B.y=±2x C.y=±4.已知(1−3x)5=a0A.−32 B.32 C.495 D.5855.下列函数中，在区间0,2上为减函数的是(

)A.y=2x B.y=sinx

C.6.设函数fx的定义域为R，则“∀x∈R,fx+1<fx”是“fA.充分必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知点P在圆(x−1)2+y2=1上，点A的坐标为−1,A.−3,3 B.3,5 C.1,9 D.3,78.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S，即S=14c2a2−c2+A.9 B.12 C.18 D.369.已知函数fx=2x，gx=logax.若对于fx图象上的任意一点P，在gxA.14 B.12 C.2 10.在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E为棱DC上的动点，F为线段B′E的中点.①B′E⊥AD′；②直线D′F与平面③点F到直线AB的距离不变；④点F到A,D,D′,A′四点的距离相等．其中，所有正确结论的序号为(

)A.②③ B.③④ C.①③④ D.①②④二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知sinx=−35,x∈π,3212.抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为8，则点P到x轴的距离为

．13.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=2an−a1，且a1,14.若实数∀α，β满足方程组1+2cosα=2cosβ3+215.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列an，bn分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：an+1=2an①∀n∈N②∀n∈N③∃k∈N∗，使得当n>k④∃k∈N∗，使得当n>k时，总有其中，所有正确结论的序号是

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知函数f(x)=2cos(1)求函数fx(2)设函数gx=fx−17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点．(1)求证：PB//平面ACQ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．条件①：AQ⊥PC；

条件②：AQ⊥平面PCD．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：90,100,100,110(1)求m的值；(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为X元，求X的分布列和数学期望EX(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为Y，问kk=0,1,2,…,10为何值时，PY=k的值最大？(19.已知椭圆E:x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)设过点Tt,0的直线l与椭圆E有两个不同的交点A,B(均不与点M重合)，若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值．20.已知函数fx=(1)求曲线y=fx在2,f(2)设函数gx=f′x(3)判断fx极值点的个数，并说明理由．21.已知Q:a1,a2,⋯,ak为有穷正整数数列，且a1≤a2≤⋯≤ak，集合(1)若k=10,ai=2i−1,i=1,2,⋯,k，判定(2)若1,2,⋯,n⊆T，证明：n≤(3)设ai=3i−1,i=1,2,⋯,k，若1,2,⋯,2024参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.D

8.C

9.B

10.C

11.3412.7

13.2

；214.β=0(满足β=2kπ,k∈Z或β=2π3+2kπ,k∈Z的β15.①②③

16.解：(Ⅰ)因为f(x)=2cos(x−π4)cos(x+π4)

=2cos[(x+π4)−π2]cos(x+π4)

=2sin(x+π4)cos(x+π4)

=sin17.(1)

连接BD与AC相交点E，连接EQ，因为底面ABCD为正方形，所以E为BD的中点，又Q为棱PD的中点，所以EQ为▵PBD的中位线，所以EQ//PB，又EQ⊂平面ACQ，PB⊄平面ACQ，所以PB//平面ACQ．(2)

选条件①：易知CD⊥平面PAD，AQ⊂面PAD，所以CD⊥AQ，又CD∩PC=C,CD,PC⊂平面PCD，AQ⊥PC，所以AQ⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD，所以AQ⊥PD，由于Q为棱PD的中点，所以▵PAD为等腰直角三角形，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则A0,0,0所以AC=设平面ACQ的法向量为n=则AC⋅n=0设直线PC与平面ACQ所成角为θ，则sinθ=选条件②：因为AQ⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AQ⊥PD，由于Q为棱PD的中点，所以▵PAD为等腰直角三角形，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则A0,0,0所以AC=设平面ACQ的法向量为n=则AC⋅n=0设直线PC与平面ACQ所成角为θ，则sinθ=

18.解：(1)由频率分布直方图可知

0.005+0.025+0.035+m+0.007×10=1⇒m=0.028(2)根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比0.3，

评分不低于110分的占比0.7，任选3人中其评分情况有四种：

3人均低于110分；

2人低于110分，1人不低于110分；

1人低于110分，2人不低于110分；

3人均不低于110分，所以X可取9000,8000,7000,6000四种情况，PX=9000=0.3PX=7000=3×0.3故X的分布列为：X9000800070006000P0.0270.1890.4410.343则EX(3)由题意可知PY=k可知当k=7时PY=k证明如下：设PY=k最大，即所以C化简得0.310−k≥0.7k+10.7

19.解：(1)由题意可知4a又离心率为e=即椭圆方程为：x2(2)设直线l:x=ky+t，Ax则MA=因为以线段AB为直径的圆恒过点M，所以MA⋅联立直线与椭圆x=ky+t所以Δ=4k2t由MA⋅整理得3t2−8t+4=0⇒t=2易知t=2时不符题意，所以t=2

20.解：(1)由题意知fx=x2e2−x−x+1所以直线的斜率k=f′2=−1，所以切线方程为y=−x+5，即x+y−5=0．(2)由(1)知gx=f′x=−令g′x=0，即x2−4x+2=0，解得当x∈−∞,2−2当x∈2−2当x∈2+2所以gx在−∞,2−2，2+(3)2个极值点，理由如下：由(2)知当x<2−2时，gxg(2−2)=(2所以存在唯一x1∈0,2−当2−2<x<2+2g2−2所以存在唯一x2∈2−当x>2+2时，−x2所以gx在区间2+综上，当x∈−∞,x1当x∈x1,当x∈x2,+∞所以当x=x1时，fx取到极小值；当x=故fx有2

21.解：(1)31是，1024不是，理由如下：由题意可知x1当ai=2显然若x1=−1,x而t≤2故31是k−可表数，1024不是k−可表数；(2)由题意可知若xi=0⇒t=0，即设s∈T，即∃xi∈所以−x1a1+所以若1,2,⋯,n⊆T，则±1,±2,⋯,±n,0即±1,±2,⋯±n,0中的元素个数不能超过T中的元素，对于确定的Q，T中最多有3k所以2n+1≤3(3)由题意可设∀n∈N∗,∃m∈又x1所以k>m−1，即