2024年全国统一高考数学试卷（理科）甲卷含答案

2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，则A． B． C．10 D．2．集合，2，3，4，5，，，则A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，3．若实数，满足约束条件则的最小值为A．5 B． C． D．4．记为等差数列的前项和．若，，则A． B． C．1 D．25．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为A．4 B．3 C．2 D．6．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C． D．7．函数的区间，的图像大致为A． B． C． D．8．已知，则A． B． C． D．9．已知向量，，则A．“”的必要条件是“” B．“”的必要条件是“” C．“”的充分条件是“” D．“”的充分条件是“”10．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④11．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则A． B． C． D．12．已知，，成等差数列，直线与圆交于，两点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．15．已知，，则．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．19．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．（1）求椭圆的方程；（2），过的直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与交于，证明：轴．21．（12分）已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的直角坐标方程；（2）直线为参数），若与交于、两点，，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．实数，满足．（1）证明：；（2）证明：．

2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，则A． B． C．10 D．【解析】：因为，则，故，所以．故选：．2．集合，2，3，4，5，，，则A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，【解析】：因为，2，3，4，5，，，4，9，16，25，，所以，3，．故选：．3．若实数，满足约束条件则的最小值为A．5 B． C． D．【解析】：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：将约束条件两两联立可得3个交点：，，，由得，则可看作直线在轴上的截距，经检验可知，当直线经过点，时，最小，代入目标函数可得：．故选：．4．记为等差数列的前项和．若，，则A． B． C．1 D．2【解析】：，则，解得，又因为，所以公差，故．故选：．5．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为A．4 B．3 C．2 D．【解析】：解法一：因为，，点在该双曲线上，所以，，，所以．解法二：焦点在轴上，可设双曲线方程为：，则，解得，从而故选：．解法三：点纵坐标相同，所以是通径的一半即则即，则双曲线的离心率．故选：．解法四：双曲线的离心率6．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A． B． C． D．【解析】：，则，故，所以曲线在点处的切线为，令，解得，令，解得，故所求三角形的面积为．故选：．7．函数的区间，的图像大致为A． B． C． D．【解析】：解法一：，则，故为偶函数，故错误；（1），故错误，正确．故选：．解法二：函数为偶函数。且当时，，因此只有选项符合题意8．已知，则A． B． C． D．【解析】：解法一：，则，所以，故．故选：．解法二：设，则，即，因此由得，即，故，即，故选：．9．已知向量，，则A．“”的必要条件是“” B．“”的必要条件是“” C．“”的充分条件是“” D．“”的充分条件是“”【解析】：，，若，则，解得或，故“”的充分条件是“”，故错误，正确；若，则，解得，故错误．故选：．10．已知、是两个平面，、是两条直线，．下列四个命题：①若，则或②若，则，③若，且，则④若与和所成的角相等，则其中，所有真命题的编号是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【解析】：①若，因为，，则，若，因为，，则，若不在也不在内，因为，，，所以且，故①正确；②若，则与，不一定垂直，也有可能相交，故②错误；③过直线分别作平面，与，分别相交于直线，直线，因为，过直线的平面与平面相交于直线，所以，同理可得，所以，因为，，则，因为，，则，又因为，则，故③正确；④与和所成的角相等，则和不一定垂直，故④错误；综上只有①③正确．故选：．11．在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则A． B． C． D．【解析】：解法一：因为，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因为,,所以．故选：．解法二：不妨设，根据题意得，根据余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，则12．已知，，成等差数列，直线与圆交于，两点，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．6【解析】：因为，，成等差数列，所以，所以直线恒过，因为在圆内，当时，取得最小值，此时，．故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．【解析】：解法一：由于，，，，则展开式中系数最大的项一定在下面的5项：，，，，，故系数的最大值为．解法二：根据展开项的通项式为，若第项的系数最大，则，因为,所以,所以系数最大值为故答案为：5．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．【解析】：因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比．故答案为：．15．已知，，则．【解析】：因为，，所以，所以，而，故，即．故答案为：64．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记表示前两个球号码的平均数，记表示前三个球号码的平均数，则与差的绝对值不超过的概率是．【解析】：记前三个球的号码分别为、、，则共有种可能，令则，根据对称性：或6时，均有2种可能；或5时，均有10种可能；或4时，均有16种可能；故满足条件的共有56种可能，．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率．设为升级改造后抽取的件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】：（1）根据题目所给数据得到如下的列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030零假设：根据的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，，有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；零假设：根据的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，，没有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．（2）由题意得，，所以，故有优化提升．18．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和为．【解析】：（1）因为，所以，两式相减可得，即，,又因为，所以，故数列是首项为4，公比为的等比数列，所以；（2），所以，，两式相减可得：，所以．19．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）证明：由题意得：，，所以四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连结，，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，，，，故，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，1，，设平面的法向量为，，，则，即，取，则，3，，同理，平面的一个法向量为，3，，所以，因为，故二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴．（1）求椭圆的方程；（2），过的直线与椭圆交于，两点，为的中点，直线与交于，证明：轴．【解析】：（1）设椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且轴，则，，由勾股定理可知，，故，解得，，故椭圆的方程为；（2）证明：设，，，，，则，即①，又由可得②，结合①②可得，，，，，，，则直线的方程为，轴，直线与交于，则，故，故轴．21．（12分）已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，，求的取值范围．【解析】：（1）当时，，，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极小值为，无极大值；（2）由，得，令，则，当时，，且，，所以，，当时，，所以在，上单调递增，，故在，上单调递增，恒成立，即的取值范围为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数