2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 双切线问题的探究（七大题型）（学生版+解析）

重难点突破12双切线问题的探究

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定值问题...............................................................2

题型二：斜率问题...............................................................3

题型三：交点弦过定点问题.......................................................4

题型四：交点弦定值问题.........................................................5

题型五：交点弦最值问题.........................................................7

题型六：交点弦范围问题.........................................................8

题型七：“筷子夹汤圆”问题......................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.

解题思路：

①根据曲线外一■点P(x0,%)设出切线方程y—y0=k(^x—XQ).

②和曲线方程联立，求出判别式△=().

③整理出关于双切线斜率匕、七的同构方程.

④写出关于左、网的韦达定理，并解题.

题型一：定值问题

【典例1-1】已知直线，=履+1(左#0)与抛物线G：v=4y交于N两点.7是线段的中点，点A

在直线y=-l上，且AT垂直于X轴.

⑴求证：AT的中点在G上；

(2)设点3在抛物线Q：y=-x2-l1.,BP,8。是G的两条切线，P,。是切点.若AB〃MN,且A,3

位于V轴两侧，求证：\1M\\7N\=\TP\\TQ\.

22

【典例1-2】(2024.安徽•模拟预测)已知椭圆C:1+2=l(a>b>0)的一条准线/的方程为x=4,点

ab

分别为椭圆C的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2.

(1)求C的标准方程；

(2)过/上任一点作C的两条切线，切点分别为Q,R,当四边形AQ8R的面积最大时，求/AQB的正切值.

r221

【变式1-1](2024.云南.模拟预测)已知椭圆。:三+斗v=l(〃>b>0)的离心率为7,上、下顶点与其中一

ab2

个焦点围成的三角形面积为G，过点P(T,-3)作椭圆C的两条切线，切点为A8.

⑴求椭圆。的方程；

(2)求A3所在直线的方程；

(3)过点尸作直线/交椭圆C于两点，交直线于点Q,求岗+居的值.

题型二：斜率问题

【典例2-1】如图，点为抛物线炉=22丁外任意一点，过点尸作抛物线两条切线分别切于A、B

两点，AB的中点为Q,直线尸。交抛物线于点

(1)证明：%=%，%=-〃，(加为直线A3在轴上的截距)，且直线A3方程为⑼)=P(y+%)；

⑵设点/处的切线/,求证〃/.

【典例2-2】已知尸是抛物线C:/=4x的准线上任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线PAPB,切点

分别为A3.

(1)若点P纵坐标为0,求此时抛物线C的切线方程；

(2)设直线PAP3的斜率分别为配《，求证：《-心为定值.

【变式2-1］（2024.高三・浙江•期中）已知双曲线E：与-1=1（«>0,6>0）过点。（3,2）,且离心率为

ab

22

2,F2,4为双曲线E的上、下焦点，双曲线E在点。处的切线/与圆F?：x+（j；-c）=10（c二好市）

交于A,8两点.

⑴求的面积;

（2）点P为圆耳上一动点，过P能作双曲线E的两条切线，设切点分别为M,N,记直线M耳和NK的斜率

分别为L，k2,求证：4隹为定值.

【变式2-2］在平面直角坐标系xOy中，点M（x,y）到点*1,0）与到直线x=5的距离之比为手，记点〃

的轨迹为曲线C.

⑴求曲线。的方程；

（2）若点尸是圆/+产=5上的一点（不在坐标轴上），过点尸作曲线C的两条切线，切点分别为A3,记

直线PAPB的斜率分别为。右，且匕=-4-履，求直线。尸的方程.

题型三：交点弦过定点问题

【典例3-1】在平面直角坐标系中，动点M到。，0）的距离等于到直线尤=一1的距离.

（1）求M的轨迹方程；

（2）尸为不在无轴上的动点，过点尸作（1）中V的轨迹的两条切线，切点为A,B；直线4B与P。垂直（O

为坐标原点），与无轴的交点为R与尸。的交点为。；

（i）求证：R是一个定点；

的最小值.

