2025年新高考数学一轮复习：幂函数与二次函数（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第03讲幕函数与二次函数

目录

01模拟基础练..................................................................................2

题型一：幕函数的定义及其图像..................................................................2

题型二：毫函数性质的综合应用..................................................................3

题型三：由募函数的单调性比较大小..............................................................3

题型四：二次函数的解析式......................................................................3

题型五：二次函数的图象、单调性与最值..........................................................4

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题....................................................4

题型七：二次方程实根的分布及条件..............................................................5

题型八：二次函数最大值的最小值问题............................................................5

02重难创新练.................................................................................6

03真题实战练..................................................................................9

题型一：幕函数的定义及其图像

1.（2024・四川成都.一模）已知幕函数〃x）=x°的图象过点P（3,9）,则&=（）

A.1B.1C.2D.3

A.2B.m=-lC.加=2或m=-1D.mw一、

2

5.（2024•湖南岳阳•模拟预测）如图，已知事函数y=x",y=f,y=x。在（0,+。）上的图象分别是下降，急速

C.c<a<bD.a<b<c

题型二：幕函数性质的综合应用

6.（2024・高三・福建三明•期中）已知＜1，层＜1，则实数。的取值范围是-

21

7.函数1=/+2卢+4,其中"-8,则其值域为.

8.当xe（O,M）时，幕函数＞=（/-2帆-2卜"jf为单调递减函数，则加=.

9.（2024・高三・上海浦东新•期中）己知£€卜3,-2,1,2,3,若塞函数〃x）=x"为奇函数，且在

（0,+力）上严格单调递减，贝1］。=.

10.已知幕函数〃同=；3,若/（a—l）＜〃8—2a）,贝门的取值范围是.

题型三：由幕函数的单调性比较大小

11.（2024・贵州毕节・二模）已知则实数“的取值范围为（）

I?1)B.[04…

A.

cI

加D.g

022

12.记〃=3,fe=0.3-°-,c=log020.3,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.、c>b>aD.b>a>c

13.已知a=0.6%b=0.505,c=0.5°6.则()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

14-已知函数小）=（加一*1）人是幕函数，对任意的和”（。,+8）且满足笠了＞0,

若a,beR,a+b<。,则/(。)+/3)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

题型四：二次函数的解析式

15.已知二次函数〃力的两个零点分别是。和5,图象开口向上，且〃尤）在区间［T4］上的最大值为12,

则函数〃尤)的解析式为.

16.已知/(x)=2x2+bx+cQb,c为实数)，且/⑴=1,43)=1,则“X)的解析式为.

17.已知函数对任意x满足：3f(x)-f(2-x)=4x,二次函数g(x)满足：g(x+2)-g(x)=4x且

g(l)=-4.则/(x)=,g("=•

题型五：二次函数的图象、单调性与最值

19.已知二次函数“X)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数/(尤)的图象向右

平移2个单位长度，得到抛物线y=g(x),则抛物线y=g(x)与y轴的交点是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,-2)D.(0,0)

20.已知函数/(x)=办2+2以一3(。>0),贝!J()

A./(0)>/(I)B./(-2)>/(4)C./(-3)>/(I)D./M)>/(1)

21.(2024・高三・上海•期中)已知函数〃力=-9+侬；—2在(-0),2］上是严格增函数，则实数加的取值范围

是.

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题

22.已知函数/(*)=%2—2"+3(feeR).

(1)若在区间［-3,1］上单调递减，求b的取值范围;

⑵若/(x)在区间［-2,2］上的最大值为9,求b的值.

23.已知函数/(x)=-x?+ox-a.

(1)若/*)的最大值为0,求实数a的值；

⑵设/(x)在区间。2］上的最大值为M(a),求M⑷的表达式；

(3)令g(x)=-d»,若g(x)在区间U,2］上的最小值为1,求正实数a的取值范围.

X

24.已知函数/'(天卜％2-2av+a(aeR).

⑴若函数/(“在［2a-4,2a-l］上单调，求。的取值范围：

(2)是否存在实数〃，使得函数/(%)在区间JU］上的最小值为-2?若存在，求出“的值；若不存在，请说明

理由.

题型七：二次方程实根的分布及条件

25.(2024.高三・陕西商洛•期中)若〃©N*，则一元二次方程21+3x+〃=0有整数根的充要条件是()

A.n=lB.=2C.〃=1或〃=4D."=3或〃=4

26.若关于x的一元二次方程Y-2ax+4=0有两个实根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数。

的取值范围是.

