2024年中考数学复习：三角形几何综合题模型和方法复习讲义

三角形几何综合题模型和方法复习讲义

与三角形相关的综合题，经常考查相似三角的判定和性质、全等三角形的判定和腰三角形

本章综述的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等相关知识，解题的关键技巧是灵学知识解答问题，

必要时要添加辅助线.本章重点讲解几个与三角形全等相关的综合的模型和方法.

1.1几个常考的三角形题型

解题策略一与对角互补相关的线段和差的问题

对角互补模型详见"几种常见的全等模型"一节中的模型三.

对角互补模型的条件：在四边形中，对角互补，其中一个角的顶点在其对角的角平分线上.

其常用的作辅助线方法：

1.利用角平分线的性质作角两边的垂线，然后利用全等的判定和性质结合三角函数进行解答.

2.利用旋转的性质进行旋转，然后利用全等的性质和锐角三角函数进行解答.

精选例题

例在图1,2,3中，已知平行四边形ABCD/ABC=120：,点E为线段BC上的动点，连接AE,以AE为边向

上作菱形AEFG,且ZEAG=120°

Q)如图L当点E与点B

(2)如图2,连接AF.

①填空：NZFAD='E4E3(填">""<"或"=")；

②求证:点F在48C的平分线上.

⑶如图3,连接EG,DG,并延长DG交BA的延长线于点H,当四边形AEGH是平行四边形时，求言的值.

解析

(1)根据菱形和平行四边形的性质计算；

(2)①证明NDAB=ZFAE=60；,根据围绕点A的"手拉手”模型可得到结论；

②NABE=120：4凡4=60：力尸=EF,,根据所证明的结论，可发现满足"对角互补"模型，根据角平分线

的判定定理，可作N4BC两边的垂线，参考"对角互补"模型证明即可；

⑶根据直角三角形的性质得到(GN=2AN,,证明四边形ABEH为菱形，再根据菱形的性质计算，得到答案.

解(1)；四边形AEFG是菱形,

.•.zAEF=180°-zEAG=60°.

.•.zCEF=zAEC-zAEF=60°;

(2)①•.•四边形ABCD是平行四边形，

.•.zDAB=180°-zABC=60°.

.・四边形AEFG是菱形/EAG=120°,

.".zFAE=60o.

..NFAD=NEAB;

②如答图L作FM^BC于点M,FN，BA交BA的延长线于点N.则NFNB=NFMB=90°.

..NNFM=60°.又NAFE=60°,

..NAFN=NEFM.

•.EF=EA,zFAE=60°,

••.MEF为等边三角形.

答图

.-.FA=FE.1

在AAFN和AEFM中，

NAFN=NEFM,

NFNA=NFME,

{FA=FE,

.“AFN学EFM(AAS).

..FN=FM.又FM±BC,FN±BA,

二点F在/ABC的平分线上；

⑶..四边形AEFG是菱形/EAG=120°,

.-.zAGF=60o.

.-.zFGE=zAGE=3O0.

1•四边形AEGH为平行四边形，

.-.GEIIAH.

..NGAH=NAGE=30°/H=NFGE=30°.

..NGAN=90。.又NAGE=30。，

.-.GN=2AN.

•.zDAB=60°,zH=30°,

.■.zADH=30°.

..AD=AH=GE.

•・四边形ABCD为平行四边形,

，BC=AD.

.-.BC=GE.

•.四边形ABEN为平行四边形/NAE=NEAB=30°,

，平行四边形ABEN为菱形.

..AB=AN=NE.

.'.GE=3AB.

精选练习

1.【定义】有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.

【理解】

(1)如图L点A,B,C在。0上/ABC的平分线交。。于点D,连接AD,CD.求证:四边形ABCD是等补四边形；

【探究】

(2)如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,连接AC,AC是否平分/BCD?请说明理由；

【运用】

⑶如图3,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角NEAD的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=5,求DF

2在AABC中,NBAC=90°,AB=AC,AD，BC于点D.

