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文档简介
5.4.3正切函数的性质与图象目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一:正切函数的定义域问题 2题型二:正切函数的对称性问题 3题型三:正切函数的周期性问题 5题型四:正切函数的单调性问题 6题型五:正切函数的最值与值域问题 7题型六:正切函数的奇偶性问题 8题型七:正切函数的图像问题 9题型八:解不等式问题 12题型九:比较大小问题 14题型十:正切函数的综合问题 15题型十一:根据正切函数单调性求参数的范围问题 18【重难点集训】 19【高考真题】 30【题型归纳】题型一:正切函数的定义域问题1.(2024·高一·全国·课后作业)定义域为(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】因为,所以.则定义域为故选:A.2.(2024·高一·全国·课后作业)函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由有意义可得,,,即,,故函数的定义域为.故选:D.3.(2024·高一·广东佛山·阶段练习)函数的定义域为(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】令,解得,故选:A4.(2024·高一·内蒙古赤峰·期末)函数的定义域为(
).A., B.,C., D.,【答案】C【解析】由题意可得:,且,即,∴,.故选:C.题型二:正切函数的对称性问题5.(2024·高一·上海·期中)若函数,,则和在的所有公共点的横坐标的和为.【答案】【解析】因为的对称中心为,,的对称中心为,,所以两函数的交点也关于对称,,又因为函数,的最小正周期为,作出两函数的在的图象,如下图,由此可得两函数图象共6个交点,设这6个交点的横坐标依次为,且,其中关于对称,,关于对称,,所以.故答案为:.6.(2024·高一·四川·阶段练习)已知函数的图象关于点对称,则.【答案】/【解析】因为的图象关于点对称,所以,所以,因为,所以.故答案为:.7.(2024·高一·全国·专题练习)已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象的一个对称中心为且|φ|<,则φ=.【答案】或/或【解析】由题意得(k∈Z),即(k∈Z),又|φ|<,所以φ=或φ=-.故答案为:或题型三:正切函数的周期性问题8.(2024·高一·新疆巴音郭楞·期末)函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是.【答案】8【解析】由题意知函数的最小正周期为,∴.故答案为:8.9.(2024·广东·一模)已知函数的最小正周期为,则.【答案】1【解析】依题意,整理得,解得.故答案为:1.10.(2024·高三·全国·课后作业)函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是.【答案】【解析】因为函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,所以该函数的最小正周期为,因为,所以,即,因此,故答案为:题型四:正切函数的单调性问题11.(2024·高三·全国·专题练习)的单调递减区间为.【答案】【解析】函数,由正切函数的性质知,解得所以函数的单调递减区间为故答案为:12.(2024·高一·全国·课后作业)函数的单调减区间为.【答案】【解析】因为,由可得,所以,函数的单调递减区间为,无增区间.故答案为:.13.(2024·高一·四川达州·阶段练习)函数的单调递增区间为【答案】【解析】对于函数,由,可得,所以,函数的单调递增区间为.故答案为:.题型五:正切函数的最值与值域问题14.(2024·高一·上海·课堂例题)求函数,的值域.【解析】.∵,∴.当,即时,y取最小值-1;当,即时,y取最大值.∴函数的值域为.15.(2024·高一·上海·课堂例题)求函数,的最大值与最小值.【解析】依题意,函数,,设,则,所以当时,取得最小值为,当时,取得最大值为.16.(2024·高一·上海·课堂例题)求函数的最大值和最小值.【解析】①当时,;②时,,由可知,当且仅当,即时等号成立,∴.③当时,,由知,当且仅当,故,即.综上,的最大值为,最小值为.题型六:正切函数的奇偶性问题17.(2024·高一·山东烟台·期末)下列函数为奇函数的是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由,定义域关于原点对称,则,所以fx是偶函数,故A错误;由,定义域关于原点对称,则,所以fx是偶函数,故B错误;由,定义域关于原点对称,则,所以fx是奇函数,故C正确;由,定义域关于原点对称,则,且,所以fx非奇非偶,故D错误.故选:C18.(2024·高三·陕西·阶段练习)已知函数,且,则(