27.方程Y-2改+4=0的两根均大于1,则实数。的取值范围是

题型八：二次函数最大值的最小值问题

28.已知函数/(%)=/一元一3.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当xe［0,3］时，求证：x-4<f(x)<x.

⑶设/。)=/(尤)-(x+a)|("R),及尸⑴在区间［0,3］上的最大值为Af(a).当M(a)最小值，求。的值.

29.已知函数/(x)=f+依+匕的图象经过点(0,—3)和(-1,-1).

⑴求函数“X)的解析式；

⑵当xe［0,3］时，求证：x-4</(x)<x；

⑶设网同=/(尤)一(尤+4(cwR)，记网尤)在区间［。，3］上的最大值为"(c).当M(c)最小时，求c的值.

1.(2024•北京朝阳•一模)已知aeR,贝是“函数f(x)=(l-a)V在R上单调递增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

x2+x,-2<x<0/、

2.(2024.北京西城•一模)已知函数/(x)=<-c'若存在最小值’则’的最大值为《

A-WD

B-ic-7-I

I，-1,I，I，2,3k若且互不相等，则使得指数函数>=

3.(2024・广东•一模)已知集合人=ax

对数函数y=log,X,累函数y=X。中至少有两个函数在(0,+8)上单调递增的有序数对(ahc)的个数是(

A.16B.24C.32D.48

4.已知幕函数“X）=（6+2Q-2）/-3J（Q£R）的图象在（o,+“）上单调递减，贝ij〃的取值是（）

A.1B.-3C.1或-3D.2

5.（2024・四川宜宾・模拟预测）给出下列四个函数：①/。）=尤+1；②/（x）=L③/⑴=2/；④/（%）=-%.其

x

中在（0,内）上是增函数的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.函数〃x）=（苏-加是幕函数，对任意的为马《0,饮），且x产％,满足〃?

若a,bwR,且。+6>0,则/⑷+/®的值（）

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

7.累函数y=%2,y==x3y=在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（)

A.GCCCB.c1?c4,c3,c2

c.C3,C2,C19C4D.GCCC

8.己知ae卜若/（x）=x"为奇函数，且在（0,+少）上单调递增，则实数a的取值个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.（2024・山东济南.三模）已知函数/（尤）的定义域为R,且对'（x）-好■（、）=孙（x-y）,则下列结论一定成

立的是（）

A./(1)=1B./("为偶函数

C./")有最小值D./(X)在［0』上单调递增

10.(2024•陕西・模拟预测)设函数的定义域为R,>/(-x+l)=-/(x+l),/(x+2)=/(-x+2),当

xe［0,l］时，/(x)=2x2+ta+c,/(3)-/(2)=6,则》+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

11.（多选题）若事函数/（x）的图像经过点（2,则下列命题中，正确的有（）

A.函数/⑺为奇函数B.函数/（x）为偶函数

C.函数/（X）在（0,+8）为减函数D.函数“X）在（0,+»）为增函数

12.（多选题）已知幕函数/（工）=尤入（"％neN*,m,〃互质），下列关于/（x）的结论正确的是（

A.m,w是奇数时，幕函数/⑺是奇函数

B•机是偶数，〃是奇数时，塞函数/（x）是偶函数

C.机是奇数，〃是偶数时，暴函数/（尤）是偶函数

D.0＜‘＜1时，幕函数在（0,+8）上是减函数

n

13.（多选题）幕函数/（尤）=（2/+m-2）》'1,7〃€E，则下列结论正确的是（）

A.m=lB.函数/（x）是偶函数

C./（-2）＜/（3）D.函数〃元）的值域为（0,+s）

14.（多选题）（2024.甘肃定西•一模）已知函数〃尤）=[2，-1卜4超（尤）=炉_4忖+2-4,则（）

A.当g（x）有2个零点时，〃尤）只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，只有1个零点

C.当有2个零点时，g（x）有2个零点

D.当〃力有2个零点时,g（x）有4个零点

15.（2024•北京延庆•一模）已知函数F（0＜。＜1）在区间（-1,0）上单调递减，则a的一个取值为

16.（2024.全国.模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数：/（x）=.