(1)如图L点M,N分别在AD,AB上，且NBMN=90。,当NAMN=3(T,AB=2时,求线段AM的长;

⑵如图2,点E,F分别在AB,AC上，且NEDF=90°,求证:BE=AF;

⑶如图3,点M在AD的延长线上，点N在AC上，且NBMN=90°,求证:.AB+AN=正AM.

解题策略二"手拉手”模型的应用

"手拉手”全等模型详见“旋转问题"一节中的模型一.

"手拉手”全等模型的条件：两个三角形是相似的等腰三角形，目共顶点.

其常用的方法：

1.利用"SAS"证明三角形全等.

2.利用全等的性质得到相等的角、边，然后作为条件解答其他相关问题.

精选例题

例【问题场景】如图L等腰AABC中,AB=AC/BAC=120。,作AD^BC于点D,则D为BC的中点ZBAD=|

NBAC=60。，于是些=陋=遮.

ABAB

【迁移应用】如图2,AABC和AADE者B是等腰三角形/BAC=NDAE=120°,D,E,C三点在同一条直线上，连接B

D.

(1)求证:MDB%AEC;

(2)请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式;

【拓展延伸】如图3,在菱形ABCD中/ABC=120。,在/ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接A

E并延长交BM于点F,连接CE,CF.

⑶证明《EF是等边三角形；

(4)若AE=5,CE=2,求BF的长.

图2

解析

(1)如图2,根据"手拉手"模型证明NDAB=NCAE,即可根据"SAS"解决问题;

⑵由"手拉手”模型可得由ADAB^EAC,可知BD=CE,在AADE中,借助图1及题干中的结论即可解决问题；

⑶如图3,作BH±AE于点H,连接BE.由BC=BE=BD=BA,FE=FC推出A,D,E,C四点共圆,利用同弧所对的圆周

角可得NADC=NAEC=120°,推出NFEC=60°,得出&EFC是等边三角形；

(4)结合前面结论可推出NBFH=30°,又已知AE=5,EC=EF=2,可构造直角三角形，利用三角函数进行解答.

解(1)证明:如答图1.

•.NBAC=NDAE=120。，

..NDAB=NEAC.

在ADAB和AEAC中，

rDA=EA,答图1

|NDAB=ZEAC,

(4B=AC,

.“DAB学EAC；

⑵结论：CD=WAD+BD.

理曲如答图L作AH±CD于点H.

・"DAB学EAC,

.-.BD=CE.

在GADH中,DH=AD-cos30°=—AD.

-,AD=AE,AH±DE,

.-.DH=HE.

.-.CD=DE+EC=2DH+BD=V3AD+BD;

⑶证明如答图2,作BH±AE于点H,连接BE.

•.四边形ABCD是菱形/ABC=120°,

.-.AABD,ABDC是等边三角形.

,-.BA=BD=BC.

■:点E,C关于BM对称，

.-.BC=BE=BD=BA,FE=FC.

--A,D,E,C四点共圆.答图2

.-.zADC=zAEC=120o.

.-.zFEC=60o.

••.△EFC是等边三角形；

(4)/AE=5,EC=EF=2,

/.AH=HE=-5FH=-9.

2t2

在RbBHF中,•.・NBFH=30。，

HF

—=cos30

BF

9

BF=+=3V3.

V

精选练习

1.如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)【概念理解】如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由；

(2)【性质探究】如图L四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC，BD试证明：AB2+CD2=AD2+BC2

⑶【解决问题】如图3,分别以RfACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,

连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.

图1图2图3

2.如图1,△力BC和△DCE都是等边三角形.

【探究发现】

（1）ABCD与△ACE是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.

【拓展运用】

⑵若B,C,E三点不在一条直线上，zADC=30°AD=3,CD=2”求BD的长.

⑶若B,C,E三点在一条直线上（如图2）,且.AABC和AOCE的边长分别为1和2,求△女0的面积及AD

的长.

解题策略三与中点相关的问题

与中点相关的模型详见"与中点有关的问题"中的模型.

