2025年中考数学一轮复习：实数的概念（解析版）

考点一实数

知识点整合

1.数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一

对应.

2.相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数,

则a+b=O.

3.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若。、b互为倒数，则

ab=l.

4.绝对值：数轴上表示数。的点与原点的距离，记作|吓

5.(1)按照定义分类

'正整数

整数＜零

有理数负整数

实数‘正分数'

分数有限小数或无限循环小数

负分数

‘正无理数'

无理数无限不循环小数

负无理数

(2)按照正负分类

，正整数

正有理数

正实数正分数

正无理数

实数零

,负整数

负有理数

负实数＜负分数

负无理数

注意：0既不属于正数,也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归

纳起来有四类:

(1)开方开不尽的数,如石，次等;

71

(2)有特定意义的数,如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如§+2等;

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函数，如sin60。等.

6.科学记数法：科学记数法的表示形式为0x10。的形式，其中141al<10,"为整数.当原

数绝对值大于10时，写成axio。的形式，其中14|a|<10,n等于原数的整数位数减1；

当原数绝对值小于1时，写成axlO-"的形式，其中。等于原数左边第一个非

零的数字前的所有零的个数(包括小数点前面的零).

7.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，

四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.

8.平方根：(1)算术平方根的概念：若x2=a(x>0),则正数x叫做。的算术平方根.

(2)平方根的概念：若x2=a,则x叫做a的平方根.

(3)表示：a的平方根表示为土&,。的算术平方根表示为，?.

只有非负数才有平方根,0的平方根和算术平方根都是0

(4)意义<(6尸=a(a20)

V7=H=?(a-0)

9.立方根：(1)定义：若x3=a,则x叫做a的立方根.

(2)表示：a的立方根表示为标.

(♦3、)思*义“《「=a.

(Va)3=a

10.数的乘方：求"个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幕.在a"中，a叫底

数，"叫指数.

11.实数的运算：

(1)有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交

换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

(2)运算顺序：先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面

的.

12.指数，负整数指数幕：”0,则。。=1；若g0,n为正整数，则。一"=?.

13.数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较

法、中间值比较法等等.

重点考向

考向一实数的有关概念

此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、

绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.

典例引领

1.-5的相反数为()

11

A.-B.5C.—D.—5

55

【答案】B

【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可

得.

【详解】解：-5的相反数为5,

故选：B.

2.下列各组数中，互为相反数的是()

A.f与B.卜9|与一3?C.23与3?D.-(-3)与3

【答案】B

【分析】本题考查相反数，绝对值，有理数的乘方，先计算出各组数，再根据相反数的定

义"绝对值相同，符号相反的两个数互为相反数"逐项判断即可.

【详解】解：A--7与绝对值不同，符号相同，不是互为相反数；

B,|-9|=9,-32=-9,9与-9互为相反数，即卜9|与一手互为相反数；

C,23=8,3、9,联与3?不是互为相反数；

D,-(-3)=3,-(-3)与3不是互为相反数；

故选B.

3.心的倒数是()

【答案】B

【分析】本题考查了倒数的定义，先将带分数化为假分数，再根据"乘积为1的两个数互为

倒数"，即可解答.

【详解】解：014=4，

44

14

回的倒数是3,

45

故选：B.

4.下列说法正确的是（）

A.一。一定没有平方根B.立方根等于它本身的数是0,1

C.25的平方根是±5D.T的算数平方根是2

【答案】C

【分析】根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一判断即可.

【详解】A、当aWO时，有平方根，故错误，不符合题意；

B、立方根等于它本身的数为：0,1,-1,故错误，不符合题意；

C、25的平方根是±5,正确，符合题意；

D、负数没有平方根，故错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查算术平方根，平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握算术平方根,

平方根和立方根的定义.

5.已知加、”互为相反数，p、2q互为倒数，且。为最大的负整数，则代数式

2（m+n）12n/天生

^——+~pq--------a1的vl值为____.

20213m

19

【答案】-

O

【分析】利用相反数、倒数、负整数的性质求出〃?+”,2pq,。的值，代入原式计算即可

求出值.