①/（x）的定义域为R;②xeR,=③。＜玉＜々，都有[2]＜4M＜--

\X2JJ\X2）X2

17.（2024.河北•模拟预测）已知函数/（x）=5r-3d,若"a—l）+〃2a"10,则实数。的取值范围

为.

18.不等式（尤2—1『"+尤2。22+2/一1〈0的解集为：.

19.已知正实数无，丫满足2x+3y=l,且力-y2zx_y对任意尤,y恒成立，则实数f的最小值是

1.（2004年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））函数/。）=炉-2依-3在区间口,2]上存

在反函数的充分必要条件是（）

A.ae（-8,l]B.ae[2,+co）C.<2e（-oo,l]U[2,+<»）D.aG[1,2]

2.（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数

/W=-,g（x）=ax2+bx{a,b&R,a^0）,若y=/（x）的图象与>=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点

x

4（和%）,8（%,%）,则下列判断正确的是

A.当a<0时，再+9<°，%+%>。

B.当°<0时，玉+马>0,必+为<。

C.当a>0时，+x2<0,y；+y2<0

D.当。>0时，无i+%>°，必+%>。

3.（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷））在函数/（x）=af+bx+c中，若a,b,<

成等比数列且/（0）=-4,则/（x）有最_______值（填“大”或“小”），且该值为.

2

4.（2020年江苏省高考数学试卷）已知产心:）是奇函数，当后0时，〃力=?，则共用）的值是—.

5.（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））若函数/（元）=优（4>0,。71）在[―1,

2]上的最大值为4,最小值为m,且函数8（尤）=（1-4/〃）«在[0,+8）上是增函数，则a=.

第03讲幕函数与二次函数

目录

01模拟基础练..................................................................................2

题型一：基函数的定义及其图像..................................................................2

题型二：幕函数性质的综合应用..................................................................3

题型三：由幕函数的单调性比较大小..............................................................3

题型四：二次函数的解析式......................................................................3

题型五：二次函数的图象、单调性与最值..........................................................4

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题....................................................4

题型七：二次方程实根的分布及条件..............................................................5

题型八：二次函数最大值的最小值问题............................................................5

02重难创新练.................................................................................6

03真题实战练..................................................................................9

梢阳建础飨

//

题型一：幕函数的定义及其图像

1.（2024・四川成都.一模）已知幕函数〃》）=/的图象过点尸（3,9）,则&=（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】因为幕函数=/的图象过点以3,9）,所以3。=9,解得£=2.

故选：C.

2.已知幕函数的图象经过点尸（8,4）,则该幕函数在第一象限的大致图象是（）

【答案】B

【解析】设〃力=/,则8"=4023。=22,所以3a=2,所以。=：,

2_2

所以〃x）=x3=#7，因为。<§<1，

因为函数/（尤）在（0,+"）上递增，且增加的速度越来越缓慢，

故该幕函数在第一象限的大致图象是B选项.

故选：B.

3.函数y=d的大致图像是（）

【解析】根据基函数的特点知选项A的图象为函数y=V的大致图像.

故选：A.

4.新函数y=（rn2-rn-l）.x-5m-3,当%£（0,+。）时为减函数，则实数加的值为（）

A.m=2B.m=-lC.9=2或加=一1D.m手"石

2

【答案】B

【解析】幕函数y=（疗-*1）•尸23

根2—m—

解得m=2或m=-l；

当加=2时，幕函数为y=，i3

且在1£（0,+。）时为减函数，满足题意;

当机=-1时，基函数为y=%2,

且在%£（0,+8）时为增函数，不合题意;

综上，实数加的值为2.

故选：A.

5.（2024•湖南岳阳•模拟预测）如图，已知事函数＞=尤",,=无〃,,=无。在（0,+。）上的图象分别是下降，急速

B.a<c<b

C.c<a<bD.a<b<c

【答案】B

【解析】由题意结合图象可知

故选：B.

题型二：幕函数性质的综合应用

6.(2024・高三•福建三明•期中)已知g］<1，1<1，log“；<l，则实数。的取值范围是.

【答案】(0,g)

【解析】•.・已知.”>1或。<。<|■①；

a>0(2)；

,.•消=后<1，,0，，”1③.

综合①②③，求得实数4的取值范围为(。1).

故答案为：(O'］)•

7.函数y=/+2£+4，其中X-8,则其值域为.