当题目中出现中点时，通常有以下几种作辅助线的方法：

1.当题目中出现中线，且有线段的倍数关系时经常采用倍长法（倍长中线法）；

2.当题目中出现多个中点时，通常构造三角形的中位线；

3.当直角三角形中遇见斜边中点时，常联想到"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"，经常和中位线联

合应用；

4.等腰三角形中有底边中点时，要想到“三线合一”的性质；

5.三角形的中线平分三角形的面积.

精选例题

在AABC中，NABC=90。占=n,M是BC上一点，连接AM.

（1）如图L若n=l,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:BM=BN;

⑵过点B作BP^AM,点P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q

①如图2,若n=l,求证:£=

②如图3,若M是BC的中点，直接写出tan/BPQ的值（用含n的式子表示）.

图1图2图3

解析

(1)当n=l时,AB=BC/ABC=NCBN=90°,欲证明BM=BN,可证AABM2ACBN,所以只需再找至U两个三角形中一

组对应角相等即可，即延长AM;

⑵由⑴BM=BN,欲证葛=翳故只需证明=翳即可；

产QBQ"

(3)NBPQ不在直角三角形内，可考虑角的转化，找到或构造某个直角三角形中与NBPQ相等的角，由点M是

中点，可考虑倍长中线法，通过全等构造新的直角三角形，并找到与NBPQ相等的角.

解(1)证明:延长AM交CN于点H.

'.AM与CN垂直,NAHC=90。，

.•.zBAM+zN=90°,zBCN+zN=90°.

.-.zBAM=zBCN.

•.n=l,zABC=90°,

.­.AB=BC,zABC=zCBN.

...△ABM9CBN.

..BM=BN;

(2)①证明:过点C作CNIIBP交AB的延长线于点N,则AM与CN垂直

由⑴，得BM=BN.

•.CNllBP,

CP_NB

**PQ-BQ'

□CPBM

即n一=一；

PQBQ

circle!-.

n

理曲延长PM到点N,使得MN=PM,

易知APBM当NCM,

见|NCNM=NBPM=90。.

AR

•・•黄=n,BC=2BM,

AB「

/.—=2n.

BM

・「PB_LAM/ABM=90。,易证翳=翳=

设PM=MN=1,

贝UPB=CN=2n.

ncc.”nPN2PM21

tan/BPQ=tan/NCP=-=—=-=

精选练习

1.⑴如图L在四边形ABCD中,ABIIDC,点E是BC的中点，若AE是/BAD的平分线，试判断AB,AD,DC

之间的等量关系.

(1)AB,AD,DC之间的等量关系为；

(2)如图2,在四边形ABCD中,ABllCD,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点若AE是/BAF的平分线，

试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.

A

2.小明将两张直角三角形纸片如图1那样拼放在同一平面上，抽象出如图2的平面图形，NACB与4CD恰好

为对顶角，^ABC=NCDE=90:，连接BD,AB=BD„F是线段CE上一点

【探究发现】

（1）当F为线段CE的中点时，连接DF（如图2）,小明经过探究，得到结论：BD1DF..你认为此结论是否成

立？（填"是"或"否"）.

【拓展延伸】

（2）将⑴中的条件与结论互换，即BD1DF,,则F为线段CE的中点.请判断此结论是否成立.若成立，请写出

证明过程；若不成立，请说明理由.

【问题解决】

⑶若AB=6,CE=9,求AD的长.

解题策略四与"一线三等角"相关的问题

模型详见"几种常见的全等模型"之模型一、"常见的相似模型"之模型二；

通常有几种与"一线三等角"相关的作辅助线的方法：

L当题目中出现两个相等的角在一条直线上时，可以考虑在该直线上作第三个等角；

2.当题目中出现等腰直角三角形（出现45。角可考虑先作直角三角形）时，可以考虑围绕直角顶点作"‘一线三

等角’全等模型一直角模型"；

3.当题目中出现围绕某个角应用相似时，可以考虑围绕这个角构造"一线三等角"相似模型.

精选例题

例在AABC中/ABC=90°.