【典例3-2】(2024・湖南.三模)已知抛物线E：必=2后(？>0)的焦点为冗过B且斜率为2的直线与E交

于4B两点,|AB|=10.

⑴求E的方程；

(2)直线/:x=T,过/上一点P作E的两条切线PM,PN,切点分别为M,N.求证：直线过定点，并求

出该定点坐标.

【变式3-1】已知抛物线。：/=2刀(°>0),直线y与C交于A,3两点，S.\AB\=2p.

⑴求。的值；

(2)过点G(f+2,。作C的两条切线，切点分别为V,N,证明：直线肱V过定点；

(3)直线/过C的焦点P,与C交于P,。两点，C在P,。两点处的切线相交于点设PF=2FQ,当

ae[2,3]时，求△HPQ面积的最小值.

222

【变式3-2】已知椭圆及宁f+方V=1(。>〃>0)的长轴为双曲线Y?一3v=1的实轴，且离心率为1.

(1)求椭圆E的标准方程；

22

⑵已知椭圆会+*1(°>匕>0)在其上一点Q6,%)处的切线方程为*+竽=1.过直线X=4上任意一点

尸作椭圆E的两条切线，切点分别为4AM为椭圆的左顶点.

①证明：直线过定点；

②求.ABAf面积的最大值.

题型四：交点弦定值问题

7V3

【典例4-1】(2024・河北・三模)已知椭圆C：=l(t?>b>0)的离心率为(0,夜)是椭圆的短轴

a2b23

的一个顶点.

⑴求椭圆C的方程.

2222

⑵设圆。：X+y=a+b,过圆。上一动点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为A,B.设两切线的斜

率均存在，分别为L，治，问：占&是否为定值？若不是，说明理由；若是，求出定值.

22

【典例4-2】(2024•江苏•一模)已知椭圆C：会+方=1伍>6>0)的右焦点为“1,0),右顶点为A,直线/：

x=4与x轴交于点S.\AM\=a\AF\,

⑴求C的方程；

(2)8为/上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P,Q,

①证明：直线BP,BF,8。的斜率成等差数列；

②ON经过8,P,。三点，是否存在点8,使得，N/WQ=90。？若存在，求|8回；若不存在，请说明理

由.

【变式4-1］已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(O,c)(c>0)到直线I:x-y-2=0的距离为孚.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点P(x。，％)为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线丛，PB,其中A,B为切点、,求直线

A3的方程，并证明直线A3过定点。；

(3)过(2)中的点。的直线加交抛物线C于A,8两点，过点A,3分别作抛物线C的切线4，4,求4,

4交点M满足的轨迹方程.

【变式4-2］如图，设抛物线方程为必=2/。>0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切

线，切点分别为4B.

y

(i)求直线AB与y轴的交点坐标；

(2)若E为抛物线弧A3上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形的边MA,M3分别交于点C,

S

D,记彳=寸理，问2是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.

3△MCD

题型五：交点弦最值问题

【典例5-1】已知点/为抛物线氏炉=2分(°>0)的焦点，点M(九2)在抛物线E上，且到原点的距离为

2君.过抛物线焦点厂的直线/交抛物线于48两点，分别在点A,8处作抛物线的切线，两条切线交于尸

点.

(1)证明：点尸在一条定直线上；

(2)求R4B的面积最小值.

【典例5-2】已知抛物线C：/=2y,动圆D：(xT)2+(y+l)2=l(/eR),尸为抛物线C上一动点，过点尸

作圆。的两条切线，切点分别为AB.

⑴若f=|，求IPDMA3I的最小值；

(2)若过圆心D作抛物线C的两条切线，切点分别为

(I)求证：直线MV过定点；

(H)若线段的中点为尺，连尺。交抛物线C于点Q,记△MNQ的面积为S(f),求S")的表达式及其

最小值.

