2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）4．5．2 用二分法求方程的近似解（三大题型）

4．5．2用二分法求方程的近似解目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：用二分法求近似解的条件 2题型二：用二分法求方程近似解的过程 3题型三：用二分法求函数零点的过程 5【重难点集训】 8【高考真题】 16【题型归纳】题型一：用二分法求近似解的条件1．（2024·高一·全国·课后作业）用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，根据零点存在性定理，以及二分法的概念，即可得出结果.令，则，，用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是．故选：C．2．（2024·高一·湖南·课后作业）下列函数中，只能用二分法求其零点的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得；由得；由得；即ABC选项，均可根据解对应的方程求出零点；D选项，由，不能直接求解，因此需要用二分法求函数零点.故选：D.3．（2024·高一·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点；对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点；对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的，故C不能用二分法求零点；对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点.故选：C.4．（2024·高一·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，在0,+∞上单调递增，且，可以使用二分法，故A错误；对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，故B错误；对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，在0,+∞上单调递增，且，可以使用二分法，故D错误.故选：C题型二：用二分法求方程近似解的过程5．（2024·高一·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程的一个近似解为（精确到0.1）【答案】【解析】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间，结合题设要求，可得方程的一个近似解为.故答案为：.6．（2024·高一·天津·阶段练习）若用二分法求方程在初始区间内的近似解，第一次取区间的中点为，那么第二次取区间的中点为．【答案】/【解析】当时，，当时，，当时，，故下一次应取区间的中点，即.故答案为：.7．（2024·高一·江苏·课后作业）已知函数.(1)求证：在上为增函数.(2)若，求方程的正根（精确度为0.01）.【解析】（1）证明：设，，，，，，；，且，，，，即，函数在上为增函数；（2）由（1）知，当时，在上为增函数，故在上也单调递增，因此的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于，，取为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值0.50.7320.250.3750.3220.31250.1240.281250.0210.2656250.2734375由于，原方程的根的近似值为0.2734375.即的正根约为0.2734375.8．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数（1）证明方程在区间内有实数解；（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程，的实数解在哪个较小的区间内．【解析】（1），，由函数的零点存在性定理可得方程在区间内有实数解；（2）取，得由此可得，下一个有解区间为再取，得，下一个有解区间为再取，得，下一个有解区间为，综上所述，得所求的实数解在区间，．题型三：用二分法求函数零点的过程9．（2024·高一·全国·课后作业）在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为．【答案】0.7【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．故答案为：0.7.10．（2024·高一·全国·课堂例题）求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.05）．【解析】在同一平面直角坐标系中，作出，的图象如图所示，可以发现方程有唯一解，记为，并且解在区间(1,2)内．设，则的零点为．用计算器计算得，；，，，，，，，，∵，∴曲线和直线的交点的横坐标约为．11．（2024·高一·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01）【解析】经计算，，所以函数在内存在零点，取的中点，经计算，因为，所以，如此继续下去，如下表：区间中点值中点函数近似值因为，所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为．12．（2024·高一·上海·专题练习）判断函数的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度)【解析】因为，所以，因为，所以在区间内有零点，因为在上为增函数，所以有且只有一个零点，取区间的中点，，所以，可得，取区间的中点，，所以，可得，取区间的中点，，所以，可得，取区间的中点，，所以，可得，因为，所以零点的近似值可取为.【重难点集训】1．在使用二分法计算函数的零点的近似解时，现已知其所在区间为，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（

）次区间中点的函数值．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】开区间的长度等于1，每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，经过次二分法计算后，区间长度变为，又使用二分法计算函数的在区间上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1，所以，则，又，所以，又，故，所以接下来至少需要计算你次区间中点的函数值．故选：C.2．已知定义在上的增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，又，则函数f(x)的零点为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由f(x)在上单调递增得：，，又恒成立，∴，解得，∴f(x)的零点为，故选：C.3．下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（