⑴如图1,分别过A,C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M,N,求证：AABMiBCN;

⑵如图2,P是边BC上一点NBaP=NC,tan4MC=W，求tanC的值；

⑶如图3,D是边CA延长线上一点，AE=AB/DEB=90°,sin^BAC=|噌=|,直接写出tan/CEB的值.

解析

(1)本题是典型的"一线三等角"相似模型，直接解答即可；

(2)NABC=90。，可以考虑围绕点B,P构造"一线三等角"相似模型进行解答；

⑶NDEB=90%ABC=90。,且点E,B在同一条直线上，可以构造"一线三等角"相似模型.

解Q)[AM，MN,CN，MN,

..NAMB=NBNC=90°.

.-.zBAM+zABM=90o.

•.zABC=90°,

.•.zABM+zCBN=90°.

.-.zBAM=zCBN.

■.zAMB=zBNC,

;.AABM"BCN;

⑵如答图L过点p作PF_LAP交AC于点F,过点F作FQ_LBC,垂足为点Q.A

在RtAAFP中，tan血C若=等6

同(1)的方法得AABP-APQF.

AB_BP_AP_V5BpQ

"PQ-FQ~PF-2'

设4B=0,PQ=2a,BP=乘b,FQ=2b(a)0,b>0)答图1

•.zBAP=zC,zB=zCQF=90°,

.“ABPSACQF.

...££=a...CQ=3=2a.

ABPB<PB

,o

,.,BC=BP+PQ+CQ=V5b+2a+2a=4a+V5b/X/zBAP=zC/zB=zB=90z

.•.△ABPiCBA.

tAB_BP

''BC~AB'_

ncAB-AB5a2V5a2

・••BC=------=-p-=------.

BPVsz?b

4a+V5b=,a=V5i>.

.,.BC=4xV5b+V5b=5V5bzAB=V5a=5b.

.•在RtAABC中，tanC=M=学

DCD

⑶在RbABC中，sin血IC=:=(.

如答图2,过点A作AGJ_BE于点G,过点C作CH^BE交EB的延长线于点H.

•.zDEB=90°,

.-.CHllAGllDE.

.GH_AC_5

''EG~AD~2

同⑴的方法厝AABGSABCH.

.BG_AG_AB_4

''CH~BH~BC~3

设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n.

/AB=AE;AG±BE,

答图2

/.EG=BG=4m.

/.GH=BG+BH=4m+3n.

4m+3n_5

----=~.

4m2

..n=2m.

/.EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m.

.•在RfCEH中，tan/BEC卷=套

精选练习

1.(1)如图L在四边形ABCD中/B=NC=90°,P是BC上一点,PA=PD/APD=90°.求证:AB+CD=BC;

⑵如图2,在四边形ABCD中/B=NC=45°,P是BC上一点,PA=PD/APD=90°.求玛丝的值.

DC

2.如图，在边长为4的正方形ABCD中点E为对角线AC上一动点(点E与点A,C不重合)，连接DE,作EF，D

E交射线BA于点F,过点E作MNIIBC分别交CD,AB于点MN作射线DF交射线CA于点G.

⑴求证:EF=DE;

(2)当AF=2时，求GE的长.

1.2其他常考的三角形问题

解题策略

利用等腰三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角形函数等相关知识求解三角形的相关问题，解题的关键是

根据相关条件推导角的度数，由角结合三角函数、直角三角形勾股定理等进行解答.

精选例题

例(2018南充)如图,在矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得至I」矩形ABCD,使点B的对应点

B'落在AC上,B'C交AD于点E,在B'C上取点F,使B'F=AB.

(1)求证：AE=CE;

(2)求NFBB'的度数;

⑶已知AB=2,求BF的长.

解析

⑴在RfABC中，由AC=2AB得到NACB=30。,再由折叠的性质得到一对角相等,利用等角对等边即可得证；

(2)由(1)得到AABB，为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°,即可求出所求角的度数；

(3)由AB=2彳导到BB=B，F=2/B，BF=15。,作其外角可得30。,然后构造直角三角形应用勾股定理解答.

解⑴证明:如答图L..在RbABC中,AC=2AB,

.•.zACB=zAC,B,=30o,zBAC=60°.

