双曲线 教案-高考数学备考复习重点资料归纳

第五节双曲线

核心素养立意下的命题导向

1.结合双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养.

2.结合双曲线几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线），考查求相关量的计算,

凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.

—在微点清障中全面落实

［理清主干知识］

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1,尸2的距离的差的绝对值等于常数（小于I昌尸21）的点的轨迹叫做双曲

线.这两个定点叫做双曲线的焦直，两焦点间的距离叫做双曲线的焦匣」

集合尸=｛，||附入|一附「2||=加｝,|r1尸2|=切其中。，C为常数且C>0.

⑴当2av|H产2I时，P点的轨迹是双曲线；

⑵当2a=向尸2|时，P点的轨迹是两条射线；

（3）当2G>|尸1尸2|时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程£-£=1（40,力>0）营一1=13>0,力>0）

xW—。或y^RyW一°或xWR

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点

Ai(-a,0)，42(a.0)Ai(0,-a),42(0，a)

渐近线-v=V

性

离心率

e=~feW(L+°°)

质

线段4小是双曲线的实轴，它的长依14|=%;

实虚轴线段是双曲线的虚轴，它的长四仍尸敌；

。是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长

c2=fl24-Z>2(c>g>0>c>5>0)

的关系

3.常用结论

（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

⑵若尸是双曲线右支上一点，入，尸2分别为双曲线的左、右焦点，则|PPl|mln=〃+c,|PF2|mi„

=c-a.

（3）等轴双曲线

①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双

曲线.

②性质：a=b；e=y［2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦

点距离的等比中项.

（4）共挽双曲线

①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双

曲线互为共挽双曲线.

②性质：它们有共同的渐近线：它们的四个焦点共圆：它们的离心率的倒数的平方和等于

1.

［澄清盲点误点］

一、关键点练明

1.（双曲线的定义）设尸1，尸2分别是双曲线/一千=1的左、右焦点.若点尸在双曲线上，

且|PFi|=5,贝U|PBI=（）

A.5B.3

C.7D.3或7

解析：选DV||PFI|-|PF2||=2,，|Pg|=7或3.

2.（双曲线的实轴）双曲线2必一V=8的实轴长是（）

A.2B.272

C.4D.46

2

X«2

解析：选C双曲线2好一步=8的标准方程为，一七=1,故实轴长为4.

3.（双曲线的渐近线）若双曲线C：3一步=1（心°）的一条渐近线方程为力+2y=0,则实数

答案：A

4.（双曲线的标准方程）以椭圆手+9=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

r2v2

解析：设所求的双曲线方程为7一/»>0）,

由椭圆彳+丁=1,得焦点为（±1,0）,顶点为（±2,0）.

所以双曲线的顶点为（±1,0）,焦点为（±2,0）.

所以4=1,C=2,所以82=c2-fl2=3,

所以双曲线标准方程为X2—1=L

答案：/一（=1

5.（双曲线的离心率诺双曲线营一月=13>0）的离心率为坐，则。=.

解析：设焦距为2c,则。=坐，即〃=第2.由。2=〃2+4得东12=标+4,所以。2=16,所以〃

=4.

答案：4

二、易错点练清

1.（忽视双曲线定义的条件）平面内到点Fi（0,4）,尸2（0，-4）的距离之差等于6的点的轨迹

是.

解析：由甲入|一|尸尸2|=6<尸］户2|=8,得〃=3,又c=4,则乂=。2—*=7,所以所求点的轨

迹是双曲线卜5=1的下支.

答案：双曲线g5=1的下支

2.（忽视双曲线上的点到原点的最小距离）已知双曲线3—*=1上一点P到它的一个焦点

的距离等于4,那么点尸到另一个焦点的距离等于.

解析：设双曲线的焦点为产I,F2t|PFi|=4,

则||P尸||一|尸尸2||=2,故|尸尸21=6或2,

又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c-«=Vi7-l>2,故|PF2|=6.

答案：6

3.（忽视焦点的位置）以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的

倾斜角为f，则双曲线的离心率为.