【变式5-1］（2024•山东临沂.一模）动圆C与圆C：（x+2）2+y2=50和圆。2：。-2）2+y=2都内切，记动

圆圆心C的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ar2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=O,则曲线上一点

（七,为）处的切线方程为：AxQx+B（xoy+yox）+Cyoy+D（xo+x）+E（yo+y）+F=O,试运用该性质解决以下

问题：点尸为直线x=8上一点（尸不在x轴上），过点尸作E的两条切线尸4尸3,切点分别为A3.

Ci）证明：直线AB过定点；

（ii）点A关于x轴的对称点为4,连接A7?交x轴于点/，设BCJW的面积分别为蜀,邑，求

应-S21的最大值.

题型六：交点弦范围问题

【典例6-1】设抛物线r：y2=2px（0>O）的焦点为F,Q为「上一点.已知点。的纵坐标为2形，且点。到

焦点厂的距离是:•点P为圆（x+2y+y2=l上的点，过点尸作抛物线「的两条切线尸AP3,切点分别为

AB,记两切线尸APB的斜率分别为原k2.

（1）求抛物线r的方程；

（2）若点尸的坐标为-*浮，求匕+鱼值；

\MN\

（3）设直线PAPB与y轴分别交于点M、N,求上一的取值范围.

\AB\

2

【典例6-2】如图，设抛物线C：V=4x的焦点为冗点尸是半椭圆尤2+匕=1。＜0）上的一点，过点尸作

4

抛物线C的两条切线，切点分别为4B,且直线山、P8分别交y轴于点M、N.

（1）证明：FM±PA；

（2）求的取值范围.

【变式6-1】已知椭圆C：++方=1（。＞匕＞0）的左焦点耳（-石,0）,点Q1L事J在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过圆O：£+、2=5上一动点尸作椭圆。的两条切线，切点分别记为A3,直线尸4尸3分别与圆

。相交于异于点尸的",N两点.

（i）当直线PAP3的斜率都存在时，记直线PAP8的斜率分别为小色.求证：匕&=-1；

（〃）求［黑］的取值范围.

【变式6-2］（2024•山东•校联考模拟预测）已知圆O：/+V=4,。为坐标原点，点K在圆。上运动，L为

过点K的圆的切线，以L为准线的抛物线恒过点耳卜6,0）,6（指,0）,抛物线的焦点为S,记焦点S的轨

迹为s.

⑴求S的方程;

(2)过动点P的两条直线/“4均与曲线S相切，切点分别为A3,且44的斜率之积为-1,求四边形2。3

面积的取值范围.

题型七：“筷子夹汤圆”问题

【典例7-1】(2024•广东深圳•模拟预测)在平面直角坐标系中，过直线/:工=-5上任一点对作该直线的垂

线歹(!，。)，线段FM的中垂线与直线尸M交于点尸.

(1)当/在直线/上运动时，求点P的轨迹C的方程；

⑵过尸向圆N：(x-2>+V=l引两条切线，与轨迹C的另一个交点分别AB.

①判断：直线与圆N的位置关系，并说明理由；

②求“/纯周长的最小值.

【典例7-2】(2024・河南•三模)已知椭圆弓：卷+旷2=1的左、右顶点分别为4，4,上、下顶点分别为用,生，

记四边形的内切圆为G，过G上一点T引圆Q的两条切线(切线斜率均存在且不为0),分别交G

于点尸,。(异于T).

(1)求直线7P与项的斜率之积的值；

(2)记。为坐标原点，试判断尸,。,。三点是否共线，并说明理由.

【变式7-1］在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：/=2内(p>0)的焦点到准线的距离等于椭圆

C?:/+16/=1的短轴长，点尸在抛物线加上，圆E:(X-2)2+V=产(其中0<厂<1).

⑴若，。为圆E上的动点，求线段加长度的最小值；

(2)设。(1,。是抛物线。上位于第一象限的一点，过。作圆£的两条切线，分别交抛物线G于点M,N.证明:

直线MTV经过定点.