由旋转，可得AB'=AB,zB'AC=zBAC=60°.

.•.zEAC'=zAC'B'=30o.

.■.AE=C'E;

(2)解油⑴得到AABB为等边三角形,

..NAB'B=60°.

..NAB'F=90°,

.•.zBB'F=150o,B'F=AB=BB'..-.zFBB'=15o;D'

⑶解:由AB=2得到BB=BT=2/BBF=15。.如答图2,过点F作FG±BB'^BB，的延长线于

点G「.NFB'G=30°.

在RbFB'G中,cos^FBG=cos30-=—=当即BG=yXBF=yX2=♦，求得F

G=I.BF仁7

___________I---------------------------------------答图2

贝!]BF=VBG2+FG2=J(2+b)+I?=78+4A/3

=J历"+2/S","+笈2

=J(V6+V2)2

=V2+y/6.

精选练习

1.在等腰AABC中,AB=BC,点D,E在射线BA上,BD=DE,过点E作EFuBC,交射线CA于点F.请解答下列问

题：

(1)当点E在线段AB±,CD是MCB的角平分线时，如图L求证:AE+BC=CF(提示延长CD,FE交于点M);

(2)当点E在线段BA的延长线上,CD是SCB的角平分线时，如图2;当点E在线段BA的延长线上，CD是

MCB的外角平分线时，如图3,请直接写出线段AE,BC,CF之间的数量关系，不需要证明；

⑶在⑴(2)的条件下，若DE=2AE=6,则CF=.

2.如图，在AABC和SBC中,D,D'分别是AB,AB上一点，.

AB

CDACAB

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

⑵当出="=生时判断AABC与AABC'是否相似,并说明理由.

CDACBC

1.1几个常考的三角形题型

精选练习

解题策略一

1.解:⑴证明：；四边形ABCD为圆内接四边形,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

；BD平分/ABC,

/.ZABD=ZCBD.

AD=CD.

.\AD=CD.

四边形ABCD是等补四边形；

(2)AD平分/BCD.理由如下：

如图过点A分别作AELBC于点E,AF垂直CD的延长线于点F,

贝!!/AEB=/AFD=90。.F

V四边形ABCD是等补四边形,A

ZB+ZADC=180°.V?~~~/C

又；NADC+NADF=180°,

ZB=ZADF.B

：AB=AD,

AABE^△ADF(AAS).

；.AE=AF.

；.AC是/BCF的平分线，即AC平分/BCD.

(3)如图，连接AC.

V四边形ABCD是等补四边形，

••,ZBAD+ZBCD=180°.

又：NBAD+NEAD=180。，

ZEAD=ZBCD.FD

AF平分/EAD,E

^FAD=j^EAD.A\""

由(2)知,AC平分/BCD,

/L.FCA=LBCD.

2

・•・NFCA二NFAD.

又TNAFC=NDFA,

・•・AACF^ADAF.

AF_CF

,•DF-AF"

即三=竺

DF5

・•.DF=5V2-5.

2.W：(l)VZBAC=90°,AB=AC,AD±BC,.,.AD=BD=DC,ZABC=ZACB=45°,ZBAD=ZCAD=45°.

VAB=2,

.・.AD=BD=DC=V2.

ZAMN=30°,

••・乙BMD=180°—90°-30°=60°.

・•・ZMBD=30°.

・・・BM=2DM.

由勾股定理，得BM2-DM2=BD?,即(2DM)2-DM2=(V2)2.

解得DM=..

:.AM=AD-DM3-9

⑵证明:：AD_LBC,/EDF=90°,

ZBDE=ZADF.

在4BDE和4ADF中，

'NB=Z.DAF,

DB=DA,

/BDE=Z-ADF,

：.ABDE^△ADF(ASA).

；.BE=AF;

⑶证明如图过点M作ME//BC交AB的延长线于点E.

ZAME=90°.

贝！jAE=”AM,

ZE=45°.

；.ME=MA.

ZAME=90°,ZBMN=90°,

/.ZBME=ZNMA.

