2025年中考数学一轮复习：特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（讲义）（解析版）

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）

【命题趋势】

特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，

预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）

定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活

运用。在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。

【知识清单】

1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）

1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。

2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一三。

3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等;（2）三个内角都相等,且每个内角都是婚；

（3）等边三角形（边长为“）的面积：追/。

4

6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60。的笠腰三角形是等边三角形。

2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）

1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（或线段

的中垂线）。

2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）

1）勾股定理：直角三角形的两条直角边。、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+fa2=c2.

2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：。2+按42,那么这个三角形是直角三角形.

4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）

1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;（3）

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3）直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一

半，那么这个三角形是直角三角形；（3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）满足勾股定理逆定

理的三角是直角三角形。

4）直角三角形的面积公式：s=-ab=-cm（其中：c为斜边上的高，，"为斜边长）。

22

【易错点归纳】

1.等腰三角形的边有腰、底之分，角有顶角、底角之分，若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明是顶

角还是底角，需要分类讨论。

2.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解

时必须进行分类讨论，以免漏解。

【核心考点】

核心考点1.等腰（等边）三角形的性质与判定

例1:（2023・江苏宿迁•统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是

（）

A.70°B.45°C.35°D.50°

【答案】C

【分析】先判断出110°的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得.

【详解】解：.,等腰三角形有一个内角为11。°，

1QQo_i1no

团这个等腰三角形的底角是一--=35°,故选：C.

【点睛】本题考查等腰三角形定义，三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相

变式1.（2023・湖南,统考中考真题）如图，已知/ABC=50。，点。在54上，以点8为圆心，8。长为半径

画弧，交BC于点、E,连接DE,则N3DE的度数是度.

【分析】据题意可得=再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180。进行计算即可解

答.

【详解】解：根据题意可得：BD=BE,aZBDE=ZBED,

0ZABC+ZBDE+ABED=180°,ZABC=50。，回NBDE=/BED=65。.故答案为：65.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关

键.

变式2.（2023•青海西宁・统考中考真题）在一ABC中，AB=AC,ZBAC=l00。，点。在3c边上，连接

AD,若△ABD为直角三角形，则2D5的度数是.

【答案】50。或90。

【分析】由题意可求出/3=/C=40。，故可分类讨论①当/54。=90。时利②当NAD3=90。时，进而即

可求解.

1QQO_/A

【详解】解：回AB=AC,ZBAC=100°,0ZB=ZC=——-——=40°.

回△ABD为直角三角形，团可分类讨论：①当NBAD=90。时，如图1,

0ZADB=180°-/BAD—NB=50°；

②当NADB=90。时，如图2,

综上可知NADB的度数是50°或90。.故答案为：50°或90。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理.解答本题的关键是明确题意，利用等腰三

角形的性质和分类讨论的数学思想解答.

例2：（2023•辽宁营口•统考中考真题）如图，在.ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C,

。两点，分别以点C和点D为圆心，大于;CD长为半径作弧，两弧交于点P,作直线AP,交CD于点

E,若AC=5,CD=6,贝!|AE=.

【分析】利用圆的性质得出AP垂直平分CD和AD=AC=5,运用勾股定理便可解决问题.

【详解】解：根据题意可知，以点c和点。为圆心，大于;。长为半径作弧，两弧交于点P,

回AP垂直平分C。即NAED=90°,EDE=|cD=3,

又回在一?中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C,。两点，其中AC=5,回4?=AC=5,

在VADE中，AE=y/AD2-DE2=4,故答案为：4.

【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.

变式1.（2023・陕西西安•校考模拟预测）图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形.多分布在菲律宾、以及我国台

湾垦丁等区域.现有一个"钟螺"小摆件，可近似看成圆锥形，图2为其主视图，其中AB=13cm,摆件的

高度为12cm.现要在AB上选取一个位置尸安装挂钩，在该点与C之间布设导线，线路上安装微型小彩

灯，若挂钩以及导线连接处等长度损耗忽略不计，则最短线路，即CP的最小值为（）

4

图I图2

reUUUUI—

A.10cmB.cmC.—cmD.3cm

1313

【答案】B

【分析】过点A作AH，3c于点H,过点C作",居于点M,由题意可知，AB=AC=13cm,

AH=12cm,B/f=C”=qBC,由勾股定理得到Z?//=5cm,则BC=23"=10cm,由

S皿得到!10xl2=《xl3xCM,得到CM="cm,根据垂线段最短，则CP的

222213

最小值即为CM的长，即CP的最小值为1詈20cm.