22

【变式7-2](2024•全国.模拟预测)已知椭圆Cj：=+==1(。＞匕＞0)的长轴长为4,左、右顶点分别为

ab

a，4,上、下顶点分别为4,打，四边形444心的内切圆G的半径为半，过椭圆G上一点T引圆c?的

两条切线(切线斜率存在且不为0),分别交椭圆G于点P,Q.

⑴求椭圆G的方程；

(2)试探究直线TP与TQ的斜率之积是否为定值，并说明理由；

(3)记点。为坐标原点，求证：P,O,。三点共线.

【变式7-3】已知A,B为抛物线C：必=2px(p＞0)上的两点，△048是边长为8囱的等边三角形，其

中。为坐标原点.

⑴求C的方程.

⑵过C的焦点尸作圆M：(x-3『+(y-2)2=我(0＜夫＜1)的两条切线工几

(i)证明：4，6的斜率之积为定值.

(ii)若4，4与C分别交于点。，£和H,G,求-40]£)同—4—40j|HG|-4的最小值.

22

1.已知点A,3分别为椭圆E：与+==1(a＞6＞0)的左、右顶点，点P(0,-2),直线2尸交E于点

ab

3

Q,PQ=^QB,且」,是等腰直角三角形.

⑴求椭圆月的方程；

⑵过圆/+丫2=4上一点/（不在坐标轴上）作椭圆E的两条切线44.记OM、4、4的斜率分别为即、

k、、k2,求证：<（匕+&）=—2.

2.（2024.全国.二模）如图，过点百）的动直线/交抛物线（？:》2=2内（0>0）于4,3两点.

（1）若。。，4民。4，。3,求C的方程;

（2）当直线/变动时，若/不过坐标原点O,过点A8分别作（1）中C的切线，且两条切线相交于点V,

问：是否存在唯一的直线/,使得ZAMD=ZBMD?并说明理由.

3.已知抛物线E：­=2y,焦点为尸，过尸作》轴的垂线4，点P在X轴下方，过点P作抛物线E的两

条切线4，4，4，6分别交X轴于A,3两点，4，6分别交％于C,。两点.

（1）若《，/?与抛物线E相切于C,。两点，求点尸的坐标；

（2）证明：的外接圆过定点；

（3）求△尸CD面积S的最小值.

22

4已知椭圆「：争》1（。自"的左、右焦点分别为22'上顶点为3，”是椭圆「在第一象限上的

点，满足耳8=3玛

(1)求椭圆「的方程；

(2)过直线/:x=2上的一点Q,作椭圆「的两条切线QD,QE,切点分别为证明：QFQDE.

5.已知圆0：/+;/=1,直线/:x+O-3)y-加=0(meR).

(1)若直线/与圆。相切，求相的值；

(2)当根=4时，已知产为直线/上的动点，过尸作圆O的两条切线，切点分别为A,B,当切线长最短时,

求弦48所在直线的方程.

6.(2024・湖南•一模)已知双曲线C:1-二=1(6>。>1)的渐近线方程为丫=±缶，C的半焦距为c,且

ab

/+/+4=4。2.

(1)求C的标准方程.

(2)若尸为C上的一点，且尸为圆V+y2=4外一点，过尸作圆二+'2=4的两条切线4,4(斜率都存在)，4

与C交于另一点M,4与C交于另一点N,证明：

(i)44的斜率之积为定值；

(ii)存在定点A,使得M,N关于点A对称.

22.

7.左、右焦点分别为耳、鸟的椭圆C：a+2=l(a>b>0)经过点。(0,6),尸为椭圆上一点，一尸片鸟的

重心为G,内心为/,/G〃耳鸟.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若/为直线x-y=4上一点，过点/作椭圆C的两条切线朋A、MB,A、8为切点，问直线A3是否过定

点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

8.(2024・高三•西藏林芝•期末)已知椭圆C:=+斗=1(°>0,〃>0),直线/：x-7Iy+后=0经过椭圆的左

ab

顶点和上顶点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/上是否存在一点尸，过点尸作椭圆C的两条切线分别切于点A与点3,点尸在以A3为直径的圆

上，若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

9.(2024•甘肃兰州.一模)已知圆C过点尸(4,1),加(2,3)和N(2,-l),且圆C与y轴交于点尸，点?是抛

物线氏炉=2处(p>0)的焦点.

