2025届高考数学一轮复习：概率 专项练习

单元质检卷十概率

（时间：100分钟满分:150分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.

78

8618

91578

为了解某年级400名女生五十米短跑状况,从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试,她们

的测试成果（单位:秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生

五十米跑成果及格（及格成果为9.4秒）的人数为（）

A.150B.250C.200D.50

2.某学校在校学生2000人，为了学生的“德、智、体”全面发展，学校实行了跑步和登山竞赛活

动,每人都参与而且只参与其中一项竞赛,各年级参与竞赛的人数状况如下表：

高高高

年级

跑步

abC

人数

登山

XZ

人数y

1

其中a：6：cW：5：3,全校参与登山的人数占总人数的不为了了解学生对本次活动的满足程度,从

中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取（）

A.15人B.30人C.40人D.45人

3.一试验田某种作物一株生长果实个数x听从正态分布M90,。，且p（x<70）=0.2,从试验田中随

机抽取10株,果实个数在［90,110］的株数记作随机变量X且X听从二项分布,则才的方差为（）

A.3B.2.1C.0.3D.0.21

4.有朋自远方来，他乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,他乘坐上述四种交

通工具迟到的概率依次分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为（）

A.0.65B.0.075C.0.145D.0

5.8张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5、6、7、8,从中随机取出2张，记事务/="所取2张卡

片上的数字之和为偶数”，事务炉“所取2张卡片上的数字之和小于9"，则=（）

6.排球竞赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球竞赛中，甲队在每局竞赛中获胜的概率都相

2

等，均为方前2局中乙队以2：0领先，则最终乙队获胜的概率是（）

4191140

A.gB.万C.万D81

7.

写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种，用以区分筹算与珠算，它由明代数学家吴敬在其撰写

的《九章算法比类大全》一书中提出，是从天元式的乘法演化而来.例如计算89X65,将被乘数89

计入上行,乘数65计入右行.然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应

的格子中，最终从右下方起先按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图，即得5785.类比此法画出

648X345的表格,若从表内（表周边数据不算在内）任取一数,则恰取到奇数的概率是（）

51132

A.布B.3C18D.3

8.某人射击一发子弹的命中率为0.8,现他射击19发子弹,理论和实践都表明,这19发子弹中命中

目标的子弹数n的概率〃力）如下表,那么在他射击完19发子弹后,其中击中目标的子弹数最大可能

是（）

n01・・・k.・・19

c战.8"o.2必

1918・・・・・・19

f5)0.2C190.810.2k0.8

A.14发B.15发C.16发D.15或16发

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随

机取出一球放入乙罐,分别以4,4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事务;再从乙罐

中随机取出一球，以夕表示由乙罐取出的球是红球的事务,则下列结论中正确的是（）

A.m二0

//\5

B・P(B]AJ二五

C.事务方与事务4相互独立

D.4,4,4是两两互斥的事务

10.某老师退休前后各类支出状况如下，已知退休前工资收入为8000元用，退休后每月储蓄的金

额比退休前每月储蓄的金额少1500元,则下面结论中正确的是（）

退休前各类支出占比退休后各类支出占比

A.该老师退休前每月储蓄支出2400元

B.该老师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍

C.该老师退休后工资收入为6000元/月

D.该老师退休后的其他支出比退休前的其他支出少

11.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户利用精准扶贫政策,贷款承包了一个新型温室鲜

花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别听从正态分布

Mp,302）和M280,4（）2）,则下列选项正确的是（）

附:若随机变量才听从正态分布MP,吟，则尸（〃-。W后口+。）P0.683.

A.若红玫瑰日销售量范围在［P-30,280］的概率是0.683,则红玫瑰日销售量的平均数约为250

B.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

C.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

D.白玫瑰日销售量范围在［280,320］的概率约为0.3415

12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论,其中正确的命题有（）

3

A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是§

on

B.从中有放回地取球6次,每次任取一球，恰好有两次白球的概率为艰

2

C.现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,其次次再次取到红球的概率为G

26

D.从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为方

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.辑子是客家传统农具,南方农夫犁开田地后,仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辑轴,两侧装

上木板,人跨开两脚站立,既能驾驭平衡,又能增加重量,让牛拉动辑轴前进,压碎土块，以利于耕种.

这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放

回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为.