【答案】［3,+8)

【解析】设/一则>=产+2/+4=«+1)2+3.因为乂8,所以J.-2.当r=T时，%i„=3.所以函数的值

域为［3,+8).

故答案为：［3,+C0)

8.当xe(O,w)时，募函数>=9〃2-2〃7-2)/"3为单调递减函数，则加=.

【答案】-1

【解析】由题意可知M—2根—2=1=>根=—1或功=3,

2

当机=-1时，m-m-3=-l,此时丁=一在第一象限是单调递减函数，符合题意；

当机=3时，加2一加_3=3,此时y=d在第一象限是单调递增函数，不符合题意；

综上：m=-l.

故答案为：-1

9.(2024・高三•上海浦东新•期中)己知ae，3,-2,-1,-；,04,1,2,31,若塞函数/(x)=x"为奇函数，且在

(O,+8)上严格单调递减，则。=.

【答案】-1或-3

【解析】由累函数的性质知，/(x)=xa,在第一象限内，当e<0时，函数单调递减，当。为奇数时，函数

为奇函数，

所以当e=-l或-3时，募函数在（0,+8）上单调递减，且为奇函数.

故答案为：-1或-3

10.已知累函数”司=/,若/（。-1）</（8-2。），贝M的取值范围是

【答案】（3,4）

1

【解析】嘉函数，（x）=”，所以/（尤）定义域为（0,+8）且在定义域上单调递减,

石

所以需满足。-1>8-2a>0,解得3<a<4,

故答案为：（3,4）.

题型三：由幕函数的单调性比较大小

11.（2024•贵州毕节•二模）已知则实数。的取值范围为（

A.f-j'jB.[o,ju（L+°°）

【答案】C

【解析】QJ<1=QJ,根据指数函数y=[j在R上单调递减得"0,

al<1=1L根据幕函数y=£在[。,+e）上单调递增知O<a<l,则

a

logfl<1=l°gfl>根据对数函数y=loga%（0<a<l）在（。，+8）上单调递减得0<a<；,

综上0<a<：

12.记。=3°2,6=0.3一°2,c=logo2。.？，贝（J（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】因为6=0.3q=]g；,幕函数y=x°2在（0,+e）上单调递增,

又号>3,所以用°2>3。。>3。=1,

所以》>々>1,

又对数函数y=logo/在(。,+8)上单调递减,所以c=logQ,20.3<log020.2=1,

故

13.已知〃=0.6叽。=0.5叽c=0.5°6.则()

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】设〃力=0.5工，由指数函数的性质知〃"=0.5'在R上单调递减，

所以匕=/(0.5)=O.505>c=f(0.6)=O.506,

令/7(x)=铲，由暴函数的性质知/7(x)=/5在［0,+⑹单调增，

所以a=/7(0,6)=O,605>b=71(0,5)=O.505,

所以a>>>c.

故选：C

14.已知函数/'(元)=(用-加-1)/7是幕函数，对任意的占，无2e(0,+8)且演w无2，满足"%)>0,

F一工2

^a,b&R,a+b<0,则/1(a)+/3)的值()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【答案】B

【解析】根据函数为塞函数以及函数在(0,+8)的单调性，可得加，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单

调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数/(》)=何2-〃?-1)尤"~是幕函数

贝！!m2_777-1=1=>m=2或帆=-1

又对任意的Xi，x2e(0,+oo)且为*尤2，满足"无J>0

石~X2

所以函数/(X)为(0,+8)的增函数，故加=2

所以/(x)=/,又/(-x)=-/(x),

所以/(x)为R单调递增的奇函数

由。+6<0,贝1|“<一6,所以/(。)</(-6)=-/(6)

贝Ijf(a)+f(b)<0

故选：B

题型四：二次函数的解析式

15.已知二次函数/⑺的两个零点分别是。和5,图象开口向上，且在区间［T4］上的最大值为12,

则函数〃尤)的解析式为.

【答案】/(x)=2x2-10x

【解析】设〃X)=G(X-5),(。>0)其对称轴为直线x=|,又/(“在区间卜1,4］上的最大值为12,

所以/(―1)=6。=12,a=2,所以/(x)=2X2-10X.

故答案为：/(x)=2x2-10x.

16.已知/(力=2/+乐+。出c为实数)，且/⑴=1,43)=1,则“X)的解析式为.

【答案】/(X)=2X2-8X+7

2+b+c=16=-8

【解析】解法一：由题意知18+36+c=/解得

c=7

所以/(%)的解析式为/(X)=2X2-8X+7.

