2024年中考数学复习：与圆的位置有关的辅助线模型复习讲义

与圆的位置有关的辅助线模型复习讲义

直线与圆的位置关系几乎是中考必考题目，一般考查切线的判定与性质的问题最多，本节重点讲解圆的切线的

性质与判定方法，以及与切线相关的圆的几何计算问题.

作切线辅助线的方法：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，作垂直，证半径.

模型有切点连圆心

场景：如图，AB是圆0的切线，切点为点A.

作辅助线方法：连接0A.

结论：OA_LAB.

应用：已知有切线时,

⑴连接过切点的半径，利用切线的性质解题；

(2)构造直角三角形，连接过切点的半径，半径、切线长、点心线(圆心与圆外点的连线)组成直角三角形.

证明切线时,

(1)当已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心得半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；

⑵如果不知直线与圆是否有交点，可先过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.

切线问题和直角有关，所以经常和直径所对的圆周角结合使用.

精选例题

例1.如图,AB是。O的直径，直线DE与。。相切于点C,过点A,B分别作AD1DE,BE±DE,为点D,E,连

接AC,BC.若AD=V3,CF=3,则前的长为（）.

B.—n

A乎3

「V3n26

C.—7TD.——71

23

解析

已知点c是切点，连接0C,可得（0C1DE,,由“一线三等角”相似模型可得△ADCACEB,从而得tan乙48c

=S=S=^=可即乙ABC=30°,ZXOC=60。,△是等边三角形，所以只需要求出半径（即A。就可求出答

ACAD

案.

解如图，连接OC.

•••AD1DE,BE1DE,・••/.ADC=乙CEB=90°.

・•・^DAC+^ACD=90°.

VAB是AO的直径,..•・乙4cB=90°.

•••AADC=乙CEB=90。,乙BCE=^DAC

ADC△CEB.

...££=££=卷=H=tanzBXC,

CAADy[3

：.ZBAC=60°,・,・ZABC=30°.

又・.・OA=OC,

AAOC是等边三角形,，ZACO=60°.

;直线DE与。O相切于点C,；.OC_LDE.

ZACD=90°-ZACO=30°,AAC=2AD=2V3.

AAOC是等边三角形,，OA=AC=2V3,ZAOC=60°.

一AC的长为篝了=竽兀故答案为竽兀.

例2.如图,BD是。O的直径,BA是。0的弦，过点A的切线交BD延长线于点C,OE±AB于点E,且AB=AC.

若CD=2/则OE的长为.

解析

根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线、直角三角形中30。角所对的直角边与斜边的关系、垂径定

理可以求得OE的长.由题可知，只要求出AD的长就可以求出OE的长，也可根据等角的余角相等，得到/DAC=

NB=/C,从而解答.

解法一如图，连接OA,AD.

•・・BD是。O的直径,BA是。。的弦，过点A的切线交BD延长线于点CQELAB于点E,

・•・ZDAB=90°,ZOAC=90°.

TAB二AC,・・・NB=NC.

在^ACO和^BAD中，

乙C=乙B,

AC=AB,

.Z.CAO=Z-BAD,

：.AACO^AABD(ASA).

二•AO=AD.

AO=OD,・•・AO=OD=AD.

••.△AOD是等边三角形.

ZADO=ZDAO=60°.

ZB=ZC=30°,ZOAE=30°,ZDAC=30°.

/.AD=DC.

VCD=2V2,.\AD=2V2.

•••点O为AD的中点，OEAD,OE^\AB.：.OE=V2.

故答案为V2.

解法二如图，连接OA,AD.

：BD是。。的直径,BA是。。的弦，过点A的切线交BD延长线于点C,OE，AB于点E,

ZDAB=90°,ZOAC=90°.

ZDAC+ZOAD=90°,ZB+ZADO=90°.

VOD=OA,.\ZDAC=ZB.

VAB=AC,.\ZC=ZB..\ZDAC=ZC.

AD=CD2a点O为BD的中点,OE〃AD,OE_LAB.

.\OE=V2.

例3.如图在RtAABC中,NACB=9(T,AC=6,BC=8,点D是AB的中点以CD为直径作。0,。0分别与AC,BC

交于点EF过点F作。O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.

就解析

利用勾股定理求出AB=10,进而求出CD=BD=5,再求出CF=4,进而求出DF=3,再判断出FGXBD,利用面积公

式即可得出结论.

解如图在RtAABC中,根据勾股定理，得AB=10.

.••点D是AB中点.

1

CD=BD=-AB=5.

2

连接DF.

CD是。O的直径,ZCFD=90°.

BF=CF=-BC=4./.DF=VCD2-CF2=3.

2

连接OF.

,.,OC=OD,CF=BF,JOF〃AB,ZOFC=ZB.

VFG是。O的切线,・•・ZOFG=90°.

・•・ZOFC+ZBFG=90°.AZBFG+ZB=90°,FG±AB.

・•.SBDF=xBF=三BDxFG.

DFXBF3X412

・•・FG=----=——=—,

BD55

故答案为y.

精选练习

1.如图,△ABC的内切圆。O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分（即四边形A

EOF）的面积是（）.

如图,AB为。O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作。O的切线PE,切点为点M,过A,B两点分别作

PE的垂线AC,BD,垂足分别为点C,D,连接AM,则下列结论:①AM平分.^CAB-@AM2=AC-AB-@^

AB=4,/APE=30。,则.BM的长为g；；④若AC=3,BD=1,则有CM=DM=但其中正确的是（写出所有正确

结论的序号）.

5.2与圆的位置有关的辅助线模型

精选练习

1.解析一利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形,NA=90。,再利用切线的性质得到OF，AB,OE，AC,

所以四边形OFAE为正方形，设OE=AE=AF=x,利用切线长定理得到BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,所以5-r+12-r=13,然后

求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积.

解法一:：AB=5,BC=13,CA=12,

AB2+CA2=BC2.

AABC为直角三角形,/A=90。.

•••AB,AC与。O分别相切于点E,F,

-,.OF±AB,OE±AC.

.••四边形OFAE为正方形.

设OE=r,

则AE=AF=x.

VAABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,

BD=BF=5-r,CD=CE=12-r.

**.5-r+12-r=13.

5+12-13r

.・.r=--------------=2.

2

.,•阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2x2=4.

故选A.

解析二：同解法一，得到△ABC是直角三角形.连接0D,由。0是内切圆，可知ODLBC,且0D为半径，应用面积

法SABC=XAC=^(AB+BC+AC)Xr,可求出半径.

解法二：同解法一，知4ABC为直角三角形，ZA=90°.

如图，连接0D.

贝！］OD_LBC,且OD=OE=OF=r.

由SABC=5ABxAC=—+BC+AC)xT,

5xl2=(5+12+13)xr.

则r=2.

同解法一，可得阴影部分(即四边形AEOF)的面积是2x2=4.

2.解:如图，连接OM,BM.

〈PE是。O的切线，

.\OM±PE.

VAC±PE,

・・・AC〃OM.

ZCAM=ZAMO.

VOA=OM,

・•・ZAMO=ZMAO.

・•・ZCAM=ZMAO.

AAM平分NCAB.结论①正确.

VAB为直径，

・•・ZAMB=90°=ZACM.

ZCAM=ZMAB,

AAAMC^AABM.

.AC_AM

''AM-AB'

・•.AM2=AC•Ab.结论②正确.

ZP=30°,

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