(1)求圆C和抛物线E的方程；

(2)过点尸作直线/与抛物线交于不同的两点A,B,过点A,3分别作抛物线E的切线，两条切线交于点

Q,试判断直线。”与圆c的另一个交点。是否为定点，如果是，求出。点的坐标；如果不是，说明理由.

10.已知椭圆C:]+，=l(a>b>0)的离心率为e=1,椭圆上的点尸与两个焦点片、工构成的三角形

的最大面积为1.

⑴求椭圆。的方程；

(2)若点。为直线x+y-2=0上的任意一点，过点。作椭圆。的两条切线QE(切点分别为D、E),试

证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标.

221

11.已知椭圆cr：0+当=1(。>6>0)的离心率为：，依次连接四个顶点得到的图形的面积为40.

ab2

⑴求椭圆C的方程；

(2)过直线x=4上一点尸作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N,求证：直线过定点.

(3)若点尸在(1)中的椭圆C上，且过点尸可作圆O的两条切线，切点分别为V、N,求弦长MV的取值

范围.

16.已知(DC(x+8)2+y2=i6(C为圆心)内部一点A(6,0)与圆周上动点。连线的中垂线交C0

于M,

(1)求点M的轨迹方程；

⑵若点M的轨迹为曲线X,设尸为圆/+产=5上任意一点，过尸作曲线X的两条切线，切点分别为A3,

判断姑.尸8是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.

17.(2024•内蒙古呼和浩特.一模)已知抛物线C:X2=2Q5>0)上任意一点火满足盟的最小值为1(尸

为焦点).

(1)求C的方程；

.、211

(2)过点的直线经过尸点且与物线交于两点，求证：西=阿+西；

(3)过尸作一条倾斜角为60°的直线交抛物线于A1两点，过A*分别作抛物线的切线.两条切线交于。点，过

。任意作一条直线交抛物线于E、H,交直线AB于点G,则|。@、|。目』。”|满足什么关系？并证明.

22

18.(2024・全国•模拟预测)已知椭圆E:左+券=1(。>6>0)的左、右焦点分别为月、F2,O为坐标原点,

在椭圆E上仅存在6个点M(i=l,2,3,4,5,6),使得△加①耳为直角三角形，且△M/；入面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知点P是椭圆E上一动点，且点尸在，轴的左侧，过点尸作V=4x的两条切线，切点分别为A、B.

5S

求AOF2A+^OF2B的取值范围.

19.已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y=3x对称，与x轴相切，被直线N=x截得的弦长为

2百.若点P在直线x+y+l=O上运动，过点尸作圆C的两条切线切点分别为A,B点、.

(1)求四边形A4cB面积的最小值：

(2)求直线A3过定点的坐标.

重难点突破12双切线问题的探究

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定值问题...............................................................2

题型二：斜率问题...............................................................3

题型三：交点弦过定点问题.......................................................4

题型四：交点弦定值问题.........................................................5

题型五：交点弦最值问题.........................................................7

题型六：交点弦范围问题.........................................................8

题型七：“筷子夹汤圆”问题......................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.

解题思路：

①根据曲线外一点尸（不，%）设出切线方程y-%=左（X-/）-

②和曲线方程联立，求出判别式△=（）.

③整理出关于双切线斜率勺、内的同构方程.

④写出关于左、心的韦达定理，并解题.

题型一：定值问题

【典例1-1】已知直线,=履+1（左/0）与抛物线G：V=4y交于M,N两点.T是线段的中点，点

A在直线y=T上，且AT垂直于X轴.

（1）求证：AT的中点在G上；

（2）设点2在抛物线Cz：y=-x2-l±.,BP,BQ是G的两条切线，P，。是切点.若AB〃MN,且

位于y轴两侧，求证：研|TQ|.