此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及负整数，熟练掌握各自的性质是解本

题的关键.

【详解】解：回加、”互为相反数,

团加+几=0,m--n

助、2q互为倒数，

国2Pq=1,

Sa为最大的负整数,

回a=-1,

19

故答案为：

6

6.T的相反数是,-3的倒数是—，-%的绝对值是.

【答案】4--71

3

【分析】根据相反数、倒数、绝对值的性质即可求解.

此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数、倒数、绝对值的定义.

【详解】解：T的相反数是4,-3的倒数是-g,-%的绝对值是万

故答案为：4；--；兀.

7.若。为厢的算数平方根，且I。-勿=3,则a+b=.

【答案】1或7/7或1

【分析】根据算术平方根的定义求得。=2,再跟|。-勿=|2-6|=3,即可得到b=一1或

b=5,进一步求得答案即可.

【详解】解：初为J语=4的算数平方根，

回。=V?=2，

S\a-b\=\2-b\=3,

贝!|2-6=3或2-匕=-3,

解得b=-1或6=5,

回a+6=2+(-1)=1或a+6=2+5=7,

故答案为：1或7

【点睛】此题考查了算术平方根、绝对值等知识，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关

键.

8.-8的立方是一，2的算数平方根是—,跑的平方根是.

【答案】-512也±2

【分析】根据立方、算术平方根以及平方根的定义进行求解即可.

【详解】解：因为(―8)3=(—8)x(-8)x(—8)=_512,

所以-8的立方是-512；

2的算数平方根是血；

因为灰？=4,

所以4的平方根是±2,

即跑的平方根是±2,

故答案为：-512,±2.

【点睛】本题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，如果一个数的平方等于。，这个

数就叫做。的平方根.如果一个正数尤的平方等于那么这个正数x叫做。的算术平方

根.

9.如果a,6互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值是3,y是数轴负半轴上到原点的距

离为1的数，

⑴填空：a+b=；cd=；x+y=.

(2)求代数式-+x2-cd+y2023的值.

X

【答案】(1)0,-1,2或Y

(2)7

【分析】(1)利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出。+人，cd,x与y的值；

(2)将(1)中结果代入原式计算即可得到结果.

【详解】(1)解：a,b互为相反数，c,”互为倒数，x的绝对值是3,y是数轴负半轴上

到原点的距离为1的数，

/.a+b=O,cd=l,x=?3,y-1,

\x+y=3+(-1)=2,

x+y=-3+(-1)=T,

故答案为：0,-1,2或T；

(2)解：^^-+x2-cd+y2023

X

八c-i/i\2023

=0+9-l+(-1)

=0+9-1+(-1)

=7.

【点睛】本题考查了代数式求值，绝对值，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解

本题的关键.

10.数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图，点A、8在数

轴上分别对应的数为a、b,则A、8两点间的距离表示为a-6|,根据以上知识解

题：

AB

⑴若数轴上两点A、8表示的数为x、-1.

①A、8之间的距离可用含x的式子表示为；

②若该两点之间的距离为3,那么x值为；

(2)Ix+21+1x-31的最小值为,止匕时x的取值是；

(3)已知(|x+2|+|x-3|)(|y-3|+|y+4|)=35,求2x-3y的最大值和最小值.

【答案】⑴①lx+11；②2或-4

(2)5；-2<x<3

(3)最大值18,最小值T3.

【分析】(1)①根据题意代入相应的值运算即可；

②由题意可得：卜+1|=3,进行运算即可；

(2)由绝对值的几何意义可知：当-2VxW3时，|x+2|+|x-3|有最小值，从而可求解；

(3)由题意可得：当-2VxW3,-4<y<3时，符合题意，从而可确定卜+2|+|犬一3|,

|y-3|+|y+4|的最小值，从而可求解.

本题主要考查了列代数式、数轴上两点的距离、绝对值，解决本题的关键是综合运用以上

知识.