在^BME和^AMN中，

'乙E=乙MAN,

ME=MA,

/BME=乙NMA,

：.ABME^ANMA(ASA).

/.BE=NA.

；.AB+AN=AB+BE=AE=V2AM.

解题策略二

1.解:⑴四边形ABCD是垂美四边形.

证明:：AB=AD,

•••点A在线段BD的垂直平分线上.

VCB=CD,

•••点C在线段BD的垂直平分线上.

直线AC是线段BD的垂直平分线.

.•.ACLBD,即四边形ABCD是垂美四边形；

⑵证明:

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°.

由勾月殳定理,彳导AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2.

：.AD2+BC2=AB2+CD2.

故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2.

(3)连接CG,BE.

ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,gpZGAB=ZCAE.

在小GAB和4CAE中，

-AG=AC,

/.GAB=/.CAE,

.AB=AE,

：.AGAB^ACAE(SAS).

ZABG=ZAEC.XZAEC+ZAME=90°,

ZABG+ZAME=90°,gPCEXBG.

；•四边形CGEB是垂美四边形.

由(2)彳导,(CG2+BE2=CB2+GE2.

：AC=4,AB=5,

BC=3,CG=4V2,BE=5V2.

•••GE2=CG2+BE2-CB2=73.

•••GE=V73

2.解析:⑴易得/BCD=/ACE然后根据“SAS”可证明△ACE^ABCD;

⑵由⑴知,BD=AE利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长;

⑶如图过点A作AFXCD于点F,先根据平角的定义得/ACD=60。,利用特殊角的三角函数可得AF的长,由

三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长.

解：⑴全等.理由如下：

AABC和4DCE都是等边三角形，

AC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=60°.

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD.

即/BCD=/ACE.

在小BCD和小ACE中，

'CD=CE,

(BCD=Z.ACE,

、BC=AC,

AACE^ABCD(SAS);

(2)由(1)得4BCD四△ACE.

ABD=AE.

•.•△DCE是等边三角形，

ZCDE=60°,CD=DE=2.

ZADC=30°,

.­./.ADE=^ADC+/.CDE=30°+60°=90°.

在RtAADE中,AD=3,DE=2,

•••AE=y/AD2+DE2=V9T4=V13.

•••BD=V13;

⑶如图过点A作AFXCD于点F.

\'B.C,E三点在一条直线上，

ZBCA+ZACD+ZDCE=180°.

AABC和4DCE都是等边三角形，

ZBCA=ZDCE=60°.

ZACD=60°.

在RtAACF中.

sinzXCF=—,

AC

AF=ACxsinzXCF=1x—=—.

22

S=-xCDxAF=-x2x—=—.

AACDS2222

1I

•••CF=ACxcosZ-ACF=1x-=-

22

13

FD=CD-CF=2--=-.

22

在RtAAFD中，

AD2=AF2+FD2=(y)2+(I,=3,

AD=V3.

解题策略三

1.解:⑴如答图1,延长AE交DC的延长线于点F.

VAB//DC,

・•・ZBAF=ZF.

VE是BC的中点，

ACE=BE.

在^AEB和^FEC中，

Z.BAF=乙F,

乙AEB=乙FEC,

、BE=CE,答图1

AAAEB^AFEC

.AAB=FC.

TAE是NBAD的平分线，

JNDAF=NBAF.

ZDAF=ZF.

ADF=AD.

JAD=DC+CF=DC+AB.

故答案为AD=AB+DC;

(2)AB二AF+CF,

证明：如答图2,延长AE交DF的延长线于点G.

VE是BC的中点，

・・・CE二BE.

VAB//DC,

AZBAE=ZG.

在^AEB和^GEC中，

(BAE=4G,

Z-AEB=乙GEC,

、BE=CE,

AAAEB^AGEC.答图2

AAB=GC.

TAE是NBAF的平分线,

・•・ZBAG=ZFAG.

VAB/7CD,

.,.ZBAG=ZG.

・•・ZFAG=ZG.

.\FA=FG.

；・AB二CG=AF+CF.

2.解:⑴如答图1,

ZEDC=90°,EF=CF,

ADF=CF.