【解析】⑴设“（外,%）小（%2，%），

[V—_|_]

联立2—，消去，得/一4五一4=0，

[d=44y

贝。石+9=4k,x1x2=-4,

所以M+%=Mw+尤4）+2=4左2+2,%%==1

°：1）6）

所以7（2左,2^+1）,则4（2%,-1）,

所以AT的中点坐标为（2左,太），满足d=4y,

故AT的中点在G上；

（2）由（1）得4（2左,一1）,设直线A3的方程为y+l=々（X—2左），即片乙一242一1,

[y=kx—2k2—1

联立.2,，消去丁得尤2+履一2左2=0,解得x=-2后或;V=3

[y=-x--i

又AB位于y轴两侧，故可-2人,-4公-1）,

设点（X。,%）在抛物线G上，又对于G：尤2=4y有y=所以y'=；x

则a在点（%,%）处的切线方程为丫-%=，%（》-尤0）,

整理得尤oX-2y-2%=O,设尸（尤3,%），Q（尤4，%），

则G在尸（左3，%）与。54，为）处的切线方程分别为空-2匕2%=。与3-2丫-2%=0,又两条切线都过点

B,

22

贝1|吃（_2左）一2（—4左2_]）_2%=0,%4（-^）-2（-4^-1）-2y4=0,

贝U直线PQ的方程为（一2公尤-2（—442-1）-2^=0,即日+y-4产一1=0,

又T（2匕2府+1）,则点T在直线PQ上.

由（1）知17Mli力V|=：|脑V「，而IMV|=Jl+/Ja+w）2-=4（E+1）,

ljli]|7M||77V|=4（^+l）2.

22

而|7P|[7。|=-7P•7。=一（£-2k,y3-2fc-l）.（x4-2k,y4-2fc-l）

=-（巧-2人）（z-2左）-（%-2左2-1）（、4-2左"-1）

——（%—2%）（%—2k）—（2k~_履3）（2左2_履4）

=_（1+左2）七七+2人（1+严）（迅+七）一4左20+左2）

——（左2+1）[%3%4—2%（%3+%4）+4左之].

联立上+厂“T=°,消去y得d+4区-16左2.4=0,

[x=4y

2

贝ljx3+x4=-4k,x3x4=-16k-4,

贝ij|研|&|=-（F+1）[—16左2-4-2k-（^k）+4k2]=4（k2+1）2.

所以17Mlim=|闭

22

【典例1-2】（2024・安徽・模拟预测）已知椭圆C:=+2=l（a>b>0）的一条准线/的方程为x=4,点A,8

ab

分别为椭圆C的左、右顶点，长轴长与焦距之差为2.

（1）求（7的标准方程；

（2）过/上任一点作C的两条切线，切点分别为。，尺，当四边形AQ5R的面积最大时，求NAQ8的正切值.

’2

——=4,[a=2,—

【解析】（1）由题意得，c解得।所以人二百，

lc=l,

2a—2c=2,i

22

所以C的标准方程为土+匕=1.

43

（2）如图，取/上任意一点M（4j），设。（石,乂）,尺（々，%），

当。位于点A,8处时，切线与无轴垂直，不合题意，故不*±2.

设切线MQ的方程为y—必=%（工一为）①，

联立‘43'

y-yx=k{x-x^,

整理得（3+4左2）尤z+84（%—何）尤+4（%一12=0,

由A=0,得（其-4）左--2x1y[上+y；-3=0.

因为。（小乂）在C上，所以3元;+4犬=12,

11fl[-2±乂±2j3x；+4y；—12一不乂_3%

故2（^-4）一一一一石

代入①式，整理得F乎=1,同理得切线领的方程为学+予“

因为两条切线都经过〃（4,。，所以宁+1=1,与+磬=1，

所以直线QR的方程为x+：y=l.