【详解】解：过点A作于点H,过点C作，4?于点M,

由题意可知，AB=AC=13cm,AH=12cm,BH=CH=—BC,

2

回BH=>JAB2-AH2=V132-122=5(cm),0BC=2BH=10cm,

E1sc=-BCAH=-ABCM,gp-10x12=-xl3xCM,

As2222

1X10X12=-X13XCM,0CM=—cm,

2213

根据垂线段最短，则C尸的最小值即为CM的长，即CP的最小值为1谭20cm.故选：B

【点睛】此题考查了等腰三角形判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，熟练掌握等腰三角形的性质

是解题的关键.

变式2.(2022•江苏苏州・中考真题)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做"倍

长三角形".若等腰AABC是"倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰AB的长为.

【答案】6

【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC,然后根据三角形三边关系即可得出结果.

【详解】解：：△ABC是等腰三角形，底边BC=3.MB=AC

当AB=AC^2BC时，AABC是"倍长三角形”；

当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC,根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意;

所以当等腰AABC是"倍长三角形"，底边BC的长为3,则腰A8的长为6.故答案为6.

【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用

分类讨论思想是解题的关键.

例3：（2023•浙江杭州•统考二模）如图，分别以A、8为圆心，大于;的长度为半径作弧，交点分别为

M,N,连接交AC于点。，下列说法一定正确的是（）

A

A.△ABD是直角三角形B.△BCD是等腰三角形

C.△ABD是等腰三角形D.,ASC是等腰三角形

【答案】C

【分析】根据作图可知：点。在线段的中垂线上，进而得到9=AC>,即可得出结论.

【详解】解：由题意，得：点O在线段AB的中垂线上，

SBD=AD,回△ABO是等腰三角形；故选项C一定正确，故选C.

【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定.熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，

是解题的关键.

变式1.（2023•广东湛江•三模）如图，在AABC中，AB=7,AC=5,BC=6,/ABC和ZACB的平分线

相交于点D,过点。作3C的平行线交AB于点E,交AC于点尸.贝F的周长为（）

A.9B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义与平行线的性质可

得ZEDB=ZEBD,得出BE=ED,同理可得上=PC,进而根据三角形的周长公式，即可求解.

【详解】解：或＞是NABC的平分线，.•.NEBD=/D3C,

EF//BC:.ZEDB=ZEBD,:.BE=ED,同理可得分=FC,

A£尸的周长即为AB+AC=7+5=12.故选：C.

变式2.（2021•江苏扬州市•中考真题）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,在网

格中再找一个格点C,使得‘ABC是等暧目角三角形，满足条件的格点C的个数是（）

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①A8为等腰直角AABC底边；②AB为等腰直角AABC其

中的一条腰.

【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角AABC底边时，符合条件的C点有。个；

②AB为等腰直角AABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.故共有3个点，故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合

的思想是数学解题中很重要的解题思想.

例4：（2023・湖北荆门•统考中考真题）如图，8。是等边，1BC的中线，以。为圆心，DB的长为半径画

弧，交BC的延长线于E,连接DE.求证：CD=CE.

A

【答案】见解析

【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出/£=/2,再利用等边对等角即可.

【详解】证明：Q8D为等边ABC的中线，/I=60。=/3=30。

BD=DE,:.ZE=Z3=30°Z2+Z£,=Z1=6O°,ZE=Z2=30°/.CD=CE

【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键.

变式1.(2023•甘肃武威・统考中考真题)如图，8。是等边ABC的边AC上的高，以点。为圆心，03长

为半径作弧交BC的延长线于点E,则"EC=()

【答案】C

【分析】由等边三角形的性质求解NOBC=:/ABC=30。，再利用等腰三角形的性质可得

2

/DBE=NDEB=30°,从而可得答案.

