2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）5．4．3 正切函数的性质与图象（十一大题型）

5．4．3正切函数的性质与图象目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：正切函数的定义域问题 2题型二：正切函数的对称性问题 3题型三：正切函数的周期性问题 5题型四：正切函数的单调性问题 6题型五：正切函数的最值与值域问题 7题型六：正切函数的奇偶性问题 8题型七：正切函数的图像问题 9题型八：解不等式问题 12题型九：比较大小问题 14题型十：正切函数的综合问题 15题型十一：根据正切函数单调性求参数的范围问题 18【重难点集训】 19【高考真题】 30【题型归纳】题型一：正切函数的定义域问题1．（2024·高一·全国·课后作业）定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以.则定义域为故选：A.2．（2024·高一·全国·课后作业）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由有意义可得，，，即，，故函数的定义域为.故选：D.3．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，解得，故选：A4．（2024·高一·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由题意可得：，且，即，∴，．故选：C．题型二：正切函数的对称性问题5．（2024·高一·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为.【答案】【解析】因为的对称中心为，，的对称中心为，，所以两函数的交点也关于对称，，又因为函数，的最小正周期为，作出两函数的在的图象，如下图，由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为，且，其中关于对称，，关于对称，，所以.故答案为：.6．（2024·高一·四川·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则.【答案】/【解析】因为的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以.故答案为：．7．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为且|φ|<，则φ＝.【答案】或/或【解析】由题意得(k∈Z)，即(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝或φ＝－.故答案为：或题型三：正切函数的周期性问题8．（2024·高一·新疆巴音郭楞·期末）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是．【答案】8【解析】由题意知函数的最小正周期为，∴．故答案为：8.9．（2024·广东·一模）已知函数的最小正周期为，则.【答案】1【解析】依题意，整理得，解得.故答案为：1.10．（2024·高三·全国·课后作业）函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是.【答案】【解析】因为函数（）的图像的相邻两支截直线所得线段长为，所以该函数的最小正周期为，因为，所以，即，因此，故答案为：题型四：正切函数的单调性问题11．（2024·高三·全国·专题练习）的单调递减区间为.【答案】【解析】函数，由正切函数的性质知，解得所以函数的单调递减区间为故答案为：12．（2024·高一·全国·课后作业）函数的单调减区间为.【答案】【解析】因为，由可得，所以，函数的单调递减区间为，无增区间.故答案为：.13．（2024·高一·四川达州·阶段练习）函数的单调递增区间为【答案】【解析】对于函数，由，可得，所以，函数的单调递增区间为.故答案为：.题型五：正切函数的最值与值域问题14．（2024·高一·上海·课堂例题）求函数，的值域.【解析】.∵，∴.当，即时，y取最小值-1；当，即时，y取最大值.∴函数的值域为.15．（2024·高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值．【解析】依题意，函数，，设，则，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为.16．（2024·高一·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值.【解析】①当时，；②时，，由可知，当且仅当，即时等号成立，∴.③当时，，由知，当且仅当,故，即.综上，的最大值为，最小值为.题型六：正切函数的奇偶性问题17．（2024·高一·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，定义域关于原点对称，则,所以fx是偶函数，故A错误;由，定义域关于原点对称，则,所以fx是偶函数，故B错误；由，定义域关于原点对称，则，所以fx是奇函数，故C正确；由，定义域关于原点对称，则，且，所以fx非奇非偶，故D错误.故选：C18．（2024·高三·陕西·阶段练习）已知函数，且，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】设，定义域为，关于原点对称，则，故是奇函数，从而，即，即.故选：A19．（2024·高一·湖北·阶段练习）已知函数与直线交于两点，且线段长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，函数的最小正周期,则,得,所以，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，因为该图象关于原点对称，则，所以当时，，，不合题意，当时，，又，所以当时，取，当时，，不合题意，故最大值为，故选：C题型七：正切函数的图像问题20．