2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理学案含解析北师大版选修2-3

PAGE第一章计数原理本章学问要览本章的主要内容有分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合、简洁计数问题、二项式定理．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决许多实际问题供应了思想和工具．一般地，对于一个困难的计数问题，可以分类或分步将它分解为若干个简洁计数问题，解决这些简洁问题，再将它们整合起来就得到问题的答案，这是本章常常运用的方法．排列、组合是两类特别而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理，教材通过详细的实例概括出排列、组合的概念，应用分步乘法计数原理得出排列数公式，应用分步乘法计数原理和排列数公式推出组合数公式．最终运用组合数引出了二项式定理，同时通过探讨二项式系数的性质深化对组合数的相识．本章的重点是两个计数原理，排列、组合的意义及排列数、组合数的计算公式，二项式定理．本章的主要难点是正确运用两个计数原理以及排列、组合的概念分析和解决问题．计数原理是中学数学相对独立的内容，不论是内容还是思维方法，与其他章节都有很大的不同，因此细致理解、体会这部分内容，驾驭常用的思维方法和解题技巧，是学好这部分的关键.1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是计数问题的两个基本原理，它体现了解决问题时将其分解的两种常用方法：把问题分类解决或分步解决．怎样确定完成一件事情是分类还是分步？分类表现为其中任何一类均可独立完成所给事情，而分步必需把各步骤均完成才能完成所给事情，所以精确理解两个原理的关键在于：明确分类计数原理强调完成一件事情的几类方法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类方法中的哪一种方法都能单独完成所给事情；而分步计数原理强调各步骤缺一不行，须要依次完成全部步骤才能完成所给事情，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步实行什么方法．2．排列与组合是两类特别的计数问题，它还有一些较为独特的思索方法，应理解驾驭．关于排列组合问题，有时还用到以下两种方法：(1)间接法：把不合条件的排列数或组合数剔除掉．(2)穷举法：把符合条件的全部排列或组合一一列举出来．3．二项式定理是组合思想方法的详细应用，要体会理解这肯定理的含义，驾驭绽开式的通项公式及二项式系数的性质．§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理学问点一分类加法计数原理[填一填]完成一件事，可以有n类方法，在第一类方法中有m1种方法，在其次类方法中有m2种方法，……，在第n类方法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)[答一答]1．应用分类加法计数原理的关键是什么？提示：应用分类加法计数原理的关键是看每一类方法中的每种方法是否独立地完成了这件事．学问点二分步乘法计数原理[填一填]完成一件事须要经过n个步骤，缺一不行，做第一步有m1种方法，做其次步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．(也称乘法原理)[答一答]2．应用分步乘法计数原理的关键是什么？提示：应用分步乘法计数原理的关键是看每一步中的每种方法并不能完成这件事，只有每一步都完成了，才完成这件事．1．怎样区分和理解两个基本原理？(1)分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事务分解成若干个事务来完成；不同点是分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关．(2)必需搞清晰两个原理的条件和结论．假如完成一件事情有若干类方案，无论哪一类方案中的哪一种方法都能独立完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理．假如完成一件事情须要分成若干个步骤，各个步骤都是不行缺少的，须要依次完成全部步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步乘法计数原理．(3)在解决详细问题时，首先必需弄清晰是“分类”还是“分步”，接着还要搞清晰“分类”或者“分步”的详细标准是什么，简洁地说：“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时还要留意分类、分步不能重复、不能遗漏．(4)分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合问题的最基本的原理，同时也是推导排列数、组合数公式的理论依据，还是求解排列、组合问题的基本思想方法．2．如何理解“分类”与“分步”？(1)分类：“完成一件事，可以有几类方法”，这是对完成这件事的全部方法的一个分类．分类时，首先要依据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要留意满意两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必需属于某一类；②分属于不同类的方法是不同的方法．(2)分步：“完成一件事，须要经过n个步骤”，这是说完成一件事的任何一种方法都要分成几个步骤．分步时，首先依据问题的特点确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满意完成这件事必需并且只需连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成．3．在运用两个计数原理时，怎样才能有效地防止“重复”和“遗漏”的发生？(1)画“树形图”：当问题比较简洁时，通过画“树形图”可以把全部的状况“不重不漏”地列举出来．(2)分类标准要统一：利用分类加法计数原理进行分类时，肯定要以同一个标准进行分类．(3)依次排序法：利用分步乘法计数原理时，把数字或字母分先后，先排前面的数字或字母，再依次排后面的数字或字母，将最终的数字或字母排完则结束．题型一用分类加法计数原理解决问题[例1]书架的第一层放有4本不同的计算机书，其次层放有3本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书．从书架上任取1本书有多少种不同的取法？[思路探究]从书架上任取1本书，可以分别从第一、二、三层取，不管是从哪一层取都可以完成这件事，故可用分类加法计数原理进行计算．[解]把取1本书分成三类计数：第一类：从书架的第一层取出1本书，有4种取法．其次类：从书架的其次层取出1本书，有3种取法．第三类：从书架的第三层取出1本书，有2种取法．依据加法原理，共有4＋3＋2＝9种取法．故从书架上任取1本书有9种不同的取法．规律方法用分类加法计数原理解决计数问题，应先推断该问题是否满意分类加法计数原理的条件，即每一种方法是否能单独完成这件事情．若满意，则再确定适当的分类标准进行分类，最终采纳分类加法计数原理求方法总数．(1)上海世博会期间，一志愿者带一客人去预订房间，宾馆有上等房10间，中等房20间，一般房25间，则客人选一间房的选法有(C)A．500种 B．5000种C．55种 D．10种(2)满意a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(B)A．14 B．13C．12 D．10解析：(1)选法为10＋20＋25＝55种．(2)因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或0或1或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．依据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.题型二用分步乘法计数原理解决问题[例2](1)4名同学选报跑步、跳高、跳远3个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？[思路探究](1)因为是4名同学选报项目，所以应以人作为分步的依据；(2)因为是给三项冠军找人，所以应以项目为分步的依据．[解](1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在3个项目中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81种报名方法．