【详解】⑴①由题意得：AB^x-(-l)Hx+H,

故答案为：Ix+1L

②由题意得：|%+1|=3,

Elx+1=±3,

解得：*=2或了=-4.

故答案为：2或T.

(2)由绝对值的几何意义可得，Ix+2|+|x-3|是数x至1」一2与3的距离之和,

团当—2VxV3时，|工+2|+|尤-3|有最小值,

取x=0代入可得：|0+2|+|0-3|=5,

故最小值为5.

故答案为：5；-2<x<3；

(3)0(|x+2|+|x-3|)(|y-3|+|j+4|)=35,

团当-2VxV3,-4W”3时，符合题意，

此时，|龙+2|+|了-3|的最小值为5,及-3|+|y+4|的最小值为7,

团当x=3,y=-4时，2x-3y的最大值为：2x3-3x(-4)=18,

当元=-2,y=3时，2x-3y的最小值为：2x(—2)—3x3=—13.

故答案为：18；-13.

11.对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去

掉，例如：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；:一;=：一:；

乙。乙。DN

观察上述式子的特征，解答下列问题：

(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果)：

①|23-47|=

②--------

―35.

(2)当a时，|。一4=

11_____1

⑶计算.++----F…+

⑸"昇232432022~2021

79

【答案】⑴①47-23；②§-二

(2)b—ci

2021

⑶

2022

【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值意义;

(1)结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；

(2)根据绝对值的意义进行化简；

(3)根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律

进行分析计算.

【详解】⑴解：®|23-47|=47-23；(2)Ij-j|=j-j；

22

故答案为：47-23,———；

35

(2)解：当时，A]=/?—〃；

故答案为：b—a；

/、.11111111

(3)角牛：1H----------1---------------------------------

2324320222021

二1---------

2022

2021

-2022,

12.已知X-2的算数平方根为2,2x+y+7的立方根是3,求f+)?的平方根与立方根.

【答案】±10,^/100

【分析】根据算式平方根和立方根的定义，求出羽〉的值，再代值计算平方根和立方根即

可.

【详解】解：EIX-2的算数平方根为2,2x+y+7的立方根是3,

国无一2=2?=4,2x+y+7=33=27,

团x=6,y=8,

0%2+y2=100,

团"+/的平方根为±"而=±10,立方根为：班丽.

【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根.解题的关键掌握相关定义，正确的计算.

变式拓展

1.时表示()

A.”的倒数B.a的相反数C.a的绝对值D.。的算术平方根

【答案】C

【分析】根据绝对值的定义解答即可.

【详解】解：时表示a的绝对值.

故选C.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数。的点到原点的距离叫做这个数的绝对

值.

2.设A是T的相反数与-12的绝对值的差，8是比-6大5的数，则A-3的值为.

【答案】-7

【分析】本题考查有理数的运算.根据题意，求出A,8的值，再进行减法运算即可.

【详解】解：由题意，得：4=一(-4)一卜12|=-8,B=-6+5=-l,

[?]A—B=—8+1=—7；

故答案为：-7.

3.已知为，巧，X,，…，/。都是不等于。的有理数，若'+闯+国+…+国，

*^3*^20

则为。所有可能等于的值的绝对值之和等于.

【答案】220

【分析】本题主要考查数字的变化规律，化简绝对值，根据题意分别得出％。所有可能等于

的值即可得出结论.

【详解】解：当2。个数的符号相同时，若都为正，

J2o=—+—+—+—=1+1+1+1+1=20

团xxx2x3x20

%0=』+』+$+…+*=-l-l=-20

若都为负，则%“2%”20

团巴。等于20或-20,

当20个数的符号有一个相异时，不妨设这个数为七,

Jo=—+—+—+-•-+—=1-1-1-1-1=1-19=-18

2X

当"1为正，贝!]玉2*3X20,

%o=』+垃+乜+…+曰=7+1+]+I+I=T+I9=18

X

若为负，贝I石*2*320

团必。等于18或-18,

同理当20个数的符号有两个相异时，力等于16或-16,

当20个数的符号有三个相异时，必。等于14或-14,

当20个数的符号有四个相异时，％。等于12或T2,

当20个数的符号有十个相异时，必。等于0,

…。所有可能等于的值的绝对值之和=(20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0)x2=220,

故答案为：220.