（2024·高一·河南南阳·期中）已知函数，的部分图象如图，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因为，所以，.又，所以，所以，所以，所以.故选：C.21．（2024·山东·模拟预测）函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得，设函数的最小正周期为，则，由题意可得：，解得，故，可得，即，可知的图象过点，即，∵，则，∴，解得.故选：A.22．（2024·河南·模拟预测）函数（）的部分图像如下图，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图知，由解得所以当时，.故选：A23．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图象可知，函数的最小正周期为，所以，，由得，所以，则，又，所以，所以，故，从而.故选:A．题型八：解不等式问题24．（2024·高一·河北邢台·期末）下列是“”的一个充分不必要条件的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，因为，但，所以不是的子集，所以不是“”的充分条件，A错误，因为，但，所以不是的子集，所以不是“”的充分条件，B错误，因为，但，所以不是的子集，所以不是“”的充分条件，D错误，因为，所以为“”的一个充分不必要条件，C正确；故选：C.25．（2024·高一·全国·课后作业）若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为直线与函数的图象无公共点，且，所以，所以，故可化为，所以解得所以不等式的解集为，故选：B．26．（2024·高一·上海·课后作业）使得不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由不等式，根据正切函数的图象与性质，可得，即实数x的取值范围是.故选：C.题型九：比较大小问题27．（2024·高一·北京延庆·期中）设，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即.故选：C.28．（2024·高一·江西九江·阶段练习）已知，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为2是第二象限角，所以，，，所以，综上可知，，，，，所以.故选：C29．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）若，，．则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在上单调递增，∴，又在上单调递增，故，又，故，又在上单调递减，故．所以.故选：A．题型十：正切函数的综合问题30．（2024·高一·上海·课堂例题）设函数.(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间；(2)求不等式的解集；(3)作出函数在一个周期内的简图.【解析】（1）由，得（），∴的定义域是,∵，∴最小正周期，由（），得（）.∴函数的单调增区间是（）.所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）.（2）由，得（）.解得（）.∴不等式的解集是.（3）令，则；令，则；令，则.∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，.从而得函数y=fx在一个周期内的简图如下：31．（2024·高一·江苏常州·期末）已知函数，其中．(1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值；(2)若的最小值为，求．【解析】（1）当时，，令，，则，的图象对称轴为，开口向上，所以当时，即时，取得最小值，最小值为，当时，即时，取得最大值，最大值为，所以在上的最小值为，此时，最大值为，此时.（2）因为的最小值为，所以，且,所以，又，所以.32．（2024·高一·湖北荆州·期末）已知函数的图象关于点对称.(1)求的单调递增区间;(2)求不等式的解集.【解析】（1）由题意知，的图象关于点对称，，即．，故．令，得，即．函数的单调递增区间为．（2）由（1）知，．由，得，即．不等式的解集为.33．（2024·高一·上海虹口·期末）已知函数，其中.(1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围.【解析】（1）∵，∴函数的最小正周期为,令,Z,解得，Z,∴函数图象的对称中心为,Z.（2）∵在闭区间上是严格增函数，∴，∴，且ω为正实数，解得题型十一：根据正切函数单调性求参数的范围问题34．（2024·高一·上海浦东新·期中）若函数在上为严格减函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为函数的单调递增区间为，，且函数在上为严格减函数，所以，解得，即.故答案为：.35．（2024·全国·模拟预测）若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则.【答案】/-0.25【解析】因为函数在上单调递减，所以，，则，又因为函数在上的最大值为，所以，即，所以.故答案为：36．（2024·高一·江苏·专题练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围为；若函数的最小正周期为，则．【答案】【解析】由题意可知ω<0，又，.故－1≤ω<0.因为＝，所以|a|＝，所以a＝±.