(2)要完成的是“3个项目冠军的获得”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的状况，于是共有4×4×4＝64种可能的状况．规律方法在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成一件事，各步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步实行什么方法．运用分步乘法计数原理，要确定好次序．(1)现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，假如一条长裤与一件上衣配成一套，则不同配法的种数为(B)A．7 B．12C．64 D．81(2)将3封信投到4个邮筒，全部投法有(C)A．24种 B．4种C．64种 D．81种解析：(1)要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第一步：选上衣，从4件中任选一件，有4种不同选法；其次步：选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．(2)分三步完成投信这件事．第一步投第1封信有4种方法，其次步投第2封信有4种方法，第三步投第3封信有4种方法，故共有N＝4×4×4＝64种方法．题型三两个计数原理的综合应用[例3]用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？[思路探究]因为组成的四位数是偶数，且个位数字的选择对其他位的数字有影响，所以应分成三类：个位数字为0,2或4，然后对四位数的其他数位分步进行选择．[解]完成这件事可分为三类：第一类是个位数字为0的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步：选取千位上的数字，从2,3,4,5中选择，有4种选法．其次步：选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，有4个数字可供选择，有4种选法．第三步：选取十位上的数字，从剩余的3个数字中选择，有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数为4×4×3＝48.其次类是个位数字为2的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步：选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法．其次步：选取百位上的数字，在去掉已经确定的2个数字之外，还有4个数字可供选择，有4种选法．第三步：选取十位上的数字，从剩余的3个数字中选择，有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数为3×4×3＝36.第三类是个位数字为4的比2000大的四位偶数，其方法步骤同其次类，个数为36.由分类加法计数原理知，所求无重复数字且比2000大的四位偶数共有48＋36＋36＝120个．规律方法利用两个原理在计数问题中解题的思路处理详细问题时，首先要弄清是分类还是分步，简洁地说是“分类互斥、分步互依”，因此在解题时，要弄清题目的条件与结论，按元素的性质进行分类，按事务发生的过程进行分步．还要留意分类时，要做到分类明确，层次清晰，不重不漏；分步时，要合理设计步骤、依次，使各步相互独立．对于一些较困难的题目，往往既要分类又要分步，也就是说既要应用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理．综合运用两个原理解题的原则是分类、分步明确，方法简便．从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满意下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．解析：(1)三位数有三个数位：百位，十位，个位，故可分三步完成：第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；其次步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步：排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满意要求的三位数．(2)分三步完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；其次步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．

[例4]如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．[思路探究]本题可以先分类，由A，C是否种相同的花分为两类，也可以先分步，在考虑C时再分类．[解]法一：分为两类：第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×1×3＝36种；其次类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48种．共有36＋48＝84种．法二：分为四步：第一步：考虑A，有4种；其次步：考虑B，有3种；第三步：考虑C，有两类：一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种．共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．规律方法综合应用两个原理时，肯定要把握好分类与分步．分类是依据完成方法的不同类别，分步是依据一种方法进程的不同步骤．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D4个区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则有多少种不同的涂色方法？解：方法一：第一步，先对区域A涂色，有6种涂色方法．其次步，区域B的涂色方法有5种．第三步，区域C的涂色方法有4种．第四步，给区域D涂色，需分两种状况：(1)若区域D，A同色，则有1种方法；(2)若区域D，A不同色，则有3种方法．所以给区域D涂色的方法有(1＋3)种．依据分步乘法计数原理，不同的涂色方法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．方法二：第一类，用4种颜色进行涂色，从区域A起先进行涂色，区域A，B，C，D的涂色方法分别有6,5,4,3种，依据分步乘法计数原理，可得当用4种颜色进行涂色时，有6×5×4×3＝360种涂色方法．其次类，用3种颜色进行涂色，则区域A与区域D所涂颜色必定相同，从区域A起先进行涂色，区域A，B，C的涂色方法分别有6,5,4种，依据分步乘法计数原理可得当用3种颜色进行涂色时，有6×5×4＝120种涂色方法．依据分类加法计数原理，可得总共有360＋120＝480种涂色方法．——误区警示系列——对题意理解不到位致误[例5]植树节那一天，四位同学植树，现有三棵不同的树，则不同的植法有多少种？[错解]3×3×3×3＝34.[错解分析]搞错了事务的主体，这里完成的事务是把三棵不同的树植完，是对树分步，而不是对人分步．[正解]完成这件事分三步，即第一步植第一棵树，共4种不同的方法；其次步植其次棵树，共4种不同的方法；第三步植第三棵树，共4种不同的方法．由分步乘法计数原理得不同的植法为4×4×4＝43种．有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，依次不同也表示不同的信号，共可以组成39种不同的信号．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9(种)不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27(种)不同的信号．依据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39(种)不同的信号．1．某人的旅行路途是“北京→青岛→香港”，从北京到青岛可乘坐汽车、火车、飞机3种交通工具，从青岛到香港可乘坐汽车、火车、飞机、轮船4种交通工具，则此人可选择的旅行方式共有(D)A．3种B．4种C．7种D．12种解析：要完成按“北京→青岛→香港”的路途去旅游这件事，须要分2步：第一步：从北京到青岛，有3种方法．其次步：从青岛到香港，有4种方法．依据乘法原理，此人可选择的旅行方式共有3×4＝12种．2．把10个苹果分成3份，要求每份至少1个，至多5个，则不同的分法种数共有(C)A．5种B．6种C．4种D．3种解析：由于分成3份，每份至少1