解法二：由题意知-3=胃=2,得b=-8,贝I］/⑴=2-8+c=l,得c=7,

2x22

所以/(%)的解析式为/(x)=2f_8x+7.

故答案为：/(X)=2X2-8X+7

17.已知函数对任意x满足：3f(x)-f(2-x)=4x,二次函数g(x)满足：g(x+2)-g(x)=4x且

g(l)=-4.则/(x)=,g(x)=.

【答案】x+1V-2x-3

【解析】(1)3/(x)-/(2-x)=4x©,用2—尤代替上式中的x,得3/(2—x)—/(x)=8—4x②，联立①②，

可得/(x)=x+l；设g(x)="+bx+c(a^O)，所以g(x+2)-g(x)=a(x+2)'+Z?(x+2)+c-ax2-bx-c=4x,

即4tzx+4a+2Z?=4x,

(4a=4-

所以,，八，解得。=1，b=-2,又g(l)=T，得。=一3,g(x)=x2-2x-3.

[4Q+20=0

故答案为：尤+1,尤2-2X-3

题型五：二次函数的图象、单调性与最值

18.(2024・辽宁沈阳•一模)已知函数/(尤)=a/+bx+c,若a>6>c且a+b+c=O,则它的图象可能是(

【答案】C

【解析】由。>b>c且。+6+c=。，得a>O,c<。，

所以函数/*）是二次函数，图象开口向上，排除A,C；

又/（0）=c<0,所以排除B；只有D符合.

19.已知二次函数〃尤）的图象的顶点坐标是（2,2）,且截x轴所得线段的长度是4,将函数/（x）的图象向右

平移2个单位长度，得到抛物线y=g（x）,则抛物线y=g（尤）与y轴的交点是（）

A.（0,-8）B.（0,-6）C.（0,-2）D.（0,0）

【答案】B

【解析】因为二次函数/（x）的图象的顶点为（2,2）,

故/（X）的对称轴为直线工=2,

又Ax）的图象截了轴所得线段的长度是4,

所以了⑴的图象与x轴的交点坐标为（0,0）和（4,0）,

设/（x）=o（x—2）2+2（aw0）,将点（0,0）代入得a（-2）2+2=0,解得a=-；,

19

所以/（幻=一3（了一2）一+2,

因为g（元）的图象为Ax）的图象右移2个单位得到的，

11

所以8（刈=/。-2）=-万（》一2-2）9一+2=-5（*一4）92+2,

19

令x=0,贝Uy=g（0）=_5（0_4y+2=_6,

所以g（尤）与V轴交点生标为（0,-6）.

故选：B.

20.已知函数/（x）=ax?+2办-3（。>0）,贝！|（）

A./(O)>/(l)B./(-2)>/(4)C./(-3)>/(I)D./M)>/(1)

【答案】C

【解析】/(x)=ox?+2。％—3(〃>。)对称轴为x=—l,

则/(九)在(-上单调递减，在［―1,+℃)上是单调递增,

A：/(0)</(1),故A错误；

B：/(-2)=/(0)</(4),故B错误；

C：/(1)=/(-3),故C错误；

D：/(l)=/(—3)</(T),故D正确.

21.(2024・高三・上海•期中)已知函数〃尤)=-炉+7次-2在(9,2］上是严格增函数，则实数加的取值范围

是.

【答案】［4,+8)

【解析】由题意葭22,解得机24,

故答案为：［4,+8).

题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题

22.已知函数=f-次+3(6eR).

⑴若在区间卜3』上单调递减，求6的取值范围；

⑵若/(x)在区间［-2,2］上的最大值为9,求b的值.

【解析】(1)由题意得，二次函数/(x)=V-2区+3(人eR)的图象开口向上，对称轴为直线x=b,

•.•函数〃力在卜3,1］上是单调递减,则

的取值范围是［1,+助.

(2)由题意得，当622时，函数在区间［-2,2］上单调递减，

则八了)皿=八一2)=4+46+3=9,解得6=；,不合题意，舍去；

当6V-2时，函数〃力在区间［-2,2］上单调递增,

贝U/(x)1mx=/(2)=4-46+3=9,解得。=一;，不合题意，舍去；

当-2<匕<2时，函数在区间［-2M上单调递减，在区间修,2］上单调递增，

则〃x)a在“一2)或7(2)中取得,X/(-2)=7+4&,于⑵=7-4b,

...当0<b<2时，/(^)_=/(-2)=9,解得

当-2<6<0时，/⑺1mx=〃2)=9,解得)=q；

当6=。时，/(-2)=7=/(2),显然不合题意；

综上所述，b=+^.