故答案为：；.【重难点集训】1．函数的定义域为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由题意，得，所以，，得，，故所求函数的定义城为，，故选：C.2．函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，均能满足有意义，故函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故排除B；又，所以在上单调递增，当时，，所以时，，所以当时，，所以排除A，D；故选：C.3．下列函数中在上单调递增，周期为且为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于选项A：因为，易知其为奇函数，其最小正周期，若，则，且在内单调递减，则在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确；对于选项B：由选项A可知：在上单调递减，故B错误；对于选项C：若，则，且在内单调递减，所以在上单调递减，故C错误；对于选项D：因为，若，则，且在内单调递减，所以在上单调递减，故D错误；故选：A.4．下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A，为偶函数，对，且，因为在上为增函数，所以，所以，故在上为增函数，故A正确；对于B，为奇函数，故B错误；对于C，为奇函数，故C错误；对于D，为偶函数，但取，，，则，故D错误.故选：A.5．若，且，，，则，，的大小是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为若，且，，，若，则，，显然不符合题意，若时，，所以，，，由题意可得，，可看成与，的交点的横坐标，结合函数的图象可知，．故选：B6．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．是奇函数C． D．直线是的一条对称轴【答案】C【解析】对于A，由题意，，所以，又，加半个周期大于0，即，解得，即，所以只能是，所以，故A错误；对于B，，因为存在使得，所以不是奇函数，故B错误；对于C，设，所以，故C正确；对于C，，故D错误.故选：C.7．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．是函数的一个周期 B．函数在上是增函数C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数【答案】C【解析】由题可得：，根据正切函数得周期性可知，函数的最小正周期为，故A错误；根据正切函数的性质可知，在上是减函数，故B错误；根据正切函数的性质可知，的图像关于点对称，取，则函数的图像关于点对称，故C正确；的图象关于原点对称，为奇函数，故D错误；故选：C8．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在上是减函数，所以，，，.故选：B.9．（多选题）已知，则下列说法正确的是（

）A．图像对称中心为B．的最小正周期为C．的单调递增区间为D．若，则【答案】BD【解析】对于A，令，则，A错误；对于B，的最小正周期为，B正确；对于C，根据正切函数性质可知，只有递增区间，则只有递减区间，C错误；对于D，由题意可知，所以解得，所以，D正确.故选：BD.10．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为 B．的定义域为C．的图象关于点对称 D．在上单调递增【答案】ABD【解析】对于A，的最小正周期为，所以A正确，对于B，由，得，所以的定义域为，所以B正确，对于C，因为，所以的图象不关于点对称，所以C错误，对于D，由，得，因为在上递增，所以在上单调递增，所以D正确.故选：ABD11．（多选题）已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（

）A． B． C．2 D．【答案】BD【解析】∵，∴当时，，当时，∵当时，函数不单调，∴，，故选：BD12．已知，，，则它们的大小关系为（用“”连接）【答案】【解析】因为，所以，，，由正切函数性质得在上单调递增，所以，故，即.故答案为：13．（1）函数的定义域是．（2）函数的值域为．【答案】【解析】（1）要使有意义，则，解得，解得.故函数的定义域是；（2）设，则，当时，.所以的值域是．故答案为：；.14．已知函数，则函数的值域为；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为.【答案】；.【解析】当时，；当时，；当时，.综上，函数的值域为.作出函数的图象如图：因为关于的方程恰有三个不相等的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点，由图可知，，即实数的取值范围为.故答案为：；.15．已知函数．(1)求的单调递减区间；(2)试比较与的大小．【解析】（1），由，得．因为在上单调递增，所以在上单调递减．故原函数的单调递减区间为．（2），，因为，且在上单调递增，所以，所以．16．已知函数在，上的最小值、最大值分别为1和7，求m和n的值.【解析】正切函数在，单调递增，且，，由题意函数最小值、最大值分别为1和7，可知，①当时，函数在，单调递增，，解得；②当时，函数在，单调递减，即.综上所述，或.17．设函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求不等式的解集.【解析】（1）的最小正周期.（2）不等式，即，所以，求得，故不等式的解集为，.18．已知函数，其中，（，），的部分图像如下图．(1)求，，的值；(2)求的单调增区间，【解析】（1）根据函数图像可知，，所以，过点和点，所以，由于，所以，则，所以，所以.（2）由，解得