2024-2025学年广东省广州市高三上册10月月考数学阶段检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省广州市高三上学期10月月考数学阶段检测试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（

）A. B.C. D.4.在矩形中，，，点为的中点，点在边CD上，若，则的值为（

）A.9 B.10 C.11 D.125.已知，，，则（）A. B. C. D.6.若函数在区间上是减函数，且，，，则（）A. B.1 C. D.27.若直线是曲线与的公切线，则（

）A B. C. D.8.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（）A.1 B.32 C.2 D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知曲线，则（）A.将向右平移个单位，可以得到B.将向左平移个单位，可以得到C.与在有2个公共点D.在原点处的切线也是的切线10.设函数，则（）A.是极小值点B.C.不等式的解集为D.当时，11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（

）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积大于4三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题对一空得2分，全对得5分.）12.已知，则______.13.某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其体积为定值，则胶囊的表面积取最小值时______.14.在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积最大值．16.已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.（1）比较和的大小；（2）讨论的单调性；（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.17.如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且．（1）证明：平面；（2）当的长度最小时，求：①；②点到平面的距离．18.如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求最小值.19.定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出坐标；（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．2024-2025学年广东省广州市高三上学期10月月考数学阶段检测试题一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据条件，求出和，再根据集合运算，即可求出结果.【详解】由，得到，所以，又，所以，故，故选：D.2.设是定义在上的可导函数，则是为函数的极值点的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】根据函数极值点的定义可知为函数的极值点，必有；反之，当时，不一定为函数的极值点，比如，，满足，但在R上单调递增，即不是函数的极值点，故是为函数的极值点的必要不充分条件，故选：B3.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（

）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上递增，然后将转化为，再利用函数的单调性可得，从而可求出的取值范围.【详解】当时，，则在上单调递增，因为在处连续，且函数是定义域为R的奇函数，所以在上递增，由，得，因为是定义域为R的奇函数，所以可化为，因为在上递增，所以，解得，即的取值范围.故选：A4.在矩形中，，，点为的中点，点在边CD上，若，则的值为（

）A.9 B.10 C.11 D.12【正确答案】B【分析】取定平面的一个基底，利用给定条件，结合数量积的运算律计算即得.【详解】在矩形中，点在边CD上，令，则，由，解得，于是，由点为的中点，得，所以.故选：B5.已知，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由题意可得，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和即可得解.【详解】由题，又由是增函数可知，，∴，故选：B.6.若函数在区间上是减函数，且，，，则（）A. B.1 C. D.2【正确答案】C【分析】化简，由题意求得和，两式相减，得到，进而求得的值.【详解】由函数，因为，所以，又因为在区间上是减函数，所以，，两式相减，可得，因为，所以.故选：C.7.若直线是曲线与的公切线，则（

）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设直线与函数和的图象相切于点和，利用导数的几何意义，求得切线方程，列出方程组，结合斜率公式，即可求解.【详解】设直线与函数的图象相切于点，与的图象相切于点，因为，且，，则曲线y=fx在处的切线方程为，曲线y=gx在处的切线方程为，所以，解得，所以.故选：C.8.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（）A.1 B.32 C.2 D.【正确答案】A【分析】根据题意转化为两圆锥的体积比，进而求得相似比，得到高的关系式，解之即可得解.【详解】根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高分别为3，设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为，因为沙子体积占该沙漏容积的，即，可得，设沙子堆积成的圆台的高为，所以，解得，所以沙子堆积成的圆台的高为.故选：A.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知曲线，则（）A.将向右平移个单位，可以得到B.将向左平移个单位，可以得到C.与在有2个公共点D.在原点处的切线也是的切线【正确答案】AC【分析】根据函数图象平移的性质即可求解AB,利用正弦函数的性质即可求解C，利用导数求解切点处的斜率，即可求解D.【详解】对于A，将向右平移个单位，可以得到，故A正确，对于B，将向左平移个单位，可以得到，故B错误，对于C，令，则或，解得，由于，取，则或，故与有两个公共点，C正确，对于D，故，，则，故斜率不相等，因此，在原点处的切线不相同，故D错误，故选：AC10.设函数，则（）A.是的极小值点B.C.不等式的解集为D.当时，【正确答案】BD【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值；对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；对于D：分析可得，结合单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为定义域为R，且，当时，f'x<0；当或时，f'可知在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A错误；对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：对于不等式，因为，即为不等式的解，但，所以不等式的解集不为，故C错误；对于选项D：因为，则，且，可得，因为函数在0,1上单调递增，所以，故D正确；故选：BD.11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（