)A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】设,定义域为,关于原点对称,则,故是奇函数,从而,即,即.故选:A19.(2024·高一·湖北·阶段练习)已知函数与直线交于两点,且线段长度的最小值为,若将函数的图象向左平移个单位后恰好关于原点对称,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知,函数的最小正周期,则,得,所以,将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,因为该图象关于原点对称,则,所以当时,,,不合题意,当时,,又,所以当时,取,当时,,不合题意,故最大值为,故选:C题型七:正切函数的图像问题20.(2024·高一·河南南阳·期中)已知函数,的部分图象如图,则(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象可知,,所以.由可得,,所以.又,所以,所以,所以.因为,所以,.又,所以,所以,所以,所以.故选:C.21.(2024·山东·模拟预测)函数的图像如图所示,图中阴影部分的面积为,则(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示,区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形的面积,可得,设函数的最小正周期为,则,由题意可得:,解得,故,可得,即,可知的图象过点,即,∵,则,∴,解得.故选:A.22.(2024·河南·模拟预测)函数()的部分图像如下图,则最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由图知,由解得所以当时,.故选:A23.(2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习)已知函数的部分图象如图所示,且,则(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由图象可知,函数的最小正周期为,所以,,由得,所以,则,又,所以,所以,故,从而.故选:A.题型八:解不等式问题24.(2024·高一·河北邢台·期末)下列是“”的一个充分不必要条件的是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得,因为,但,所以不是的子集,所以不是“”的充分条件,A错误,因为,但,所以不是的子集,所以不是“”的充分条件,B错误,因为,但,所以不是的子集,所以不是“”的充分条件,D错误,因为,所以为“”的一个充分不必要条件,C正确;故选:C.25.(2024·高一·全国·课后作业)若直线()与函数的图象无公共点,则不等式的解集为(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】因为直线与函数的图象无公共点,且,所以,所以,故可化为,所以解得所以不等式的解集为,故选:B.26.(2024·高一·上海·课后作业)使得不等式成立的x的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】由不等式,根据正切函数的图象与性质,可得,即实数x的取值范围是.故选:C.题型九:比较大小问题27.(2024·高一·北京延庆·期中)设,,,则A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,即.故选:C.28.(2024·高一·江西九江·阶段练习)已知,,,,则(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】因为2是第二象限角,所以,,,所以,综上可知,,,,,所以.故选:C29.(2024·高一·河南南阳·阶段练习)若,,.则(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,在上单调递增,∴,又在上单调递增,故,又,故,又在上单调递减,故.所以.故选:A.题型十:正切函数的综合问题30.(2024·高一·上海·课堂例题)设函数.(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间;(2)求不等式的解集;(3)作出函数在一个周期内的简图.【解析】(1)由,得(),∴的定义域是,∵,∴最小正周期,由(),得().∴函数的单调增区间是().所以函数定义域是,最小正周期,单调增区间是().(2)由,得().解得().∴不等式的解集是.(3)令,则;令,则;令,则.∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是,.从而得函数y=fx在一个周期内的简图如下:31.(2024·高一·江苏常州·期末)已知函数,其中.(1)当时,求在区间上的最值及取最值时的值;(2)若的最小值为,求.【解析】(1)当时,,令,,则,的图象对称轴为,开口向上,所以当时,即时,取得最小值,最小值为,当时,即时,取得最大值,最大值为,所以在上的最小值为,此时,最大值为,此时.(2)因为的最小值为,所以,且,所以,又,所以.32.(2024·高一·湖北荆州·期末)已知函数的图象关于点对称.(1)求的单调递增区间;(2)求不等式的解集.【解析】(1)由题意知,的图象关于点对称,,即.,故.令,得,即.函数的单调递增区间为.(2)由(1)知,.由,得,即.不等式的解集为.33.(2024·高一·上海虹口·期末)已知函数,其中.(1)若,求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心;(2)若在闭区间上是严格增函数,求正实数的取值范围.【解析】(1)∵,∴函数的最小正周期为,令,Z,解得,Z,∴函数图象的对称中心为,Z.(2)∵在闭区间上是严格增函数,∴,∴,且ω为正实数,解得题型十一:根据正切函数单调性求参数的范围问题34.(2024·高一·上海浦东新·期中)若函数在上为严格减函数,则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为函数的单调递增区间为,,且函数在上为严格减函数,所以,解得,即.故答案为:.35.(2024·全国·模拟预测)若函数在上单调递减,且在上的最大值为,则.【答案】/-0.25【解析】因为函数在上单调递减,所以,,则,又因为函数在上的最大值为,所以,即,所以.故答案为:36.(2024·高一·江苏·专题练习)已知函数在内是减函数,则的取值范围为;若函数的最小正周期为,则.【答案】【解析】由题意可知ω<0,又,.故-1≤ω<0.因为=,所以|a|=,所以a=±.故答案为:;.【重难点集训】1.函数的定义域为(