解析：若双曲线的焦点在x轴上,

设双曲线的方程为7一方=1,

则渐近线的方程为J=±^X,

由题意可得g=tanT=，5,b=y［ia,可得c=2%

UJ

则e=\=2；若双曲线的焦点在_y轴上，

设双曲线的方程为5—后=1,

则渐近线的方程为产琮X,

由题意可得号=tanW=45,a=y［3bf

-rp2A/52^/5、-TP-*2小

可得c—3a,则e—Q.综上可得e=2或e—3.

答案：2或¥

能力—在题点全析中补齐短板

考点一双曲线的定义及其应用

考法（一）利用定义求轨迹方程

［例1］已知圆G：3+3）2+炉=1和圆C2：（x-3）2+y2=%动圆M同时与圆G及圆C2

外切，则动圆圆心M的轨迹方程为

［解析］如图所示，设动圆M与圆G及圆。2分别外切于点A和点优

根据两圆外切的充要条件，得

\MCi\-\ACi\=\MA\f

\MC2\-\BC2\=\MB\.

因为|M4|=|M8|,

所以IMCAL|MG|=|BC2|-|ACI|=3-1=2<6.

这表明动点M到两定点C2fCi的距离的差是常数2且小于IGCzl.

根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支（点〃到C2的距离大，到G的距离

小），且。=1,c=3,则力2=8,设点M的坐标为（X,y）,则其轨迹方程为*2-±=i（xW—

O

1).

［答案］X2—Y=l(xW—1)

考法（二）求解"焦点三角形”问题

［例2］已知尸1，尸2为双曲线C：*2一,2=1的左、右焦点，点尸在c上，ZF1PF2=6O°,

则|尸尸井『尸2|=()

A.2B.4

C.6D.8

［解析］由双曲线的方程得。=1,c=y［2f

由双曲线的定义得||PPi|一|P尸211=2.

在△尸尸1尸2中，由余弦定理得

22

|FIF2|=\PFI|+\PF2?-2\PFX|-|PF2|COS60。，

即(26户=|PAF+\PFI\2-\PFXl-IPFil

2

=(|PF1|-|PF2D+|PF1\-\PF2\

2

=2+|PFIMPF2|,

解得IPRHP尸21=4.

［答案］B

考法(三)利用定义求最值

22

［例3］已知〃是双曲线了x一七v=1的左焦点，41,4),P是双曲线右支上的一动点，则|PP|

—JL/

+|E4|的最小值为.

［解析］因为尸是双曲线千一*=1的左焦点，所以尸(一4,0),设其右焦点为"(4,0),则由

双曲线的定义可得尸尸|+|同|=2+|尸”|+|必4|22〃+|4M=4+、(4-1)2+(0—4)2=4+5=

9.

［答案］9

［方法技巧］

双曲线定义的应用

(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程.

⑵在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||P6|一|PB||=2Q,运用平

方的方法，建立|PFi|与|尸尸2|的关系.

［提醒］在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线

的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.

［针对训练］

1.已知点。(0,0),A(—2,0),5(2,0).设点P满足|Di|-|P8|=2,且P为函数y=川4一一图

象上的点，则|OP|=()

运班

A.2B.5

C.V7D.<10

解析：逸D由|乃1|一|0b|=2v|A8|=4,知点尸的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为

X2—^-=1（x^1）,又产W4T,所以9=中，j2=y,所以|OP|=M*2+y2=

Vio,故选D.

2.（2020•企00必1）设尸I，B是双曲线c：X2—王=1的两个焦点，O为坐标原点，点尸在

C上且|OP|=2,则△「尸1尸2的面积为（）

7

A.TB.3

C.TD.2

解析：选B法一：设Fi,尸2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知Fi（-2,0）,产2（2,0）.

又|。尸|=2,所以|0尸|=|0尸］|=|0尸2|,

所以△PF1尸2是直角三角形，

22

所以|P用|4-|PF2|=I尸1尸2『=16.