JNFCD=NFDC.

ZABC=90°,

・•・ZA+ZACB=90°.

VBA=BD,

・•・ZA=ZADB.

E

■:ZACB=ZFCD=ZFDC,

・•・ZADB+ZFDC=90°.

；・ZFDB=90°.

答图1

ABDXDF.

故答案为是；

⑵结论成立.

理由:・.•BDJ_DF,ED_LAD,

・•・ZBDC+ZCDF=90°,ZEDF+ZCDF=90°.

JZBDC=ZEDF.

VAB=BD,

・・・NA=NBDC.

JZA=ZEDF.

•・・ZA+ZACB=90°,ZE+ZECD=90°,ZACB=ZECD,

AZA=ZE.

・•・ZE=ZEDF.

JEF二FD.

ZE+ZECD=90°,ZEDF+ZFDC=90°,

・•・ZFCD=ZFDC.

・・・FD=FC.

AEF=FC.

・••点F是EC的中点；

⑶如答图2,取EC的中点G,连接GD,则GD±BD.

1Q

DG=-EC=

22

答图2

BD=AB=6,

・••在RtABDG中，

BG=y/DG2+BD2=J(|)2+62=y.

159

.-.CB=---=3.

22

・••在RSABC中，

AC=7AB2+BC2=V62+32=3形.

ZACB=ZECD,ZABC=ZEDC,

AAABC^AEDC.

tAC_BC

,•EC.CD'

.3V5_3

,,—.

9CD

•••CfD=—9追.

5

AD=ac+CD=3飓+W=争

解题策略四

1.证明:⑴：/B=NAPD=90°,

ZBAP+ZAPB=90°,ZAPB+ZDPC=90°.

ZBAP=ZDPC,

又PA=PD,ZB=ZC=90°,

/.ABAP^ACPD(AAS).

；.BP=CD,AB=PC.

・・・BC二BP+PC=AB+CD;

⑵如图，过点A作AELBC于点E,过点D作DFJ_BC于点F.

由⑴可知,EF=AE+DF.

ZB=ZC=45°,AE±BC,DF±BC,

JZB-ZBAE=45°,ZC=ZCDF=45°.

BE=AEfCF=DF,AB=V2AE,CD=V2DF.

BC=BE+EF+CF=2(AE+DF).

.AB+CD_«Q4E+DF)_V2

"BC-2Q4E+。尸)-2,

2.解析：(1)要证明EF二DE,只要证明^DME^AENF即可,然后根据题目中的条件和正方形的性质,可以得到

△DME^AENF的条件，从而可以证明结论成立；

(2)根据勾股定理和三角形相似,可以得到AG,CG和CE的长，然后即可得到GE的长.

⑴证明:•・,四边形ABCD是正方形,AC是对角线，

・•・ZECM=45°.

VMN/7BC,ZBCM=90°,

...ZNMC=90°,ZMNB=90°.

JZMEC=ZMCE=45°,ZDME=ZENF=90°.

AMC=ME.

VCD=MN,

二•DM=EN.

•.*DE±EF,ZEDM+ZDEM=90°,

JZDEF=90°.

ZDEM+ZFEN=90°.

・•・ZEDM-ZFEN.

在^DME和^ENF中

ZEDM=Z.FEN,

DM=EN,

，DME=乙ENF,

：.ADME^AENF(ASA).

.\EF=DE;

(2)如答图1所示油⑴知,△DME^AENF,

AME=NF.

・・•四边形MNBC是矩形，

AMC=BN.

又,.・ME=MC,AB=4,

AF=2,

.*.BN=MC=NF=1.

ZEMC=90°,

CE=V2.

・・・AF〃CD.

:.ADGC^AFGA.

CD_CGDMC

a

NB

VAB=BC=4,ZB=90°,

AC=4^2.

「AC二AG+GC,

4四“8A/2

33

：.GE=GC-CE=—-42=—.

33

如答图2.

同理，可得FN=BN.

,.・AF=2,AB=4,

AAN=1.

VAB=BC=4,

ZB=90°,

・•.AC=4V2.