)A., B.,C., D.,【答案】C【解析】由题意,得,所以,,得,,故所求函数的定义城为,,故选:C.2.函数的大致图象是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】由,解得,均能满足有意义,故函数的定义域为,关于原点对称,因为,所以为偶函数,故排除B;又,所以在上单调递增,当时,,所以时,,所以当时,,所以排除A,D;故选:C.3.下列函数中在上单调递增,周期为且为奇函数的是(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】对于选项A:因为,易知其为奇函数,其最小正周期,若,则,且在内单调递减,则在上单调递减,所以在上单调递增,故A正确;对于选项B:由选项A可知:在上单调递减,故B错误;对于选项C:若,则,且在内单调递减,所以在上单调递减,故C错误;对于选项D:因为,若,则,且在内单调递减,所以在上单调递减,故D错误;故选:A.4.下列四个函数中,既是偶函数又在区间上为增函数的是(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A,为偶函数,对,且,因为在上为增函数,所以,所以,故在上为增函数,故A正确;对于B,为奇函数,故B错误;对于C,为奇函数,故C错误;对于D,为偶函数,但取,,,则,故D错误.故选:A.5.若,且,,,则,,的大小是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】因为若,且,,,若,则,,显然不符合题意,若时,,所以,,,由题意可得,,可看成与,的交点的横坐标,结合函数的图象可知,.故选:B6.已知函数的部分图象如图所示,则(
)A. B.是奇函数C. D.直线是的一条对称轴【答案】C【解析】对于A,由题意,,所以,又,加半个周期大于0,即,解得,即,所以只能是,所以,故A错误;对于B,,因为存在使得,所以不是奇函数,故B错误;对于C,设,所以,故C正确;对于C,,故D错误.故选:C.7.已知函数,则下列结论正确的是(
)A.是函数的一个周期 B.函数在上是增函数C.函数的图像关于点对称 D.函数是偶函数【答案】C【解析】由题可得:,根据正切函数得周期性可知,函数的最小正周期为,故A错误;根据正切函数的性质可知,在上是减函数,故B错误;根据正切函数的性质可知,的图像关于点对称,取,则函数的图像关于点对称,故C正确;的图象关于原点对称,为奇函数,故D错误;故选:C8.已知函数在上是减函数,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在上是减函数,所以,,,.故选:B.9.(多选题)已知,则下列说法正确的是(
)A.图像对称中心为B.的最小正周期为C.的单调递增区间为D.若,则【答案】BD【解析】对于A,令,则,A错误;对于B,的最小正周期为,B正确;对于C,根据正切函数性质可知,只有递增区间,则只有递减区间,C错误;对于D,由题意可知,所以解得,所以,D正确.故选:BD.10.(多选题)已知函数,则下列说法正确的是(
)A.的最小正周期为 B.的定义域为C.的图象关于点对称 D.在上单调递增【答案】ABD【解析】对于A,的最小正周期为,所以A正确,对于B,由,得,所以的定义域为,所以B正确,对于C,因为,所以的图象不关于点对称,所以C错误,对于D,由,得,因为在上递增,所以在上单调递增,所以D正确.故选:ABD11.(多选题)已知当时,函数不单调,其中,则实数可能的取值有(
)A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】∵,∴当时,,当时,∵当时,函数不单调,∴,,故选:BD12.已知,,,则它们的大小关系为(用“”连接)【答案】【解析】因为,所以,,,由正切函数性质得在上单调递增,所以,故,即.故答案为:13.(1)函数的定义域是.(2)函数的值域为.【答案】【解析】(1)要使有意义,则,解得,解得.故函数的定义域是;(2)设,则,当时,.所以的值域是.故答案为:;.14.已知函数,则函数的值域为;若关于的方程恰有三个不相等的实数根,则实数的取值范围为.【答案】;.【解析】当时,;当时,;当时,.综上,函数的值域为.作出函数的图象如图:因为关于的方程恰有三个不相等的实数根,所以直线与函数的图象有三个交点,由图可知,,即实数的取值范围为.故答案为:;.15.已知函数.(1)求的单调递减区间;(2)试比较与的大小.【解析】(1),由,得.因为在上单调递增,所以在上单调递减.故原函数的单调递减区间为.(2),,因为,且在上单调递增,所以,所以.16.已知函数在,上的最小值、最大值分别为1和7,求m和n的值.【解析】正切函数在,单调递增,且,,由题意函数最小值、最大值分别为1和7,可知,①当时,函数在,单调递增,,解得;②当时,函数在,单调递减,即.综上所述,或.17.设函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求不等式的解集.【解析】(1)的最小正周期.(2)不等式,即,所以,求得,故不等式的解集为,.18.已知函数,其中,(,),的部分图像如下图.(1)求,,的值;(2)求的单调增区间,【解析】(1)根据函数图像可知,,所以,过点和点,所以,由于,所以,则,所以,所以.(2)由,解得
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