22

%y1

—+—=1,

联立43整理得葭+4尸2"-9=0,

x+§y=l,

所以乂+%=7筌,％%=一7为②・显然X与上异号•

A°BR

由题意知A（-2,0）,3（2,0）,所以S四边形=SABP+S八欧=］X4（M+昆|）=2回-•

设S=2|y「，则底=小-%『=4（y；+£一2%%）=4［（%+%）2-4%%］，

36产108576(/+9)_576

将②式代入并整理，得力=4(人可+不^

(产+9+3『/+9+3+6

因为r20,所以易知》=r+9+*在［0,+8）上单调递增，所以当，=0时，y有最小值，即晓有最大值,

为36.所以当/=。时，四边形AQ8R的面积最大，最大面积为6.

此时直线0R的方程为x=l,故直线QR与x轴垂直.

设A3与QR的交点为尸，显然P是椭圆的右焦点，

3

所以|o司=忸司=1梗同=5，|A刊=3,

AFBF2

所以tanZA。/=灰=2,tan/BQF=谈=］,

2+

tanZAQF+tanZBgF3

所以tanZAQB=tan(ZAQF+ZBQF)

1-tanZAQF•tanZBQF*

2

rv2J

【变式1-1］（2024・云南•模拟预测）已知椭圆C:\+与=1（。＞人＞0）的离心率为；，上、下顶点与其中一

ab2

个焦点围成的三角形面积为拓，过点P（T-3）作椭圆C的两条切线，切点为A,B.

⑴求椭圆C的方程；

（2）求A3所在直线的方程；

\PQ\PQ

（3）过点P作直线/交椭圆C于M,N两点，交直线于点Q,求扁+病的值.

c1①

---

【解析】（1）由题意可知:a2

又3磔.°=6,所以6c=豆②，

222

由①②及a=b+cJ所以。=2,Z?=也,

22

所以椭圆。的方程为：—+^=1.

43

22

（2）先证：过椭圆?+（_=1上一点40】,乃）的切线方程为芋+券=1,

证明如下：当过椭圆上一点4（%,%）的切线斜率存在时，

设切线方程为>=区+根，

£+匚1

则,43可得：（4V+3）x2+8femx+4m2—12=0,

y=kx+m

因为直线与椭圆相切，所以A=（8初I）?-4（必2+3）（4/-12）=0,

化简可得：4/—“+3=0,

-Skm±JK-4k

所以玉=2（4左2+3）代入,=丘+"可得：

%=K+〃i・巴+僧=生,

mm

,mx.%%3_3%

于是左r

44%4M

故切线方程为：y-yi=~~—（x-xi）,即4y,y—4y；=—3玉彳+3年,

又3才+4y；=12,故切线上4的方程为：寸+?=1,

当过椭圆上一点401，%）的切线斜率不存在时，切线方程为x=±2,满足题意.

22

所以过椭圆土+匕=1上一点2（X1，%）的切线方程为个+差=1,

4343

故切线总的方程为：寸+号=1,

同理：切线PB的方程为：/+号=1,又因为过点P（T,-3）,

所以Z±2+C=l,f+3A=I,

4343

所以：xl+yl=-l,x2+y2=-1,故直线A3的方程为尤+y+l=0.

（3）由题意可知直线/的斜率存在，且左>0,设直线/的方程为：y=Mx+4）-3,

22

联立椭圆C的方程土+工=1,

43

2

得(3+4左2)尤2+(3242-244)x+64k-96左+24=0,

令MWM,N®,%)，

由z32k2-24k64产一96%+24

所以无3+羽=-------5—，尤3•无4=---------------3---------

343+4廿343+4左2

,=(+4)-3=2-4k

令Q（%,%）,解方程组

x+y+l=O,°k+1

pp

\Q\!Q；_%+41%+4.(%+4)(尤3+z+8)

\PM\PN-X3+4X4+4~(X3+4)(X4+4)

_("Q(W8)£(24"32二+32左2+24)

一%3,％4+4(七+X4)+16-64左2—96左+24+4(24左一32左2)+16(3+4左2)

IpdPQ

=

所以1------r-!--------2

\PPM\PN

题型二：斜率问题

【典例2-1】如图，点尸（九0，%）为抛物线f=2py外任意一点，过点P作抛物线两条切线分别切于AB

两点，A3的中点为Q,直线尸。交抛物线于点

（1）证明：％（加为直线A3在轴上的截距），且直线A8方程为XTo=p（y+%）；

（2）设点M处的切线/,求证〃/.