14.随机变量f的分布列如下表：

401

1

1

PaL

4

若£（4）项则2（

15.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概

437

率为土乙及格的概率为引丙及格的概率为卅三人各答一次,则三人中只有一人及格的概率

为—.

16.抛一枚质地匀称的硬币，正、反面出现的概率都是;,反复这样的抛掷,数列｛aj定义如

”(第n次抛掷出现正面)，

下：-1(第n次抛掷出现反面)，若j%(〃GN+),则事务“氏=2”的概率为;事

务“SWO且小切'的概率为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在某亲子嬉戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有4个小球，小球上分别

写有0,1,2,3的数字，小球除数字外其他完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,登

记数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,登记小球上数字将小球放回.抽奖活动的嘉奖

规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于4,则嘉奖飞机玩具一个;彝取出的两个小球上数字

之积在区间［1,4］上,则嘉奖汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1,则嘉奖饮料一瓶

(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率.

(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.

18.(12分)某市为了在全市营造“奢侈可耻、节约为荣”的氛围，制定施行“光盘行动”有关政策,

为进一步了解此项政策对市民的影响程度,市政府在全市随机抽取了100名市民进行调查,其中男

士与女士的人数之比为3：2,男士中有10人表示政策无效,女士中有25人表示政策有效.

(1)依据下列2X2列联表写出a和6的值,并推断能否有99%的把握认为“政策是否有效与性别有

关”；

性政策政策总

别

有效无效计

男

生a10

女

生25b

合

100

计

(2)从被调查的市民中,实行分层抽样方法抽取10名市民,再从这10名市民中随意抽取4名，对政

策的有效性进行调研分析,设随机变量才表示抽取到的4名市民中女士的人数,求X的分布列及数

学期望.

2_n(ad-be)2

参考公式:'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)5=a+b+c+d).

a=P(x2>Jd0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828

19.(12分)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了运用该型号

电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年

龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归

为6组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中表示/组的客

户，表示8组的客户.

实际续航里程/km

450

400

350

300

250

200

10203040506070年龄/岁

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.

(1)记46两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为勿依据图中数据，试

比较m,n的大小(结论不要求证明)；

(2)从A,6两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A组的客户的概率；

(3)假如客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”，从

46两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为求随机变量f的分布列及其数学

期望£(9.

20.（12分）交强险是车主必需为机动车购买的险种,若一般6座以下私家车投保交强险第一年的费

用（基准保费）统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路

交通事故的状况相联系,发生交通事故的次数越多，费率就越高,详细浮动状况如表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表

浮动比

浮动因素

率

下浮

A\上一个年度未发生有责任道路交通事故

10%

下浮

.1-上两个年度未发生有责任道路交通事故

20%

上三个及以上年度未发生有责任道路交通下浮

儿

事故30%

上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的

/I0%

道路交通事故

上一个年度发生两次及两次以上有责任道上浮

路交通事故10%

上浮

上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

30%

某机构为了解某一品牌一般6座以下私家车的投保状况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌

同型号私家车的下一年续保时的状况,统计如下表：

类

4及444A(5

型

数

201010302010

量

以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题：

(1)依据我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定,aK50(元)，记X为某

同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求才的分布列与数学期望.

(2)某二手车销售商特地销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记

为事故车,假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事故车盈利10000元.

①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

葬该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.

21.(12分)某公司年会实行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有

大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球，抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的

小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同，则获得二等奖,奖金为200元;

若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.

(1)求小张在这次活动中获得的奖金数才的分布列及数学期望；

(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.

22.（12分）某市为了制定扶贫战略,统计了全市1000户农村贫困家庭的年纯收入,并绘制了如下频

率分布直方图：

0

5791113151719家庭年纯收入/千元

(1)若这1000户家庭中,家庭年纯收入不低于5千元,且不超过7千元的户数为40户，请补全频率

分布图,并求出这1000户家庭的年纯收入的平均值立同一组数据用该组数据区间的中点值表示);

(2)由频率分布直方图，可以认为这1000户的家庭年纯收入才听从正态分布/),其中〃近

似为年纯收入的平均值耳/近似为样本方差，经计算知26;设该市的脱贫标准为家庭年纯收

入为x千元(即家庭年纯收入不低于x千元,则该户家庭实现脱贫,否则未能脱贫)，若依据此正态分

布估计,这1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,试求该市的脱贫标准x;

(3)若该市为了加大扶贫力度,拟投入一笔资金,帮助未脱贫家庭脱贫,脱贫家庭巩固脱贫成果,真正

做到“全面小康路上一个也不能少”，方案如下:对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭

赐予扶持资金15千元,对家庭年纯收入超过5.92千元，但不超过8.96千元的家庭每户家庭赐予扶

持资金12千元,对家庭年纯收入超过8.96千元，但不超过15.04千元的家庭每户家庭赐予扶持资

金8千元,对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持,设厂为每户家庭获得的扶持资

金,求金。(结果精确到0.001).