23.已知函数/(x)=7?+"一a.

(1)若/*)的最大值为0,求实数a的值；

⑵设〃x)在区间［0,2］上的最大值为M(a),求M⑷的表达式；

(3)令g(x)=-d»,若g(x)在区间［1,2］上的最小值为1,求正实数。的取值范围.

X

【角军析】(1)/(X)=—12+QX-4=一［1一晟］+-^--a,

2

因为f(x)的最大值为0,所以^--。=0,

4

所以a=0或a=4.

(2)函数/5)=-/+办-。的对称轴为x=1,

当■|《0,即aVO时，/。)在［0,2］上是减函数，所以M(a)=/(0)=—a；

当0<4<2,即0<a<4时,

2

当xe§2时，/(X)是减函数，当xe0,为时，〃x)是增函数，

所以加6)=(£|=?-4；

当■|Z2,即a"时，Ax)在［0,2］上是增函数，所以M(a)=/(2)=a—4,

-a,a<0

所以“(〃)=<不一〃,〃£(0,4).

a-4,a>4

(3)由题意g(x)=_")=XT--a,

XX

令x=3可得尤=夜，简图如下，

X

0Jax

当0<&Vl时，即0<aWl时，g(x)在xe［l,2］是增函数，

所以g⑴=l+a-a=l,成立.

当1<C<2时，即1<。<4时，

g(x)在［1,可上是减函数，在［«,2］上是增函数，

所以g+—。=1,解得。=1,不成立；

当&N2时，即时，g(x)在口,2］上是减函数，

所以g(2)=2+；a-a=l,解得a=2,不成立；

综上所述，Ova<l.

24.已知函数/(x)=x2-2ax+a(aGR).

⑴若函数/(X)在［2a-4,2°-1］上单调，求。的取值范围：

(2)是否存在实数。，使得函数/(力在区间「U］上的最小值为-2?若存在，求出。的值；若不存在，请说明

理由.

【解析】(1)由题意可得〃力=/-2依+4(。€11)开口向上，对称轴*=_==°,

二函数在(TO,。)上单调递减，在(见也)上单调递增，

;函数/(X)在［2o-4,2a-l］上单调，

/.2a—l<a^2a—4>a,

角军得a<1或a之4,

。的取值范围为:(-00/］。［4,+8)

(2)由题意可得/(x)=f—2ar+a(awR)开口向上，对称轴工=-.=。，函数在对称轴处取最小值,

f(x)inin=f(a)-a-2a-a+a--ar+a,

若函数在区间［-1」上的最小值为-2,

则/(x)min=—/+aV—2，解得：aV-1或a22,

当aMT时，/(无)在区间［Tl］上单调递增，

此时函数的最小值为/(_l)=(_l)2_2ox(_l)+o=3q+］=_2,

解得：a=—\,

当时，〃x)在区间［-M］上单调递减，

此时函数的最小值为/(1)=P—2axl+a=—a+l=—2,

解得：a=3,

综上，存在实数。=-1或”=3,使得函数/*)在区间［-M］上的最小值为-2

题型七：二次方程实根的分布及条件

25.(2024•高三・陕西商洛•期中)若〃eN*,则一元二次方程2/+3犬+”=0有整数根的充要条件是()

A.n=\B.n=2C.九=1或"=4D.〃=3或〃=4

【答案】B

【解析】由2炉+3尤+"=0,得〃=-2必-3尤.

作出函数/(x)=-2尤之一3》的图象，

99

即

<<又N*

由图可知,-8--8-€

所以〃=1.

当”=1时，方程2/+3x+l=0有整数解封-1.

综上，”=1是方程有整数解的充要条件.

故选;A.

26.若关于x的一元二次方程/-2分+4=0有两个实根，且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a

的取值范围是.

【答案】(［，+oo)

【解析】"&f(x)=x2-2ax+A-,

A=4«2-16>0

由题意，/⑴=1-2a+4<0,解得*,

/(2)=4-4a+4<0一

故答案为：(­,+°°).