【详解】解：回8。是等边，ABC的边AC上的高，0ZDBC=|ZABC=30°,

SDB=DE,SZDBE=ZDEB=30°,故选C

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解

本题的关键.

变式2.(2022・安徽•中考真题)已知点。是边长为6的等边AABC的中心，点P在AABC外，AABC,

△PAB,APBC,APCA的面积分别记为S0,S,,S2,S}.若豆+S?+S3=2S。，则线段OP长的最小值是

()

A.空B.也C.373D.逋

22X。2

【答案】B

【分析】根据S1+S2+S3=2S。，可得£=gs。，根据等边三角形的性质可求得AABC中AB边上的高％和

△力B中AB边上的高为的值，当P在C。的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC,过。作OEJ_BC,求得

0c=2石，则可求解.

【详解】解:如图，

A

/\

BE~

S2—sPDB+sBDC,S3—sPDA+sADC,

・・・H+S2+S3=H+(S"+%DC)+(SPDA+SADC)=§1+(Spdb+SPDA)+(SBDC+Sec)

=S]+SPAB+SABC=SI+S|+SO=2SI+So=2So，Hugs。，

设AABC中A8边上的高为九，ARAB中A8边上的高为也，

贝(JSo=1?6稔3%,Sj=|AB./z,=1?6./Z,3均，

3饱=：?3"，：,h,=2h2,;△ABC是等边三角形，

：-%=护-(}=36，用二九号百，

/.点P在平行于AB,且到AB的距离等于|6的直线上，

当点P在C。的延长线上时，OP取得最小值，过。作。ELBC于E,

CP=%+%：0是等边AABC的中心，OEX6C

：.ZOCE=30°,CE=-BC=3：.0C=20E

2

,/OE1+CE2=OC2,/•OE-+32=（2OE）2,解得0E=不,/.0C=2下,

；.0P=CP-0C=2G2后=*技故选B.

22

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是

解题的关键.

例5：（2023•内蒙古通辽•统考中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为6cm,动点尸从点A出发以

2cm/s的速度沿AB向点8匀速运动，过点尸作2A3,交边AC于点0,以PQ为边作等边三角形

PQD,使点A,。在PQ异侧，当点。落在3C边上时，点尸需移动s.

【答案】1

【分析】当点。落在BC上时，如图，取=他-心=6-2x,根据等边三角形，ABC是等边三

角形，证明—APQW.BDP,进而可得尤的值.

【详解】解：设点尸的运动时间为X（S）,由题意得AP=2x,BP=AB-AP=6-2x,

回△PQD和ABC是等边三角形，SZA=ZB=ZDPQ=60°,PQ=PD,

0ZBPD=30°,0ZPDB=9O°,0PD1BC,0.APQ^^BDP（AAS）,0BD=AP=2x,

B1BP=2BD,136-2x=4x,解得x=l.故答案为：1.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵

活运用等边三角形的性质是解题的关键.

变式1.（2024•上海普陀•统考一模）已知点尸为等边三角形ABC的重心，D为ABC一边上的中点，如果

这个等边三角形的边长为2,那么PD=.

【答案】B

3

【分析】本题主要考查了重心的概念，等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.延长

AG交于点。，根据重心的概念得到8D=DC,根据等边三角形的性质得到AD根据勾股定理

求出AD即可得到答案.

【详解】解：延长AG交BC于点。，「等边ABC,:.AD±BC,

。为，ABC一边上的中点，.•••Br）=OC=l,AD=y/AB^BD2=722-12=A/3>

点尸为等边三角形ABC的重心，，「。二」人。=走.故答案为：立.

333

变式2.（2023•浙江杭州•校联考二模）如图，ABC为等边三角形，在AC,3c边上分别任取一点P，Q,

使得AP=CQ,连接A。、8尸相交于点。，现有如下两个结论：①A产=OPAQ；②若PC=2AP,则

BO=6OP；下列判断正确的是（）

A.①对，②对B.①对，②错C.①错，②对D.①错,②错

【答案】A

【分析】根据全等三角形的性质得到乙钻尸=/6。尸3=AQ,根据相似三角形的性质得到①正确；根

据等边三角形的性质得到钻=AC,根据线段的和差得到CP=8。，过尸作P。8c交A。于。，根据相

似三角形的性质得到②正确.