不妨令点〃在双曲线C的右支上，

则有|PPiL|Pg|=2,

两边平方，得|PPiF+|p尸2?一2|尸尸出尸修|=4,

所以『F1HP尸21=6,

则入卜W尸2l=：X6=3,故逸氏

法二:设尸1,尸2分别为双曲线C的左、右焦点，

则由题意可知尸1（一2,0）,尸2（2,0）.

又|。?|=2,所以|0?|=|0川=|0尸2］,

J>23

所以△尸尸小2是直角三角形，所以S^PHF2=-^=而去=3（其中〃=NBP尸2）,故选B.

tan^

考点二双曲线的标准方程

［典例］⑴经过点M2小，2小）且与双曲线9-9=1有相同渐近线的双曲线方程是（）

A-=1

4nBU=I

c-ii-u=1D-n-ii=,

（2）已知曲线C的方程为号-S=1（&WR）,则下列结论正确的是（）

A.当A=8时，曲线。为椭圆，其焦距为4+恒

B.当A=2时，曲线C为双曲线，其离心率为小

C.存在实数k,使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线

D.当士=3时，曲线。为双曲线，其渐近线与圆(“-4)2+炉=9相切

［解析］(1)设所求双曲线的方程为《一4=九将点股(2巾，2市)代入得出好一线宏=九

解得2=-6,所以双曲线方程为高一裔=1,故选D.

1Zio

⑵对于A,当人=8时，曲线C的方程为芸+£=1,轨迹为椭圆，焦距2c=2^62—2=4恒,

y2

A错误；对于B,当k=2时，曲线C的方程为彳一号=1,轨迹为双曲线,，则a=yf2tc=#,

6—AV0,

，离心率e=：=，5,B正确；对于C,若曲线C表示焦点在j轴上的双曲线，则・

A2-2<0,

解集为空集，.,•不存在实数A,使得曲线C为焦点在)，轴上的双曲线，C错误；对于D,当

A=3时，曲线C的方程为5一手=1,其渐近线方程为尸则圆(x-4)2+y2=9的圆

|±4A/2I|_4A/3_邛^W3,・•・双曲线的渐近线与!S)(x-4)2+y2=9不

心到渐近线的距离d=

#21+49_亚-

相切，D错误.故选B.

［答案］(DD(2)B

［方法技巧］待定系数法求双曲线方程的5种类型

类型一与双曲线接一£=1有公共渐近线的双曲线方程可设为营一£=MH°)

若已知双曲线的一条渐近线方程为或了=一《，则可设双曲线方程为营一营

类型二

=MH0)

与双曲线后一£=1共焦点的双曲线方程可设为右一击=1(一52VAV/)

类型三

过两个已知点的双曲线的标准方程可设为5一?=l(m〃>。)或者5+q=l(/n〃V

类型四

0)

与椭圆今+£=1(。>。>0)有共同焦点的双曲线方程可设为忐一寸=1俨V2

类型五

<«2)

［针对训练］

1.双曲线C：n=l®>0">0)的左焦点为(-3,0),且C的离心率为右则C的方程为()

H=i

A长=

解析：选C由题意，可得c=3,又由e=：=5，：.a=2f

又出=32-22=5,故。的方程为，一?=1,故选C

2.(2020•天涧设双曲线C的方程为方一£=1(公＞0,6＞0),过抛物线V=4x的焦点和点

(0,协的直线为/.若C的一条渐近线与，平行，另一条渐近线与「垂直，则双曲线C的方程

W£

x2-4=4

-4B.

C^-y2=1D.x2-j2=l

解析：逸D法一：由题知产=4工的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为X

+1=1,而宏一方=1的渐近线方程为§+卡=0和^一力=0,由/与一条渐近线平行，与另一

条渐近线垂直，得。=1,b=l,故选D.

法二：由题知双曲线C的两条渐近线互相垂直，则“=〃，即渐近线方程为》与=0,排除B、

b—0

C.又知V=4x的焦点坐标为(1,0),7过点(1,0),(0,b)t所以西•=-1，b=lf故选D.