4.若有理数a,b互为倒数，c,d互为相反数，机的绝对值是2,则

/；\2023(1Y2

(。+")Alb)+m=一•

【答案】5

【分析】根据题意，可得劭=1,c+d=0,加=±2,再代入即可求解.本题主要考查了倒

数，绝对值的意义，相反数的性质，有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关

键.

【详解】解：由题意得，ab=\,c+d=。，加=±2,

(/c+d7\)2023+m2=02023+(-l)4+(±2)2=0+l+4=5,

故答案为：5.

5.实数4，b,c,d,e,/中，。与〃互为倒数，c与d互为相反数，0是_0的绝对

值，/的算术平方根是8,求：</+彳+/+"的值.

【答案】6；

【分析】根据倒数的定义，相反数的性质，绝对值的化简及算术平方根的定义得到

ab=1,c+d=0,e=|-y/21=,/=82=64,代入计算即可.

【详解】解：由题意得，ab=l,c+d=。，e=|—0|=0,/=82=64,

-ab+^-^-+e2+#7

23W

=-xl+-+(^)2+^/64

23

=-+0+2+4

2

=61.

2

【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握倒数的定义，相反数的性质，

绝对值的化简及算术平方根的定义得到必=1,C+d=0,e=|-夜|=0,/=弟=64是解题

的关键.

6.如果。力,。,乩自/是实数，且。力互为倒数，c,d互为相反数，e的绝对值是贬，/的算

术平方根是8,求;+需+e+".

【答案】Q+3或耳-夜

【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出。十巴必及e的值，代入计算即可.

【详解】解：由题意可知：cib=1,c+d=0,e=±，7=64,

.M=隔=4,

当e=0时，：而+1^+6+/=；+。+夜+4=1+0,

当6=—0时，:而+'|^+6+"=：+。一血+4=2-0.

【点睛】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

7.已知实数。，b,c,d,m,其中a,匕互为相反数，c,d互为倒数，加的绝对值是

I、a+b+m2+1、厂

2,求---7=一的平万根.

7cd

【答案】±有

【分析】直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案.

【详解】解：回a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2,

团a+b==0,cd=l,m=±2

0+4+11

=—^=5,

5的平方根是土石.

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确得出已知代数式的值是解题关键.

8.已知。的立方根是2,8是小的整数部分，c是9的平方根，求a+b+c的算术平方

根.

【答案】J值或20/20或内

【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，根据立方根求这个

数，无理数的估算等等，正确根据题意求出以氏c的值是解题的关键.

根据立方根的定义得到a=23=8,估算出3<a?<4得到b=3,根据平方根的定义得到

c=±3,据此求出a+b+c=14或a+b+c=8,再根据算术平方根的定义可得答案.

【详解】解：国。的立方根是2,

回〃=2^=8,

09<15<16,

03<V15<4,

团6是后的整数部分，

06=3,

回c是9的平方根，

回c=±3,

回a+Z?+c=8+3+3=14或^a+Z?+c=8+3—3—8,

Sa+b+c的算术平方根为或而=272.

9.（1）已知X的平方根为±3,）的立方根为2,求x+2y的算术平方根.

（2）实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：\a-b\+^a+b>）.

——।-------------------1——।------->

a0b

【答案】（1）5；（2）-2a

【分析】（1）根据X的平方根为±3,y的立方根为2,得出x=9,y=8,代入进行计算求

出尤+2y的值，再由算术平方根的定义计算即可；

(2)由数轴可得。＜0＜匕，同＞例，从而得出a-Z?＜0,a+b＜0,再根据绝对值的性质

和二次根式的性质进行化简即可.

【详解】解：(1)x的平方根为±3,y的立方根为2,

.,.尤=3?=9,y=23=8

x+2y=9+2x8=9+16=25,

x+2y的算术平方根为居=5；

(2)由图可得：a<0<b,\a\>\b\,

:.a-b<0,a+b<0,

—++=b—a—(a+b)=b—a—a—b=-2a-

【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简

绝对值、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点是解此题的关键.