【详解】解：在等边，ABC中，AB^AC,ZBAC=ZC=60°,

AB=AC

在，AB尸与4cA。中，=

AP=CQ

.ABP.CA2（SAS）,ZABP=ZCAQ,PB=AQ,

Apnp

ZAPQ=NBPA,.-.APD^,BPA,：.—=g,

PBAP

.AP2=OPPB,：.AP2=OP-AQ,故①正确；

一ABC是等边三角形，..AC=3C,AP=CQ,:.CP=BQ,

PC=2AP,：BQ=2CQ,如图，过尸作PDBC交AQ于D,

,「9s_AQC,POZS5OQ,.

CQAC3BQBO

CQ=3PD,BQ=6PD,：.BO=6OP,故②正确；故选：A.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练

掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键.

例6：（2024•福建泉州•模拟预测）如图，点。在ABC内部，ZMB逆时针旋转得到一瓦1C,请添加一个

条件：.使得VADE是等边三角形.

【答案】ZBAC=60。或NZME=60。或AD=DE或者DE=AE

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，全等

三角形的性质定理和等边三角形的判定即可得到结论.

【详解】解：D4B逆时针旋转得到.E4C,贝IDAB^EAC,:.AD=AE,

若添加条件：AD=D£或者=贝必E4D是等边三角形；

若添加条件：㈤0=60。，贝LEW是等边三角形；

若添加条件：ZBAC=60°,DAB^EAC,:.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

:.ZEAD=ZCAE+ZCAD=ZBAD+ZCAD=60°,/.E4D是等边三角形;

故答案为：的。=60。或/714£=60。或4）=。后或者上=钻.

变式L（2022•浙江嘉兴・中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上

【答案】NA=60°（答案不唯一）

【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解.

【详解】解：添加NA=60。，理由如下：

1QAO_/\

一ABC为等腰三角形，.^./B=NC=---=60°,

ABC为等边三角形，故答案为：NA=60°（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理.

变式2.（2021・广东广州•中考真题）如图，在四边形48co中，NABC=90。，点E是AC的中点，且

AC=AD

（1）尺规作图：作NG4D的平分线AF,交C。于点F,连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）在（1）所作的图中，若NBAD=45。，AZCAD=2ZBAC,证明：BEF为等边三角形.

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据基本作图一角平分线作法，作出NO。的平分线AF即可解答;

（2）根据直角三角形斜边中线性质得到BE=：AC并求出N3£C=Na4C+/4BE=30。，再根据等腰三角

形三线合一性质得出CF=O尸，从而得到EF为中位线，进而可证ZBEF=60°,从而由有一个

角是60。的等腰三角形是等边三角形得出结论.

【详解】解：（1）如图，AF平分NC4D,

（2）VZA4D=45°,且NG4D=2NBAC,AACAD=30°,ABAC=15°,

VAE=EC,ZABC=90。，BE=AE=-AC,

2

ZABE=ABAC=15。，；./BEC=ZBAC+ZABE=30°,

又平分NC4D,AC=AD,：.CF=DF,

又；AE=EC,：.EF=-AD=-AC,EF//AD,

22

NCEF=Z.CAD=30°,；.NBEF=NBEC+NCEF=60°

又；BE=EF=^AC；.一班下为等边三角形.

【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握

等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理.

例7：（2024•福建福州•校考一模）如图，尸是等边三角形ABC内的一点，且PA=6,尸3=8,PC=10.

⑴尺规作图：作出将AR4c绕点A逆时针旋转60后得到△PAB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）;

⑵求/APB的度数.

【答案】⑴见解析（2）150。

【分析】（1）以点8为圆心，PC为半径画弧，以点A为圆心，AP为半径画弧，两弧交于一点，即为点

P',连接A",3P即可；（2）根据旋转得出/R4P=60。，PA=PA=6,PB=PC=W,证明4Pz

为等边三角形，证明尸尸'为直角三角形，得出N3PP'=90。，即可求出结果.