考点三双曲线的几何性质

考法(一)求双曲线的渐近线方程

22

［例1］⑴(2021•湖南长沙模拟)已知双曲线了x一方v=1(心0,历＞0)的左、右焦点分别为Fi，

尸2,M为双曲线上一点，若COSNRMF2=；，\MFi\=2\MF2\f则此双曲线的渐近线方程为

()

A.y=±\［3xB.y=±乎x

C.y=±xD.y=±2x

⑵已知双曲线C：与一V=LO为坐标原点，尸为C的右焦点，过p的直线与C的两条渐

近线的交点分别为股，M若△OMN为直角三角形，贝加团V|=()

A.1B.3

C.2小D.4

［解析］⑴由题意，得眼川一眼巳|=2%

又|MB|=2附尸2l,：.\MFi\=4at\MF2\=2at

16a24-4a2-4c21

・•・cosz尸.尸2=2X4OX2Q=不

化简得〃=4@2,即02+52=4.2,.・.〃=3a2.

又。＞0,/»0,・，.q=0,

，此双曲线的渐近线方程为)，=±V5x,故选A.

(2)法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为丁二坊弘设两条渐近

线的夹角为2a,则有tana=^=乎，所以a=30。.所以NM0N=2a

=60。.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN_LON,如图所示.在

RtZkONF中，|OP|=2,则|ON|=V5.在RtZ^OMN中，|MN|=|ON卜tan2a=V3・tan60。=3.

故选B.

法二；因为双曲绣'一产=1的渐近线方程为丁=所以NA/ON=60。.不妨设过点F的

直线与直线)，=冬交于点M,由△OMN为直角三角形，不妨设NOMN=90。，则

A/FO=60。，又直线MN过点尸⑵0),所以直线MN的方程为y=-、5(x-2),

尸一小(L2),

由'更得3

尸36〔尸2,

所以陪，丹所以|OM='电+曾『小，

所以|A/N|=，5|OM|=3,故选B.

［答案］(DA(2)B

［方法技巧］

涉及双曲线渐近线的几个常用结论

(1)求双曲线1一台=1(“＞0,b＞0)或%一方=1(公＞0,历＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常

数等于0,即令，一方=0,得产令，或令方一苴=0,得产琮X.

(2)已知渐近线方程为尸治，可设双曲线方程为1一£=加＞0,比＞0,抄0).

［提醒］两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、)，轴对称.

考法(二)求双曲线的离心率

［例2］(1)若双曲线C:£一1=1(。＞0,万＞0)的渐近线与圆(》-3)2+了2=1无交点，则C的

离心率的取值范围为()

A.(l，噌胡)

x2±

(2)(2019•全■1卷I)已知双曲线C：力的左、右焦点分别为尸尸过外

a2b2=1(«＞0,＞0)I，2,

的直线与C的两条渐近线分别交于A,8两点.若京=看，万苏瓦5=0,则。的离心率

为________

［解析］(1)\•双曲线渐近线为hx±ay=()与圆(x—3)2+"=1无交点,

・・・圆心到渐近线的距离大于半径，即^为＞1

/.8(c2—a2)＞a2,即8c2＞9a2,

・・・e=5＞乎•故选C.

⑵法一：由尸M=4〃，得4为FiR的中点.

又・・・。为尸I尸2的中点，

:.OA//BF2.

又•奇=0,/.ZF1BF2=9O°.

：.\OF2\=\OB\f

：.ZOBF2=ZOF2B.

又•；NFIOA=NBOF2,NFIOA=NOF2B,

AZROF2=ZOF2H=ZOHF2f

尸2为等边三角形.

如图所示，不妨设〃为修一例.

V点B在直线y=—%上，；・：=小,

法二：.・・RJ方瓦1=0,・・・N尸山尸2=90°.在RtZXMBB中，。为尸1尸2的中点，A\OF2\=\OB\

=c.如图，作轴于〃，由为双色线的渐近线，可得^且13Hl2+|。M2=0两

2

=c,：.\BH\=bf\OH\=at:・B（a,一办F2（c,0）.

又・.・KJ=焉，A4为尸田的中点.