）A．（k，b为常数，且）B．（a，b，c为常数，且）C．D．（，k为常数）【答案】A【解析】由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，D不能用“二分法”求其零点，故CD错误；对于二次函数（a，b，c为常数，且），当时，不能用二分法，故B错误；由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确.故选：A4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1，2)内的近似解的过程中，构造函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根所在的区间是（

）A．(1，1.25) B．(1.25，1.5)C．(1.5，1.75) D．(1.75，2)【答案】B【解析】由f(1.25)<0，f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的，根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25，1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根所在的区间是(1.25，1.5)，故选：B5．已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（

）A．4 B．6 C．7 D．10【答案】D【解析】设需计算次，则满足，即．由于，故计算10次就可满足要求，所以将区间等分的次数至少是10次．故选：D．6．用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，设，其中，又由，则，可得方程根在区间．故选：A．7．用二分法求f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得，f(2)＝－5，，则下列结论正确的是()A．x0∈ B．x0＝C．x0∈ D．x0＝1【答案】C【解析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足由于，所以.故选C.8．已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值(精确度)为，则最少需要将区间等分的次数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】设需要将区间等分次，因为每次等分区间，都会将区间的长度变为原来的一半，原区间长度为1，所以，得，因为，所以的最小值为3，故选：A9．（多选题）下列说法正确的是（

）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是C．函数有两个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【答案】AD【解析】对A，记，易知都在R单调递增，所以在R上单调递增，又，所以存在唯一零点，且，即方程的唯一解在内，所以，A正确；对B，令，解得或，所以函数的零点是或，B错误；对C，作出的图象如图：当时，函数和的图象显然有一个交点，又，所以函数和的图象在处相交，所以有三个不同的零点，C错误；对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确.故选：AD10．（多选题）教材中用二分法求方程的近似解时，设函数来研究，通过计算列出了它的对应值表1.251.3751.406251.4221.43751.50.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（

）A．B．方程有实数解C．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵与都是R上的单调递增函数，∴是R上的单调递增函数，∴在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：，，∴在R上有唯一零点，零点所在的区间为，∴，A错误；方程有实数解，B正确；，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C正确；，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D错误.故选：BC.11．（多选题）下列方程中能用二分法求近似解的为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，，使得，故A正确；对于B项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，，使得，故B正确；对于C项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，，使得，故C正确；对于D项，设，因为恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D错误.故选：ABC.12．用二分法求函数在区间上的零点，若要求精确度为0.001，则至少进行次二分．【答案】11【解析】根据题意，原来区间的长度等于2，每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为，令，又，解得.故答案为：11．13．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程的一个近似解为．（精确到0.01）【答案】1.56【解析】因为，，根据零点存在性定理，可知零点在内，由二分法可得零点的近似值可取为，所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．故答案为：1.5614．用二分法求方程的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为．【答案】【解析】因为，，，所以下一个有根区间为，故答案为：．15．现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？(1)当时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？【解析】（1）第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：①若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上.（i）若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；（ii）若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”.②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球补入左边，看天平，有三种可能.（i）若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；（ii）若左边重，则“坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；（ⅲ）若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是偏轻还是偏重）.显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重.（2）将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”.综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”.16．求方程的零点（精确到0.1）．【解析】令，设函数y=fx的零点为，因为f2<0，，所以，由二分法得到下表，中点所在区间2.52.252.1252.18752.156252.1406252.1484375因为在精确度为0.1时，，，所以在精确度为0.1时，．17．已知函数．(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）．【解析】（1）在单调递增；证明如下：任取，不妨设，，因为，则，，，可得，即，所以在上单调递增.（2）因为函数在区间上是连续且单调的，可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解，且，，可得在内有且仅有一个零点，在区间上利用二分法列表如下：区间中点中点函数值区间长度1此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间，即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解．18．判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）【解析】设，利用二分法，列表计算如下：x11.51.251