【详解】（1）解：将△9C绕点A逆时针旋转60。后所得到的△PAB,如图所示:

0绕点A逆时针旋转60°后所得到的乙PAB,

回/R4P=60°,PA=PA=6,PB=PC=W,回_240为等边三角形,

回尸P=B4=6,ZP'PA=60o,在45Pp中，P'B~=：102=62+82=PP'2+PB2,

03Pp为直角三角形，且Nfi尸产=90°,IBZAPB=APPA+ZBPP'=60°+90°=150°.

【点睛】本题主要考查了旋转作图，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的

关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质.

变式1.（2023・江苏盐城・统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=3,将

ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点5的对应点。首次落在斜边A3上，则点A的运动路径的长

为.

【答案】马

【分析】首先证明△BCD是等边三角形，再根据弧长公式计算即可.

【详解】解：在RtAABC中，0ZACB=90°,/3=60。，BC=3,SAB=2BC=6,

由旋转的性质得CE=C4=JAB2_BC2=3出,^ACE=ZBCD=90°-ZACD,CB=CD,

El△3CD是等边三角形，0ZBCD=60°=ZACE,

El点A的运动路径的长为‘°"=粗兀.故答案为：事!兀.

180

【点睛】本题考查了旋转变换，含30。直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，

解题的关键是证明△台。□是等边三角形.

变式2.(2022・湖南怀化•中考真题)如图，在等边三角形ABC中，点/W为AB边上任意一点，延长BC至

点N,使CN=A/W,连接/WN交AC于点P,MH_LAC于点H.

⑴求证：MP=NP；(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含。的代数式表示).

【答案】⑴见详解；⑵0.5a.

【分析】(1)过点M作MQ〃CN,证明△M。尸三△NCP即可；

(2)利用等边三角形的性质推出A”=HQ,则PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ).

(1)如下图所示，过点M作/WQ〃CM

•.二ABC为等边三角形，MQ//CN,==

AC-

贝l]4M=AQ,且/A=60°,△AM。为等边三角形，贝I]MQ=AM=CN,又,：MQ〃CN,:.NQMP=/CNP,

ZMPQ=ZNPC

在△MQ尸与△NC741,<ZQMP=NCNP：.AMQP=/\NCP,贝ijMP=NP；

QM=CN

(2)；△40。为等边三角形，且MH_LAC,；.A”=”Q,

又由(1)得，AMQP=ANCP,贝I」PQ=PC,：.PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ)=0.5AC=0.5a.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键.

核心考点2.垂直平分线的性质与判定

例8：（2023・广东清远・统考二模）如图，在ABC中，ZA>Z6.

⑴请用尺规作图法，在边上求作一点E,使得E4=EB（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）在（1）的条件下，连接AE,若N3=48。，求NAEC的度数.

【答案】⑴见解析；（2）96。

【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E即可;

（2）结合（1）利用三角形的外角定义即可解决问题.

EZBAE=ZB=48°,

0ZAEC=ZB+ZBAE=480+48°=96°.

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知

识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.

变式L（2023•河北•模拟预测）在..ABC中，NA是钝角，则该三角形三边垂直平分线的交点可能在下图

中的（）

•P

oA

A.M点B.N点C.。点D.P点

【答案】A

【分析】作出其中两条边的垂直平分线即可判断.

【详解】解：回三角形三边垂直平分线交于一点，

团作出其中两条边的垂直平分线即可即可判断交点位置，如图，故选：A.

【点睛】本题考查线段的垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的作法是解决问题的关键.

变式2.（2023・广东佛山•统考二模）阅读以下尺规作图的步骤：（1）作射线3。，在射线3。上截取

BC=4cm；

（2）分别以点B、C为圆心，大于13c的长为半径作弧，两弧相交于点E、F:（3）作直线ER交3c于

2

点。；（4）在直线封上截取Q4=5cm；（5）连接Ab,AC,则可以说明AB=AC的依据是（）

A

D

A.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

B.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

C.等腰三角形的"三线合一"

D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】A

【分析】根据尺规作图的步骤可得直线所垂直平分BC,根据线段垂直平分线的性质即可得.