・・・3〃尸力，..・《=£，・・・c=2。，・・・离心率e=》=2・

［答案］（DC（2）2

［方法技巧］

1.求双曲线的离心率或其范围的方法

°2。2+》232

⑴求4,瓦C的值，由案=管产=1+会直接求e.

（2）列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助乂=。2—°2消去瓦然后转化成关于e的

方程（或不等式）求解，注意C的取值范围.

⑶因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法.例如，令。=1,求出相应C的值，进而求

出离心率，能有效简化计算.

⑷通过特殊位置求出离心率.

2.双曲线也一方=1（公*0,方＞0）的渐近线的斜率人与离心率e的关系：当时，&”

=1±1="-1;当kO时，k=—^=—yle2—L

考法（三）与双曲线有关的范围、最值问题

［913］（2021•号中模拟）已知jo）是双曲线C：苧一尸1上的一点，Fit尸2是双曲线

C的两个焦点.若赤•碇〈。，则刈的取值范围是（）

A®,3B.（年阴

G平,嚼D.（答,噌

［解析］由题意知a=地,b=l,c=小,

设为（一小，0）,尸2（巾，0）,

则加;=（一Xo,—Jo）,而河=（，5—Xo,-Jo）.

因为MPrMBvO,所以（一xo）h/5-xo）+M〈O,

即蝴一3+yd〈0.

因为点M（xOf刊）在双曲线。上，

所以彳一黄=1,即看=2+2网，

所以2+2或一3+jJ<0,所以一坐勺

［答案］A

［方法技巧］

1.求解与双曲线有关的范围（或最值）问题的方法

⑴几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，

特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.

⑵代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线

的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配方

法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.

⑶不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.

2.解决与双曲线有关的范围（或最值）问题时的注意点

（1）双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为方（实轴长）.

⑵双曲线上的点到定点的距离最值，常用两点间的距离公式转化为区间上的最值问题，有

时也用双曲线的参数方程转化为三角函数的最值问题.

⑶双曲线上的点到定直线的距离的最值解法同⑵所述，或用平行切线法.

（4）点在双曲线上，求相关式子（目标函数）的取值范围，常用参数方程转化为三角函数的最值

问题，或根据平面几何知识，或引入一个参数转化为函数问题解决.

⑸由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函

数中的因变量来求解.

⑹所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线自变量范愎的影响.

［针对训练］

1.（多选）已知双曲线C过点（3,啦），且渐近线方程为了=吟，则下列结论正确的是（）

A.。的方程为《一产=1

B.C的离心率为小

C.曲线），=^一2—1经过C的一个焦点

D.直线工一物一1=0与C有两个公共点

解析：选AC•・•双曲线C过点（3,72）,且渐近线方程为y=±冬，.••设双曲线方程为着一

V2

*,93-3一2

・吟一\=W，♦,丹-y2=i.・.A正确.

*,•离心率，B错误.

・・♦双曲线的焦点坐标为（一2,0）,（2,0）,

而曲线产=眇-2—1经过点（2,0）,・'・C正确.

(x2

——y2=lf

联立.J得产一2、氏+2=0.

X—V2j—1=0,

J=（-2V2）2-4X1X2=8-8=O.

，直线x—1=0与C只有一个公共点，

・・・D错误，故选A、C.

2.（2021•安做示范高中联考）已知直线I：y=kx+2过双曲线C：|爷=1（。>0,b>0）的左

焦点尸和虚轴的上端点8（0,b）,且与圆/+产=8交于点M,N,若IMNB2小，则双曲

线的离心率c的取值范围是（）

A.（1,^6］B.（1,坐］

C［乎,+8）D.［木,4-°°）

解析：选C设圆心到直线/的距离为d（J>0）,

因为MM22小，所以2d8—2224,即0vdW，5.

又4扁i，所以向W小,

解得冈共.

由直线/:尸&工+2过双曲线C:今一改=1（。>°，历*0）的左焦点尸和虚轴的上端点仇0,b）,

得1川=£.