附：若随机变量X~N(P,d),贝I］尸(〃-。W於口+。)々0.683,尸(〃-

2口畛。)­0.954,J9.26-3.04.

参考答案

单元质检卷十概率

1.B由茎叶图可知,成果在9.4秒以内的都为合格,即合格率为户］,故估计该年级女生五十米跑成

果及格的人数为400x|^50.

2.D全校参与登山的人数是2000x5=500,所以参与跑步的人数是1500,应抽取

150033,,.

2000X200x2+5+3=。5°X正旦5(人),

3.B：XN(90,/),且尸(x<70)4).2,

.:尸(x>110)4).2,.:2(90WxW110)54).2=0.3,.：T^(10,0.3),1的方差为10X0.3X(1-

0.3)=2.1.故选B.

4.C设事务4为“他乘火车来”，4为“他乘船来”，4为“他乘汽车来”，4为“他乘飞机来”，8

为“他迟到”.易见4,4,4,4构成一个完备事务组，由全概率公式得

4

户(面=E户(4)户(6/4)=0.3X0.25X).2X0.34).1X0.14).4X04).145.

i=1

5.C事务AB为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(a,6)为一个样本点,则事务AB

包含的样本点有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6个，由古典概型的概率公式可得

63

P(岫=正=苒事务/为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶

2Q?QP(AR)371

数，由古典概型的概率公式可得?(⑷=焉=另因此,尸，〃)=/正丁=五X3=2,故选C.

6.B最终乙队获胜事务含3种状况:第三局乙胜,其概率为:第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为

U=系第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜铲x：=［故最终乙队获胜的概率

_12419

+9+27=27.

7.A依据题意,结合范例画出648X345的表格，从表格中可以看出，共有18个数，

其中奇数有5个,所以从表内任取一数，恰取到奇数的概率为P=^.

8.D依据题意,设第k发子弹击中目标的概率最大,而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率

P（n=Jd=C19'O.8k•0.21W（^=O,1,2,19）,则有f（心且『（»f（bl）,即

’C行•0.8fe•0,219-k>Ck^«0.8k+1♦0,218-£

[C舟•0.8k•0.219'k>Cfc191•0.8k—1♦0.220-k,

可解得15WAW16,

即第15或16发子弹击中目标的可能性最大,则他射完19发子弹后,击中目标的子弹数最可能

是15或16发.

9.BD易见Ai,A2,4是两两互斥的事务,故D正确，户（6/4）=故B正确，

5524349

户（8）=P（BA）+P（BA。+P（BA。节x五+记x五+而又五=五故A不正确，事务B与事务A不相

互独立，故C不正确，故选BD.

10.ACD因为退休前工资收入为8000元加，每月储蓄的金额占30%,则该老师退休前每月储蓄支出

8000X30%=2400（元），故A正确；

因为退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元,则该老师退休后每月储蓄的

金额为900元,所以该老师退休后工资收入为卷=6000（元次），故C正确；

该老师退休前的旅行支出为8000X5%-400（元），退休后的旅行支出为6000X15%300（元），

所以该老师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍,故B错误；

该老师退休前的其他支出为8000X20%=1600（元），退休后的其他支出为6000X25%=1500（元），

所以该老师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D正确.

11.ACD对于选项A,P+30480,P之50,正确；对于选项B,C,利用。越小越集中，30小于40,B不

正确,C正确;对于选项D,由于白玫瑰的日销量才听从正态分布M280,402）,所以

R280W启320）«0.683x|=0.3415,正确.

C2cl3

12.ABD选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是<=不故正确;选项B,从中有放回的取球6

L6°

次,每次任取一球,每次抽到白球的概率为d2=13>则恰好有两次白球的概率为廉X（/?3）\4X（z3ix）2=再80，故

正确;选项C,现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,其次次再次取到红

C1CJ3

球的概率为m=不故错误;选项D,从中有放回的取球3次,每次任取一球,每次抽到红球的概率为

42zi\326

6=31则至少有一次取到红球的概率为1-4XkJ=而故正确.