【详解】解：由尺规作图的步骤可知，直线斯垂直平分8C,

则钻=AC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），故选：A.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题

关键.

例9：（2023・海南•统考中考真题）如图，在中，ZC=40°,分别以点B和点C为圆心，大于13c的

长为半径画弧，两弧相交于“，N两点，作直线MN,交边AC于点D,连接8。，则-4）3的度数为

C.80°D.100°

【答案】C

【分析】由作图可得：为直线8C的垂直平分线，从而得到BD=CD,则NDBC=NC=40。，再由三

角形外角的定义与性质进行计算即可.

【详解】解：由作图可得：MN为直线BC的垂直平分线,

:.BD=CD,:.ZDBC=ZC=40°,

ZADB=ZDBC+ZC=40°+40°=80°,故选：C.

【点睛】本题考查了尺规作图一作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义

与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

变式1.（2023•四川攀枝花•统考中考真题）如图，在ABC中，NA=40。，ZC=90°,线段AB的垂直平

分线交A3于点。，交AC于点E,贝UN£BC=.

【分析】由NC=90。，ZA=40°,求得NABC=50。，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形

的两锐角互余求得.

【详解】解：VZC=90°,ZA=40°,：.ZABC=50°,

：DE是线段AB的垂直平分线，=BE,/ER4=NA=40。，

ZEBC=ZA£C-ZEBA=10°,故答案为：10。.

【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分线

性质是解题的关键.

变式2.（2023・广东・统考二模）如图，在.ABC中，分别以点A和点8为圆心，大于的长为半径作

弧，两弧相交于M、N两点，连接MN,交于点以点H为圆心，的长为半径作的弧恰好经过

点C,以点8为圆心，BC的长为半径作弧交A8于点。，连接CD,若NA=22。，则ZBDC=（）

【答案】C

【分析】连接s,根据线段垂直平分线的性质得到=推出NACB=90。，根据等腰三角形的性质

即可得到结论.

【详解】连接S,由题意得，直线MN是线段的垂直平分线，.•.44=府，

CH=AH,：.CH^-AB,:.ZACB=90°,

2

■?A22?,:.ZACH=ZA=22°,ZBCH=ZB=68°,

BC=BD,：.ZBDC=ZBCD=1（180°-68°）=56°,故选：C.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的

判定，正确的理解题意是解题的关键.

例10：（2023•浙江•统考中考真题）如图，在中，AC的垂直平分线交3C于点O,交AC于点E,

ZB=ZADB.若AB=4,则0c的长是.

【答案】4

【分析】由=可得AD=AB=4,由DE是AC的垂直平分线可得AD=DC,从而可得

DC=AB=4.

【详解】解：^ZB=ZADB,UiAD=AB=4,

团DE是AC的垂直平分线，SAD=DC,SDC=AB=4.故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的

关键.

变式1.（2023•天津•统考中考真题）如图，在一ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于［AC的长为半径

2

作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M,N两点，直线MN分别与边BCAC相交于点0,E,连

接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】D

【分析】由作图可知直线为边AC的垂直平分线，再由B£>=r）C得到AD=OC=3D=5,则可知

三点在以。为圆心BC直径的圆上，进而得到4AC=90。，由勾股定理求出AB即可.

【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，

0AD=5HDC=AD=5,B1BD=DC,S1AD=DC=BD=5,

回A,B,C三点在以。为圆心3C直径的圆上，fflZBAC=90°,

0A£=4,0AC=80AB=VSC2-AC2=6.故选：D.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握

常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论.

变式2.（2023・青海•统考中考真题）如图，在aABC中，DE是3C的垂直平分线.若A3=5,AC=8,则

△ABD的周长是.

【答案】13

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到助=CD,即可求解.

【详解】解：Z）E是5c的垂直平分线.，3r）=CD,.•.AC=AD+CD=AD+2D,

二一ABD的周长=AB+AO+BD=AB+AC=5+8=13,故答案为：13.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.

核心考点3.勾股定理与逆定理及其应用

例11：（2023,江苏无锡•统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长

短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其

高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰

好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺.

【答案】8

【分析】设门高x尺，则竿长为（x+2）尺，门的对角线长为（x+2）尺，门宽为（x-2）尺，根据勾股定理即

可求解.