）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域的面积大于4【正确答案】ACD【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出、的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.【详解】由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为，将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A选项正确；由得或，即，所以，由对称性得，，所以，故B错误；如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、，由得，由得，所以，，所以，有图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值，即在第一象限部分满足，设，则，故，代入得，当时，取最大值，故C正确；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，所以可以先求部分面积的近似值，如图，在（）取一点，使过点的切线与直线平行，由可得切点坐标为，因为，所以点到直线的距离，所以，由图知半个花瓣的面积必大于，所以阴影区域的面积大于，故D正确.故选：ACD.思路点睛：结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题对一空得2分，全对得5分.）12.已知，则______.【正确答案】18【分析】利用诱导公式和二倍角公式，即可求解.【详解】故答案：1813.某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为，左右两端均为半球形，其半径为，若其体积为定值，则胶囊的表面积取最小值时______.【正确答案】【分析】根据体积公式得到，然后将表面积用表示为，求导，利用单调性得到结果.详解】根据题意得：，故胶囊的表面积，，令，则.当，，单调递减；当，，单调递增.则当时，取最小值.故答案为.14.在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中.则5维“立方体”的顶点个数是______；定义：在n维空间中两点与的曼哈顿距离为.在5维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______.【正确答案】①.32②.【分析】第一空由题意根据分步乘法原理，求解即可；第二空先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.【详解】（1）的可能值为0，1.故五维立方体的顶点有个.（2）依题意，样本空间的样本点记为，M，N为五维立方体的顶点样本点总数：当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同.满足的样本点个数为.所以.故分布列为：X12345P.故32；.关键点点睛：本题第二空关键在于确定当时，有k个第i维坐标值不同，有个第i维坐标值相同，再由求出概率.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.在中，角所对的边分别为．（1）若，求的值；（2）求面积的最大值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理，可得，【小问2详解】，，由余弦定理可得，，，，，当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值16.已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.（1）比较和的大小；（2）讨论的单调性；（3）若有最小值，且最小值为，求最大值.【正确答案】（1）；（2）答案见详解；（3）.【分析】（1）根据导数意义列方程即可求解；（2）求导，分和讨论导数符号即可得解；（3）利用（2）中结论表示出最小值，然后利用导数求最值即可.【小问1详解】，由题知，整理得.【小问2详解】由（1）知，，当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问3详解】由（2）知，当时，无最小值，当时，在处取得最小值，所以，记，则，当时，，当x>1时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即的最大值为.17.如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且．（1）证明：平面；（2）当的长度最小时，求：①；②点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）①；②【分析】（1）方法一，过点作，证明平面平面，从而可证明结论；方法二，延长交直线于点，连结，证明，根据线面平行的判定定理证明结论；（2）①建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而利用向量的坐标运算求出坐标，可得其模长，结合二次函数性质，即可求得答案；②利用空间距离的向量求法，即可得答案.【小问1详解】证明：（方法一）在菱形内，过点作，，连接，则，由得，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．又平面，，∴平面平面，又平面，∴平面．（方法二）延长交直线于点，连结，由，得，由得，则，而平面，平面，∴平面．【小问2详解】取的中点，连接，由题意知为等边三角形，得，同理，而平面，则平面，又平面，于是平面平面，①在平面内作，平面平面，则平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由，得，，，，由，得．从而，当时，取最小值；②此时，，，设为平面的法向量，则，令，得，故点到平面的距离为.18.如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.（1）设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；（2）设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?②若，且，求的最小值.【正确答案】（1）1，3，5，7，5，3，1（2）①1012；②2025【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果【小问1详解】因为数列bn是项数为7的“对称数列”，所以，又因为成等差数列，其公差，…所以数列bn的7项依次为1，3，5，7，5，3，【小问2详解】①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列，故，所以当时，取得最大值；②因为即，所以即，于是，因为数列是“对称数列”，所以，因为，故，解得或，所以，当，，…，构成公差为的等差数列时，满足，且，此时，所以的最小值为2025.关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列.19.定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：有两个点满足“共轭点对