10.若6互为相反数，c、d互为倒数，加的绝对值为3,求

2

/+巴W_(_cd严3+a

mb

【答案】11

【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握互为相反数的两个数相加等

于0,互为倒数的两个数相乘等于1,解题的关键掌握各自的定义.根据互为相反的两个数

相加等于0,互为倒数的两个数相乘等于1,互为相反数的两个数比值为-1即可求解.

【详解】解；由题意可知。+匕=0,y=-l,cd=l,Im1=3,

b

•.>^=32+0-(-1)2023+(-1)2

=9-(-1)+1

9+1+1

=11.

考向二实数的分类

实数的分类

，正整数

整数零

有理数负整数

实数‘正分数'

分数有限小数或无限循环小数

负分数

‘正无理数'

无理数无限不循环小数

负无理数

典例引领

1.

A.。的倒数B.。的相反数C.a的绝对值D.。的算术平方根

【答案】C

【分析】根据绝对值的定义解答即可.

【详解】解：时表示。的绝对值.

故选C.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数。的点到原点的距离叫做这个数的绝对

值.

2.设A是T的相反数与-12的绝对值的差，8是比-6大5的数，则的值为.

【答案】-7

【分析】本题考查有理数的运算.根据题意，求出48的值，再进行减法运算即可.

【详解】解：由题意，得：4=一(-4)一卜12|=-8,B=-6+5=-l,

回A—B=—8+1=—7；

故答案为：-7.

3.已知4，/，马,…，马。都是不等于。的有理数，若％°=凶+同+国+…+国，

"^2*^3*^20

则力，所有可能等于的值的绝对值之和等于.

【答案】220

【分析】本题主要考查数字的变化规律，化简绝对值，根据题意分别得出%。所有可能等于

的值即可得出结论.

【详解】解：当20个数的符号相同时，若都为正,

gy20=—+^+—+...+—=1+1+1+1+1=20

项尤2尤3X20

若都为负，贝1J=*+*+*+…=-1-1=-2°

X]兀2"3'20

回%。等于20或-20,

当20个数的符号有一个相异时，不妨设这个数为4,

当X]为正，贝！Jy2o=_L_|--------------------------+---------------=1-1-1-1-1=1-19=-18,

x

占x2x,io

+%2

若Xj为负，贝1J%0=——+...+0=-1+1+1+1+1=-1+19=18

三/毛々0

回为0等于18或-18,

同理当20个数的符号有两个相异时，必。等于16或-16,

当20个数的符号有三个相异时,%。等于14或-14,

当20个数的符号有四个相异时,%。等于12或-12,

当20个数的符号有十个相异时，%。等于0,

所有可能等于的值的绝对值之和

=(20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0)x2=220,

故答案为：220.

4.若有理数a,b互为倒数，c,d互为相反数，%的绝对值是2,则

/八2023(1Y2

…)+[--J+m=—,

【答案】5

【分析】根据题意，可得必=1,c+d=0,机=±2,再代入即可求解.本题主要考查了倒

数，绝对值的意义，相反数的性质，有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关

键.

【详解】解：由题意得，ab=\,c+d=0,m=±2,

(c+6/)2023+f-—V+m2=O2023+(-l)4+(±2)2=0+1+4=5,

IabJ

故答案为：5.

5.实数〃，b,。，d,%/中，〃与/，互为倒数，c与d互为相反数，e是一血的绝对

值，/的算术平方根是8,求：(或+等+«2+好的值.

【答案】6；

【分析】根据倒数的定义，相反数的性质，绝对值的化简及算术平方根的定义得到

ab=l,c+d=O,e=|-夜|=夜，/=82=64,代入计算即可.

【详解】解：由题意得，ab=l,c+d=O,e=\-721=V2,/=82=64,

z.-ab+^-^+e1

23Y

=gxl+《+(6)2+闹

=-+0+2+4

2

=61.