【详解】解：设门高x尺，依题意，竿长为（x+2）尺，门的对角线长为（x+2）尺，门宽为X+2-4=（X-2）

尺，回（尤+2）2=V+（X-2）2,解得：x=8或x=0（舍去），故答案为：8.

【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键.

变式1.（2023•江苏南通・统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第

一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中b均小于c,

«=c=；M+g,加是大于1的奇数，贝1]6=（用含加的式子表示）.

【答案】m

【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到“，6为直角边，c为斜边，根据勾股定理即可得

到。的值.

【详解】解：由于现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,

a,匕为直角边，C为斜边，；.+万2=（万疗—5）2+匕2=（万疗+4

得至+_1+万2=+工，:.及=病，:.b=+m,

424424

小是大于1的奇数，."=〃?.故答案为：机.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚。，6为直角边，c为斜边是解题的关键.

变式2.（2023・四川广安•统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁

离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的

点5处，则蚂蚁从外壁5处到内壁A处所走的最短路程为cm.（杯壁厚度不计）

B

【答案】io

【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作8关于取的对称点"，根据两点之间线段最短可知A9

的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作3关于所的对称点作B'DLAE,交AE延长线于点D,

连接A2,

由题意得：DE=\BB=lcm,=9-4=5（cm）,二AD=AE+DE=6cm,

团底面周长为16cm,，8'£>=；xl6=8（cm）,；,AB'm{AD。+B'D°=10cm，

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁8处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10cm,故答案为：10.

【点睛】本题考查了平面展开一一最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是

解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

变式3.（2023・江苏•统考中考真题）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、

衣柜与地面均无缝隙）.在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若这台

扫地机能从角落自由进出，则图中的尤至少为（精确到个位，参考数据：百名4.58）.

图1图2

【答案】46

【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题.

【详解】解：如图过点A、8分别作墙的垂线，交于点C,则AC=(x—60)cm,5C=60-30=30cm,

在RtABC中，AC-+BC2=AB-,即(x-60『+302=AB?

回这台扫地机能从角落自由进出，国这台扫地机的直径不小于A3长，

即最小时为(x-60y+3()2=332,解得：％=3收+60(舍)，％=-3石'+60746cm,

【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键.

例12：（2022・湖南永州•中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅"赵爽弦图"，极富创新意识地给出了勾

股定理的证明.如图所示，"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，

若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE=.

【答案】3

【分析】根据题意得出A8=BC=Ci）=D4=5,EF=FG=GH=HE=1,设AF=DE=CH=BG=x,结合图形得出

AE=X-L利用勾股定理求解即可得出结果.

【详解】解：回大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

B1AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,根据题意，设AF=DE=CH=BG=x,

则在RfAAEO中，AE2+ED2^AD2,即（x-吁=5?,

解得：x=4（负值已经舍去），ax-l=3,故答案为：3.

【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用

这些知识点是解题关键.

变式1.（2023•广东东莞•校联考二模）如图，正方形A3CD的边长为4,其面积标记为航，以CO为斜边

作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,...按照此规

【答案】A

【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方

形的边长，进而找到邑与鸟之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案.

22

【详解】解：团正方形ABCD的边长为4,0S1=DC=4=16,

团一DEC是等腰直角三角形，国DE=EC,

9191

回应2+酸2=Dd，团OE=]OC=5百=8,

2

I3S2=DE=8,同理53=京2=系，邑=■，回5“=/工,

2018

4

®$2023=22022=22022X2，故选：A.

变式2.（2023•浙江温州•校考二模）在《寺庙难题》书中，有这样一道题：五个正方形ABC。，CEFG,

FHMN,GNPQ,OGST如图所示排列，其中点A、B、E、H、用共线，可得结论：正方形CEPG与ASG。

的面积相等.若正方形CEPG与ASG。的面积之和为120,则正方形。GST与正方形GNP。面积之和为

A.270B.300C.320D.350

【答案】B

【分析】如图，过G作GK八8交DC的延长线与K,交N尸的延长线与J,证明VBCE纣HEF,可得

CE2=BC2+