【解析】（1）•.•点A&,%）、3（程％）在抛物线上,

•••X；=2p*,x；=2p%,

丫22xX

由V=2py,得y=j,所以了=丁=一；

2P2Pp

所以在点A（&X）、3（%，%）的切线方程为，

町=?（、+%）◎

»2=。（>+必），②

②-①得：x（%2—西）=p（%-yj,即尤（马一无J=P

将点>弋入切线方程得：%；*1I=。（%+乂）=为X2=2。%,

令A5方程为了=履+根，代入f=2py得：x2-2pkx-2pm=0,

由A=4〃2左2+8p根>0,得pk2+2m>0,

xrx2=-2pm-2py0,x[+x2=2pk,

根=f,

•・・直线AB过定点（0,-%）,

故AB方程为>=工彳+（-%）=xx0=p（y+%）；

P

（2）由（1）矢口%+4=2。左，所以叫,=pk=左=血，

2p

因为点坐标为|天,

2Pp

故AB〃/.

【典例2-2】已知P是抛物线C:y2=4尤的准线上任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线PAP8,切点

分别为AI.

（1）若点P纵坐标为0,求此时抛物线C的切线方程；

（2）设直线PAP8的斜率分别为人,与，求证：匕•自为定值.

【解析】（1）

由抛物线C的方程为9=4无，则其准线方程为尸一1

由于点P的纵坐标为0,所以点P为过P作抛物线C的切线，由题意知斜率存在且不为0,设其

斜率为k则切线方程为y=以x+l）

f2=4r

联立<vky2-4y+4k=0

[>=左（无+1）

由于直线与抛物线C相切，可知A=16-16〃=0,即后=±1

止匕时抛物线C的两条切线方程分另IJ为x-y+l=。和x+y+l=0.

点P在抛物线C的准线上，设P（-l,m）

由题意知过点P作抛物线C的切线，斜率存在且不为0,

设其斜率为k则切线方程为y=%（尤+1）+m

1丫？=4%

联立｛n旷-4y+4（加+左）=0

[>=左（尤+1）+加

由于直线与抛物线C相切,可知A=16-l6Mm+左）=0,gpk2+mk-l=0

而抛物线C的两条切线PA,PB的斜率k[&,即为方程k2+mk-l=O的两根

故％?幻-1.

22

【变式2-1]（2024.高三.浙江.期中）已知双曲线E：与-1=1（。>0,6>0）过点。（3,2）,且离心率

ab

22

为2,F2,K为双曲线E的上、下焦点，双曲线E在点。处的切线/与圆工：%+（y-c）=10

（c=^[7而）交于A,8两点.

⑴求,月48的面积；

（2）点尸为圆尸2上一动点，过P能作双曲线E的两条切线，设切点分别为M,,记直线〃片和的斜

率分别为《，h，求证：上色为定值.

【解析】（1）

L2=i

7后一|/二12

•.•<£=2,.•.</=3,y2--=1

a3

c2=a2+b2〔c=2

设过曲线上一点的切线的方程为：y=kx+t,

由，二3-11可得（3公-1卜2+6依+3/-3=0,

y=kx+t

则A=（6^）2-4（3丫-1）（3产-3）=0,即次2+产一1=0.

又因为切点为0,所以2=3/+r,所以解得gr=

则过点。的切线/的方程为：2y-尤=1.

设4（%,%），

（［2y-x=\

・力交y轴于点H。,彳，联立直线/与圆尸2的方程2/

\2）