所以《，卓,即A，/所以*

于是双曲线的离心率e的取值范围<-)

3.（2020•全国必I）已知尸为双曲线C：1一3=1（〃>0,〃>0）的右焦点，A为C的右顶点,

B为。上的点，且耳尸垂直于x轴.若的斜率为3,则。的离心率为

解析：设B（ctyB）t因为B为双曲线C:^7—^2=1上的点，所以也一祭=1，所以防=3•

b2a

因为48的斜率为3,所以如=£,。_.=3,所以〃2=3ac—3层，所以c?—02=3〃。-3G2,

所以e2—3ac+2q2=0,解得c=2a或c=。（舍去），所以C的离心率e=\=2.

答案：2

22

4.设尸I,尸2分别为双曲线x/一方v=l（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若

正屋鲁鬲的最大值俄，则双曲线的渐近线斜率的取值范围为.

«2桁--IPFI-IPJ7|=7.3|尸尸2|_31PBi_31P尸2|二

廨仞.・151一孙・・|尸尸］|2+4.尸尸2|一（|尸尸2|+%）2+训尸尸2厂『尸2|2+5川尸尸2|+402一

1尸尸2|+jp^j+5a2

当且仅当IP尸2|=喇，即|尸尸2|=加时，等号成立，此时|PR|=4a.・・・『M|+|PF2BlRp2|,

即有6a22c,

22

・•・%22c2,：.Sa>bf解得0,W26,

・・・-2，iW一沁则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是［-2筋0）U（0,2<2］.

答案：［-2吸，0）U（0,2&］

——在科学思维中参悟提升

一、创新思维角度一融会贯通学妙法

求双曲线离心率的方法

方法（一）直接法

［例1］下列曲线中，离心率为当的是（

A・A9=I

［解析］依据双曲线，一方=1（40,力>0）的离心率公式e=。可直接判断，选项B中，a2

2

=4,b=2f所以c?=6,即4=2,c=乖,离心率0=?=乎，故选B.

14/

［答案］B

［名师微点］

利用己知条件直接求出4,,•的值.代入离心率公式。求解.

方法（二）利用渐近线方程

［例2］在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线■一1=13>0">0）的渐近线方程为尸场

x,则该双曲线的离心率为.

［解析］由题意知£=巾，即。2=3层，

所以。2=02+力2=442,所以e=\=2

［答案］2

［名师微点］

根据双曲线的渐近线与离心率之间的关系，可以利用渐近线方程中的3确定双曲线的离心率

e=a=A/1+ffi2-

方法（三）利用双曲线的定义

［例3］设R,尸2分别是双曲线不一次=1（。>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线上存在点4,

使NBAF2=90。且|AFi|=3Hr2|，则双曲线的离心率为.

［解析］因为N尸14尸2=90。，故|AFIF+H产2|2=吗尸2『=4C2,又|A尸］|=3|A尸zl,且|AFILH尸2I

c25c、丽

=2ar所以10。2=4。2,即是=3，故6=二=七一.

［答案］七~

［名师微点］

双曲线上的点A与两个焦点构成一个直角三角形，结合直角三角形的属性和双曲线的定义,

建立关系即可求出双曲线的离心率.

方法（四）利用关于a,C的齐次方式

［例4］已知点尸是双曲线方一£=1（〃>0,5>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过

尸作垂直于x轴的直线与双曲线交于A,笈两点，若是锐角三角形，则该双曲线的

离心率c的取值范围是（）

A.（1,+8）B.（1,2）

C.（2,14-^2）D.（1，1+也）

万2

［解析］若是锐角三角形，只需NAE产V45。，在RtAAFE中，|AF|=—\FE\=a

+c,则］VG+C,即Z>2VQ2+GC,gp2a2—c2+ac>0,则/-e—2V0,解得一lVeV2,又

e>l,则lVeV2,故选B.

［答案］B

［名师微点］

根据题意建立a,c之间的关系，结合e=。建立关于e的一元二次方程或不等式求解.