2

【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握倒数的定义，相反数的性质，

绝对值的化简及算术平方根的定义得到必=1,c+d=0,e=|-72|=V2,/=8，=64是解题

的关键.

6.如果及c,d,e,f是实数，且“力互为倒数，c,d互为相反数，e的绝对值是血，了的算

术平方根是8,求;+需+«+疗.

【答案】g+3或g-夜

【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d,仍及e的值，代入计算即可.

【详解】解：由题意可知：ab=l,c+d=。，e=±V^,F=64,

当e=0时，：而+■|^+e+疗=；+()+夜+4=2+血,

乙乙U4_L乙乙

当6=-应时，；"+1^+e+V7=；+°-0+4=g-&.

【点睛】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

7.已知实数。，b,c,d,m,其中。，b互为相反数，c,d互为倒数，加的绝对值是

,a+b+m2+1、,

2,求x——p=—的平万根D.

7cd

【答案】土下

【分析】直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，进而得出答案.

【详解】解：回a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2,

0a+b=O,cd=l,m=+2

0+4+1=

=-1-=5,

5的平方根是土

【点睛】此题主要考查了实数运算，正确得出已知代数式的值是解题关键.

8.已知。的立方根是2,b是小的整数部分，c是9的平方根，求a+b+c的算术平方

根.

【答案】历或2屈/2版或屈

【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，根据立方根求这个

数，无理数的估算等等，正确根据题意求出久氏c的值是解题的关键.

根据立方根的定义得到a=23=8,估算出3〈炉<4得到b=3,根据平方根的定义得到

c=±3,据此求出a+b+c=14或a+b+c=8,再根据算术平方根的定义可得答案.

【详解】解：回。的立方根是2,

回〃=2^=8,

09<15<16,

03<A/15<4,

回匕是小的整数部分，

0&=3,

EK是9的平方根，

0c=±3,

回a+b+c=8+3+3=14或a+6+c=8+3—3=8,

^a+b+c的算术平方根为而或而=272.

9.(1)已知x的平方根为±3,>的立方根为2,求尤+2y的算术平方根.

(2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简：\a-b\+^a+bf.

J——1------>

0b

【答案】(1)5；(2)-2a

【分析】(1)根据x的平方根为±3,y的立方根为2,得出x=9,V=8,代入进行计算求

出x+2y的值，再由算术平方根的定义计算即可;

(2)由数轴可得。<0<b,同>例，从而得出a—b<0,a+b<0,再根据绝对值的性质

和二次根式的性质进行化简即可.

【详解】解：(1)x的平方根为±3,丁的立方根为2,

/.x=32=99y=23=S

x+2y=9+2x8=9+16=25,

x+2y的算术平方根为岳=5；

(2)由图可得：a<0<b,|«|>|^|,

:.a-b<0,a+b<0,

/.|tz-闿+—b-a-(a+b)=b-Q-a-b-—2a•

【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简

绝对值、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握以上知识点是解此题的关键.

10.若。、b互为相反数，d互为倒数，加的绝对值为3,求

2

加+巴心_(_4严3+a

mb

【答案】11

【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义，掌握互为相反数的两个数相加等

于0,互为倒数的两个数相乘等于1,解题的关键掌握各自的定义.根据互为相反的两个数

相加等于0,互为倒数的两个数相乘等于1,互为相反数的两个数比值为-1即可求解.

【详解】解；由题意可知。+6=0,f=cd=\,Im1=3,

b

.•.原式=32+0—(-1)2023+(_1)2

=9-(-1)+1

9+1+1

=11•

变式拓展

1.下列各数是无理数的是（）

/—2271

A.y/25B.0.1001C.—D.

73

【答案】D

【分析】本题考查了无理数：无限不循环小数，有限小数或无限循环小数是有理数；根据

无理数的概念判断即可.

【详解】解：由于后=5,所以后0.1001,,都是有理数，-三是无理数，

故选：D.

2.下列各数中：-1,+3,0,0.2,-21,一兀，负数一共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数分为正实数、负实数和

零.