27.方程一一2依+4=0的两根均大于1,则实数"的取值范围是

【答案】［2,|)

【解析】一2办+4=0的两个根都大于1

a>\

.-.<5-2a>0,解得2Wa<9

A=4a2-16>02

可求得实数。的取值范围为⑵》

故答案为：⑵》

题型八：二次函数最大值的最小值问题

28.已知函数/'(x)=x?-x-3.

(1)求函数Ax)的单调区间；

(2)当xe［0,3］时，求证：x-4<f(x)<x-

⑶设/。)=|/(尤)-(x+a)|("R),及"幻在区间［0,3］上的最大值为M(a).当M(a)最小值，求“的值.

【解析】(1)f(x)=x2-x-3,故开口向上，且对称轴为x=g,

故单调递减区间为‘巴g,单调递增区间为g,+，|;

(2)由题意可知，问题转化为xe［1,3］时，x-4</(%),且/(尤)4元恒成立，

即g(x)=/-2工+12。，M/i(x)=x2-2x-3<0,在区间［1,3］上恒成立，

因为以幻=(%T)&0显然恒成立，

/l(X)=(X-l)2-4,开口向上，且对称轴为％=1,故人(X)max="(3)=0,

即/z(x)W0恒成立，故原不等式成立；

（3）/（%）二|——2%-（3+a）|,

函数y=%2—2%—（3+Q）=（%—1）2—（4+a）在［1,3］上单调递增，

/、口4+〃|,|4+〃|N|司

故x=l时，%„=，〃，x=3时，月〒以M（°）=储,|4+4<问

4+Q,Q2—2

化简得知(。)=，

|a|,a<-2

可知，心一2时，M(a)>2；。<一2时，M［a}>2,

故。=-2时，”(a)取得最小值2.

29.已知函数/(x)=f+依+匕的图象经过点(0,—3)和(一1,-1).

⑴求函数/(尤)的解析式;

（2）当xe［0,3］时，求证：x-4<f（x）<x-

⑶设厂(同=|〃尤)-(尤+c)|(ceR),记网无)在区间［0,3］上的最大值为"(c).当M(c)最小时，求c的值.

b=-3a=-1

【解析】(1)由已知得,,解得

l-a+b=-1b=—3

■■函数/(X)的解析式为/(X)=X2-X-3.

(2)々g(x)=/(x)—x=x2—2x-3,xe［0,3］,

则二次函数g(x)的对称轴为x=L

所以g(无)在区间［。,1］上单调递减，在区间［1,3］上单调递增，

所以当x=l时，g(x)取得最小值g(D=-4,

又g(0)=-3,g(3)=0,所以x=3时，g(x)取得最大值g(3)=0,

所以-44g(x)40,即x-4W/(x)Wx.

(3)由(2)知，F(x)=|/(%)-(x+c)|=|g(x)-c|,

令f=g(x),则问题转化为求y=”c|在［TO］上的最大值,

易知y=〉-c|关于f=c，作出图象如下，

当c<—2时，当年0时，y=>—d取得最大值，则M(c)=|O—c|=—c>2,

当c>-2时，当f=T时，y=，-c|取得最大值，M(c)=|-4-c|=4+c>2,

当c=-2时，当/=0或r=-4时，y=>-c|取得最大值，M(c)=2,

综上，当加⑹最小时，c=—2.

1.(2024•北京朝阳•一模)已知aeR,贝U"O<a<l”是“函数=。)三在R上单调递增”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】对于函数〃x)=(l—a/

当a=l时，/(x)=0,为常数函数，

当时,l-a<0,函数/(%)=(1-。)6在R上单调递减,

当a<l时，1-。>0,函数/=在R上单调递增，

所以是“函数”出=(1-。卜3在R上单调递增，，的充分而不必要条件

故选：A.

x2+x,-2<x<0

2.(2024•北京西城・一模)已知函数/(x)=，若〃尤)存在最小值，贝⑶的最大值为(

-y/x,0<x<c

11-1C1

A.——B.-C.一D.：

16842

【答案】B

【解析】当—2<x<0时，/(x)=/+x=\+£|-1,故当x=时，/(无)有最小值为一：；

0〈尤vc时，，(九)=-4单调递减，所以一五

由题意/(%)存在最小值，则-后之-7，解得。<(:4定,即。的最大值为二.

41616

故选：A

3.(2024・广东・一模)已知集合4=[-