二、创新考查方式——领悟高考新动向

1.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的较链与固定好的短/

杆04连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A,另一端固定在点B,A

套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆Og拉紧绳子，移动笔尖

M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若|0川=10,|05|\,

=12,细绳长为8,则所得双曲线的离心率为（）

6535

A,gB-4C,2D,2

解析：选D设则由题意，可得|MO|=12-。|M4|=8-1,有|MOL|K4|=4V|AO|

=10,由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c=10,实轴

c5

长2a=4,即c=5,a=2f所以e=7=Q.故选D.

2.（多选）对于渐近线方程为9=0的双曲线，下列结论正确的是（）

A.实轴长与虚轴长相等

B.离心率是地

C.过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等

D.顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比值为也

解析：选ABC依题意，不妨设渐近线方程为x±y=0的双曲线方程为/一炉=2（；（工0）,因

此实轴长与虚轴长均为2s1|,所以A正确；由于实轴长与虚轴长相等，所以离心率为心，

所以B正确；过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2a,而双曲线的实轴

长也为2丽，所以C正确；由相似三角形可知，顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离的比

值为?=噂，所以D错误.故选A、B、C.

C/

3.青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是

一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形上下对称，可看成

是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的最小直径为16

cm,瓶口直径为20cm,瓶高20cm,则该双曲线的离心率为.

解析：以花瓶最细处所在直线为上轴，花瓶的竖直对称轴为y轴，建立如图

所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为，一/=13＞0,》＞0).由题意可

知。=8,图中的A点坐标为(10,10).将。=8,(10,10)代入双曲线方程，可得

*=?＞所以汨，所以0=勺1+肾=率

答案:华

［课时跟踪检测］

一、基础练一练手感熟练度

1.双曲线5一炉=1的实轴长为()

A.4B.2

C.2小D.2y［2

解析：选D由题知层=2,；・a=取,故实轴长为2a=26，故选D.

2.双曲线看一卷=1的渐近线方程为()

A.j=±^xB.y=

C.y=±\[lxD.y=±2x

解析：选C双曲线土哈=1的渐近线方程为土若=0,整理得产2总

解得)，=±\伍，故选C.

3.已知双曲线彳一1=130)的渐近线方程为小x±y=0,则》=()

A.2小B.小

C当D.12

解析：选A因为双曲线，一臣=130)的渐近线方程为尸备，又渐近线方程为产

所以＜=，5,力=2巾，故选A.

4.设双曲线C：1一色=1(30,＞0)的虚轴长为4,一条渐近线为尸%,则双曲线C的

方程为()

AU-4=1

啮弋=1D.X2—亍=1

解析：选A因为双曲线C:^7—^2=l（a>0,力>0）的虚轴长为4,所以2）=4,b=2,

因为双曲线C：a一方=13>0,力>0）的一条渐近线为y=：x,所以:=>>“=2。=4,

X2丫2

所以双曲线M的方程为京一：=1,故选A.

5.若则双曲线5一步=1的离心率的取值范围是（

A.旭+«>)B,旭2)

C.(1,6)D.(1,2)

解析：选C由题意得双曲线的离心率e=也卫:

Va>l,AO<^<1,r.l<14-A<2,：A<e<y[2.

6.（202。•北京高考）已知双曲线C抬=1，则C的右焦点的坐标为.

;C的焦点

到其渐近线的距离是.

解析：双曲线C：^一,=1中，C2=6+3=9,Ar=3,则C的右焦点的坐标为（3,0）.C的

U0

渐近线方程为即y=ir^=xf即xi\/2j=0,则C的焦点到其渐近线的距离（1=方

=小.

答案：（3,0）小

二、综合练——练思维敏锐度

1.若实数〃满足0VAV9,则曲线条一苫=1与曲线£：-9=1的（）

A.离心率相等B.虚半轴长相等

C.实半轴长相等D.焦距相等

解析：选D由0<A<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由外25+9—>=

、25—A+9,得两双曲线的焦距相等.

2.设双曲线，一|=1（。>0,力>0）的右焦点是尸，左、右顶点分别是小，A2t过尸作44

的垂线与双曲线交于b,C两点.若43J_A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为（）

A.±|B.杏

C.±1D.±^2

b2_尤

解析：选C由题设易知Ai（一°,0）,A2（fl,0）,B（c,《c,-^）.V4IB±A2C,%工工二

=-l,整理得。=瓦;渐近线方程为丁=玲，即y=~,・••渐近线的斜率为±1.