【详解】解：-1,+3,0,0.2,-21,一乃中负数有-I,-21,一乃，共3个，故C正

确.

故选：C.

7T1

3.在实数3.142,0,万，1.01001000100001...（相邻两个1之间0的个数逐次增加

1）中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了有理数与无理数的分类，无理数为无限不循环小数；有理数包含整数

与分数.分别根据无理数、有理数的定义逐项进行判断即可，理解无理数的定义是解题关

键.

【详解】解：3.142,0,-g为有理数；

TT

1.01001000100001…为无理数，共有两个，

2

故选：B

4.下列说法正确的是（）

A.所有无限小数都是无理数B.实数分为正实数、负实数、0

C.三是分数D.无理数与无理数的和仍是无理数

【答案】B

【分析】本题考查了无理数的概念、实数的分类，根据无理数的概念和实数的分类逐项判

断即可，熟练掌握相关定义是解此题的关键.

【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原说法错误，不符合题意；

B、实数分为正实数、负实数、0,故原说法正确，符合题意；

C、三是无理数，故原说法错误，不符合题意；

D、无理数与无理数的和可能是有理数，例如-&+也=0,故原说法错误，不符合题意；

故选：B.

5.在实数君、0、-2.36、万、VI石、指中，无理数的个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题主要考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可.熟

练掌握其定义是解题的关键.

【详解】解：A/5,万，我是无限不循环小数，它们是无理数；

0,灰石=12是整数，-2.36是分数，它们不是无理数；

综上，无理数共3个，

故选：B.

6.下列说法正确的是（）

A.实数分为正实数和负实数B.正是分数

2

C.数轴上的点表示的数都是有理数D.-6是5的平方根

【答案】D

【分析】本题考查实数的分类，平方根的概念，实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握

相关概念或性质解答即可.

【详解】解：A、实数分为正实数.负实数和零，原说法错误，本选项不符合题意；

B、正是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意；

2

C、数轴上的点表示的数都实数，原说法错误，本选项不符合题意；

D、卜斯『=5,则-&'是5的平方根，原说法正确，本选项符合题意；

故选：D

7.下列说法正确的是（）

A.实数和数轴上的点是一一对应的B.实数可以分为有理数、零和无理数

C.带根号的数都是无理数D.不带根号的数都是有理数

【答案】A

【分析】根据实数与数轴，实数的分类逐项判断即可.

【详解】解：A.实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确；

B.实数可以分为有理数和无理数，原说法错误；

C.带根号的数不一定是无理数，例如a=2,原说法错误；

D.不带根号的数不一定是有理数，例如丁，原说法错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的分类，正确理解无理数的概念是解题的关键.

8.在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：

①任何无理数都是无限不循环小数；

②立方根等于它本身的数是±1和0;

③在1和3之间的无理数有且只有行、0小、将这4个；

④万是分数，是有理数；

⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的数.

其中正确的有（填序号）.

【答案】①②⑤

【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，近似数；根据无理数是无限不循环小数，立

方根，实数的分类，近似数，可得答案.

【详解】解：①任何无理数都是无限不循环小数，故①正确；

②立方根等于它本身的数是±1和0,故②正确；

③在1和3之间的无理数有无数个，故③错误；

④会是无理数，故④错误；

⑤由四舍五入得到的近似数7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的数，故⑤正确；

故答案为：①②⑤.

9.下列各数3.1415926,出,1.212212221.…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）,

2-兀,-2020,4中，有理数有个.

【答案】4

【分析】根据实数的分类进行判定即可得出答案，有理数包括整数和分数，其中有限小数

和无限循环小数都属于分数.

【详解】解：有理数有3.1415926,y,-2020,"共4个.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了实数，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.

10.在+3.5,0.13,-y,2万，0.1010010001,（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有

理数有一个.

【答案】3

【分析】根据实数的分类，有理数是有限小数，无限循环小数，由此即可求解.

【详解】解：在+3.5,0.13,-y,2%，0.1010010001，（相邻两个1之间依次增加1个

0）中，有理数有+3.5,0.13,-y,共3个，

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查实数的分类，掌握其分类的方法，有理数的概念是解题的关键.