1

13.4记布施,持戒,忍辱,精进,禅定,般若分别为a,b,c,d,e,f,则样本点有

(a,a),(a,6),(a,c),(a,d),(a,e),但力，(6,a),(仇6),(b,。，(b,d)、(b,e),(6,力，(c,a),(c,H),(

c,c),(G(c,e),(G6,(d,协，(d,0,(d,6),(d,d),(d,0,(d,$,(e,a),(e,6),(e,c),(e,d),(e

,e),(e,力，(fa),(£6),(fc),(£H,(£e),(f8,共36个,其中符合条件的有6个,故所求概率

P-—6—-1

厂366,

14.；:'£(f)4),由表中数据可知E(f)=(T)xXb=O,解得尾.又;为31,.：悬.所以

D(f)^(-1-0)2xx|^(l-0)2x

1547.而因为甲及格的概率为4土乙及格的概率3为亨丙及格的概率为7而所以仅甲及格的概率为4$x[11-

|)乂(1彳)二亮;仅乙及格的概率为(X|X(1彳)二六;仅丙及格的概率为(ifx(1-

Jx元=谢.三人中只有一•人及格的概率为碗+须+谢=谢・

713

16.亚谈事务国之表示反复抛掷8次硬币，其中出现正面的次数是5次.其概率

9=福；)5乂(；卜=]事务“&WO,友之”表示前两次全正或全负,

则概率为

17.解(1)样本点总数有16个,分别为

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(

3,2),⑶3),记“获得飞机玩具”为事务A,则事务/包含的样本点有3个,分别为

3

(2,3),(3,2),(3,3),•：每对亲子获得飞机玩具的概率分石

(2)记”获得汽车玩具”为事务用“获得饮料”为事务C事务8包含的样本点有6个,分别为

63

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),.：每对亲子获得汽车玩具的概率P(因=花=由每对亲子获

7

得饮料的概率pg=i-pu)-m=而.：每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率.

32

18.解(1)由题意知，男士人数为100xj=60,女士人数为100x§=10,

由此填写2X2列联表如下：

-

性政策政策总

别

有效无效计

男

501060

生

女251540

生

合

7525100

计

可知a=50,6=15.由表中数据,计算靖芍,556<6.635.所以没有99%的把握

出塞60X4黑0X75彘X253

认为“政策是否有效与性别有关”.

（2）从被调查的该餐饮机构的市民中,利用分层抽样抽取10名市民，

男士抽取6人,女士抽取4人，

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,

/、禺1z、C|Ci8,、ClCl3

产（才力）=昂=而?（才=1）=鬲=五,P（X=^=鬲=7，

C1C14Cl1

尸（案）=不=而，产（口）=晶=210-

所以X的分布列为

,101234

18341

/

1421735210

[834]8

数学期望为£（田0x逋+1x五+2x尹3x而幽x五^=J.

19.解⑴0S

（2）设“从抽取的20位客户中随意抽取2位,至少有一位是4组的客户”为事务成则

CinCio+CHJ29__29

P（心二荔二菊所以从抽取的20位客户中随意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是靠

（3）依题意f的可能取值为0,1,2.

_CKb_18

则P(f=0)=甬二君;

CjCg+C9C213

尸（”1）CiCA=50；

GG1

所以随机变量f的分布列为

012

18131

P

25505()

-1o1o133

所以随机变量f的数学期望£（f）力x芯+1x元+2x元=质即£（9十

20.解（1）由题意可知,*的可能取值为0.9a,0.8昆0.la,a,1.laf1.3a,由统计数据可

111311

知:尸(左=0.9向与〃(六0.8a)二记尸(六0.7向二mP1X右二用P(X=1.la)=g,P(X=1.3a)二为

・：才的分布列为

,10.9a0.8a0.7aa1.1.3a

111311

/-

51010To510

,.1113119.8

/•E\X)2=0.9axg勾.8axA).7axM+HX正+1.laxg+L3dx而=^■z=931.

3

（2）①由统计数据可知随意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为再三辆车中至

多有一辆事故车的概率为P=C晾）°（1比亮）।（12784.

②设r为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，F的可能取值为3000,10000,尸（片-

一、3

5000）二为

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E⑴=^000x诃到0000x百=5500..：该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利

润的期望值为100£（D书50000（元）书5