3.已知双曲线?一£=1的右焦点为尸，尸为双曲线左支上一点，点40,6），则△

A尸尸周长的最小值为（）

A.4（1+^2）B.4+也

C.2（^24-^/6）D.#+36

解析：选A设双曲线的左焦点为户'，易得点尸（加，0）,尸尸的周长/=随尸|+|4尸|+

|P尸|=|AF|+2a+|P尸'I+IAPI,要使△人尸尸的周长最小，只需|AP|十|P尸'|最小，易知当4,

P,F1三点共线时取到最小值，故/=23为+2«=4（1+也）.故选A.

4.在平面直角坐标系xQy中，已知双曲线C：捺一£=1（40,力＞0）的离心率为病从双

曲线C的右焦点尸引渐近线的垂线，垂足为4,若尸。的面积为1,则双曲线C的方程

为（）

A.y-g-=1B.j2=l

看Y=id-

解析：选D因为双曲线C的右焦点尸到渐近线,的距离|E4|=b,|。4|=*所以。力=2,又

双曲线C的离心率为低所以11+i=/,即加=4*解得02=i,从=4,所以双曲

线C的方程为好一?=1,故选D.

5.（202。•全国必U）设O为坐标原点，直线¥=〃与双曲线C：盘一£=1（4＞°，人＞0）的两条

渐近线分别交于&，E两点.若AODE的面积为8,则。的焦距的最小值为（）

A.4B.8

C.16D.32

解析：选B由题意知双曲线的渐近线方程为），=玲.因为D,E分别为直线x=a与双曲线

C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（afb）,E（a,~b）f所以5AODE=IXaX|DE|=|XaX2b

=ab=8f所以，=足+力2,2而=16,所以c24,所以2c28,所以C的焦距的最小值为8,

故选B.

6.己知双曲线C：1一£=1的一条渐近线/的倾斜角为小且C的一个焦点到/的距离为，5,

则双曲线。的方程为（

AR-?=,

若一产1

解析：选D由£一£=0可得,=备，即渐近线的方程为y=gx,又一条渐近线/的倾斜

角为三,

所以/=tanT=5.

因为双曲线C的一个焦点（c,0）到/的距离为小,

所以瑞=.二小，

所以。=1,

所以双曲线的方程为好一9=1.

7.（2021•黄山一核）双曲线C：后爷=1（。>0,>>0）的一条渐近线与直线x+2y+l=0垂直,

Fi,尸2为。的焦点，A为双曲线上一点，若|FiA|=2|尸2川，则cosNA尸2M等于（）

B.

1

D.

4

解析：选C因为双曲线的一条渐近线与直线x+2y+l=0垂直，所以力=〃.又|入川=

2IF1AI,且内川一|尸24|=2%所以|尸zA|=2a,|尸网=4〃，而c2=5a2,得2c=2邓明所以

I尸1尸2『+l尸MF-I尸MF20。2+4。2-16。2下

尸尸,故选C

cosN421=2IF1F2IIF2AI_2X2y/SaX2a-5

8.侈选）设尸］,尸2是双曲线C:5一£=1（公>0,力>0）的左、右焦点，。是坐标原点.过Fz

作。的一条渐近线的垂线，垂足为尸.若|PFi|=,|OP|,则下列说法正确的是（）

A.\F2P\=b

B.双曲线的离心率为小

C.双曲线的渐近线方程为y=±<£

D.点P在直线x=笔上

解析：选ABD由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为j=%,即取一的=0,

设焦点尸i(—c,0),尸2(c,0)(a>0,b>0,c>0),

因为过尸2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,

所以尸训=也译答*=?=瓦故A正确：

因为|0P|=、|0尸2『一|尸"2|2=、。2-62=0,所以|PP1|=,|OP|=#%cosZFiOP=cos(180°

—NF1OP