11.在万，0.3,一5中，无理数是.

【答案】乃

【分析】无理数是无限不循环小数，常见的无理数有开不尽方的数，含万的最简式子，特

殊结构的数等，由此即可求解.

【详解】解：根据无理数的定义，可知无理数有万，

故答案为：乃.

【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数的定义，及常见无理数的

形式是解题的关键.

12.将下列各数进行分类（填序号即可）：

12

①1,②石，③0,④一3.2,⑤际，⑥-7，⑦1.202002…（每个"2"之间依次多

一个"0"）.

正整数：—;

分数：;

无理数：—.

【答案】①⑤；④⑥；②⑦

【分析】根据实数的分类即可解答.

【详解】解：旧=3,

，病为正整数.

二正整数为：①⑤；

■---1-2-..1.2

77

.••分数为：④⑥；

无理数为：②⑦.

故答案为：①⑤；④⑥；②⑦.

【点睛】本题考查了实数的分类，化简绝对值和求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数

的分类是解决本题的关键.

13.将下列各数填入相应的集合内.

-7,0.32,0,般,J-,^125，7T,0.1010010001...

3V2

①有理数集合｛...｝

②无理数集合｛...｝

③负实数集合｛...）.

【答案】-7,0.32,0,^/125瓜,71,0.1010010001-7

【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数.或者实数分为正实数、0、负实

数.进行填空.

【详解】解：花=20,卜*炳=5,

①有理数集合｛-7,0.32,1,0,V125.-■.)

②无理数集合｛*，£,兀,0.1010010001...,...)

③负实数集合｛-7,...｝.

故答案为：-7,0.32,-,0,^25；瓜,J->无，0.1010010001...；-7.

3V2

【点睛】本题考查了实数的分类.注意0既不是正实数也不是负实数是解题的关键.

14.把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：

-21%,+|-6|,+卜^；0,-0-3,0.212212221---,-2017,3.14,万，-(+4),(-7)2.

负有理数集合：｛…｝;

分数集合：｛••):

无理数集合：｛­•｝;

非负整数集合：｛•••｝.

【答案】—21%,+1：，一°3，一2。17,-(的)；-21%,-0-3-314；

0.212212221-,万；+|-6|,o,(-7)2.

【分析】根据实数的分类，即可得到答案.

【详解】解：负有理数集合：｛-21%,+[-1],-0.3,-2017,-(M),…｝;

分数集合：｛-21%,+„,-0.3,3.14,­••)；

无理数集合：｛0.212212221…，乃，…｝;

非负整数集合：｛+|-6|,0,(-7))■•)；

故答案为：一21%,+1<]，-0.3,-2017,—(M)；-21%,+1<]，-0.3,3.14；

0.212212221-,万；+|-6|,0,(-7)2.

【点睛】本题考查了实数，利用实数的分类是解题的关键.

考向三近似数和科学记数法

在用科学记数法表示数时，一定要正确确定〃的值.

典例引领

1.华为朋Re60Pro手机搭载了海思麒麟9000s八核处理器，预装华为自主研发的

操作系统，为全球首款支持卫星通话的智能手机.预计至2024年底，这款

手机的出货量将达到70000000台.将70000000用科学记数法表示应为（）

A.7xl08B.70xl06C.7xl07D.0.7xlO8

【答案】C

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为axlO”的形式，其中

1〈忖<10,〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案.

【详解】解：70000000=7xl07,

故选：C.

2.2023年9月23日晚，以"潮起亚细亚”为主题的杭州亚运会盛大开幕，本次亚运会观众

预计达到570万人次（）

A.5.7xlO2B.5.7xlO4C.5.7xlO5D.5.7xlO6

【答案】D

【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成0X10"的形式，其中

1<|«|<10-〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案，熟练掌握其定

义是解题的关键.

【详解】解：57075=5700000=5.7x10%

故选：D.

3.长城的总长用科学记数法表示约为6.7x106米，则它的原数为（）

A.