2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）

A.a=1，b=A=30°

B.a=1，b=2；c=3

C.b=c=1；B=45°

D.a=1，b=2；A=100°

2、下列命题中的真命题是（）

①平行于同一条直线的两个平面平行。

②平行于同一个平面的两条直线平行。

③垂直于同一条直线的两个平面平行。

④垂直于同一个平面的两个平面平行．

A.①②

B.②③

C.③④

D.③

3、在数1，2，3，4，5的排列中，满足的排列出现的概率为（）A.B.C.D.4、函数在区间内（）A.有最大值，无最小值B.有最大值，有最小值C.无最大值，无最小值D.无最大值，有最小值5、方程表示的图形是半径为r（）的圆，则该圆圆心在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、复数z=(2+i)i在复平面内的对应点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7、某单位拟安排6位员工在今年5月31日至6月2日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值5月31日，乙不值6月2日，则不同的安排方法共有（）A.30种B.36种C.42种D.48种8、如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A.cosAB.sinAC.sin2AD.cos2A9、已知f(x)

为偶函数且鈭�06f(x)dx=8

则鈭�鈭�66f(x)dx

等于(

)

A.0

B.4

C.8

D.16

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、已知且则____________．11、【题文】已知数列与均为等比数列，且则12、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为____．13、已知函数y=ex与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称，请根据这一结论求：lnxdx=______．14、在△ABC中，若a，b，c成等比数列且c=2a，则cosB=______．15、椭圆4x2+y2=16的长轴长等于______．16、已知圆C拢潞(x鈭�33)2+(y鈭�5)2=4

和两点A(鈭�3m,0)B(3m,0)(m>0)

若圆C

上存在点P

使得隆脧APB=60鈭�

则实数m

的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共3题，共24分)23、．(10分)如图，已知线段AB、BD在平面内，线段如果（1）求C、D两点间的距离.（2）求点D到平面ABC的距离24、甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？(2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．25、命题p

方程x2+mx+1=0

有两个不等的正实数根，命题q

方程4x2+4(m+2)x+1=0

无实数根.

若“p

或q

”为真命题，求m

的取值范围．评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)26、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．30、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

对于A、a=1，b=A=30°三角形中B可以是45°，135°，组成两个三角形．

对于B、a=1，b=2；c=3组不成三角形．

对于D、a=1，b=2；A=100°组不成三角形．

对于C、b=c=1；B=45°显然只有一个三角形．

故选C．

【解析】【答案】利用已知选项的条件；通过正弦定理，组成三角形的条件，判断能不能组成三角形，以及三角形的个数．

2、D【分析】

平行于同一条直线的两个平面平行或相交；即①不正确；

平行于同一个平面的两条直线平行；相交或异面；即②不正确；

根据面面平行的判定定理；可得垂直于同一条直线的两个平面平行，即③正确；

垂直于同一个平面的两个平面还可能相交；即④不正确；

故选D．

【解析】【答案】平行于同一条直线的两个平面平行或相交；平行于同一个平面的两条直线平行；相交或异面；根据面面平行的判定定理；可得③正确；垂直于同一个平面的两个平面还可能相交．

3、B【分析】试题分析：数1，2，3，4，5的排列共有种结果，记“满足”为事件则包含的结果有．由古典概型的计算公式可得．考点：古典概型及其概率计算公式．【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】

因为则在（0,1）递增，在（1，+）递减，故函数有最大值，无最小值，选A【解析】【答案】A5、D【分析】【分析】圆的一般方程要求中圆心为（)，由得所以圆心在第四象限，故选D。

【点评】圆的一般方程要求中6、B【分析】【解答】因为所以复数在复平面内的对应点在第二象限；故选B。

【分析】简单题，复数a+bi(a,b)对应点（a,b)。7、C【分析】解：甲、乙同组，则只能排6月在1日，有=6种排法．

甲、乙不同组，有=36种排法；

故共有42种方法．

故选：C．

分两类：甲；乙同组；则只能排在6月1日．甲、乙不同组．作和后得答案．

本题考查了分类加法计数原理，关键是对题意的理解，解答该类问题一定要避免重复或遗漏，是易错题．【解析】【答案】C8、D【分析】解：如图；连接BE．

∵BC为半圆的直径；

∴∠BEC=∠AEB=90°．

∴在直角△ABE中，cosA=

∵点D；B、C、E四点共圆；

∴∠ABC+∠DEC=180°．

∵∠DEC+∠AED=180°；

∴∠ABC=∠AED．

又∵∠A=∠A；

∴△AED∽△ABC；

∴=．

∵S△ADE=AE•AD•sinA，S△ABC=AB•AC•sinA；

∴S△ADE：S△ABC===cos2A．

故选：D．

连接BE．构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得cosA=然后通过相似三角形△AED∽△ABC的对应边的比成比例知=最后结合三角形的面积公式分别求得△ADE；△ABC的面积．

本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形等知识点．解答该题时，借用了圆内接四边形的内对角互补的性质．【解析】【答案】D9、D【分析】解：原式=鈭�鈭�60f(x)dx+鈭�06f(x)dx

．

隆脽

原函数为偶函数；隆脿

在y

轴两侧的图象对称；

隆脿

对应的面积相等；则隆脪鈭�66f(x)dx=8隆脕2=16

．

故选D．

根据定积分的几何意义知；定积分的值隆脪鈭�66f(x)dx

是f(x)

的图象与x

轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题．

本题主要考查定积分以及定积分的几何意义，属于基础题．【解析】D

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于且那么则可知故可知答案为考点：二倍角公式【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】分析：设数列{an}的公比为q，可得an=qn-1，再由{2an+3}为等比数列可得其公比等于=再由2a3+3=（2a2+3）q，求出q=1，从而得到a168的值．

解：设数列{an}的公比为q，再由a1=1，则得an=1×qn-1=qn-1．

再由{2an+3}为等比数列可得其公比等于=

故有2a3+3=（2a2+3）q，即2q2+3=（2q+3）q；解得q=1；

即数列{an}是常数数列，故a168=1；

故答案为1．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，求出q=1是解题的关键，属于中档题．【解析】【答案】112、54【分析】【解答】解：由球的表面积公式，得4πR2=12π；

∴R=．

∴正三棱柱的高h=2R=2．

设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=

∴a=6．

∴该正三棱柱的体积为：V=S底•h=•a•a•sin60°•h=×6×6×2=54．

故答案为：54

【分析】由球的表面积求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的体积．13、略

【分析】解：如图，

=2ln2-eln2+e0=2ln2-1．

故答案为：2ln2-1．

由对称性化：lnxdx为然后求解定积分得答案．

本题考查定积分，考查了数学转化思想方法，是中档题．【解析】2ln2-114、略

【分析】解：∵a，b；c成等比数列；

∴b2=ac；又c=2a；

∴b2=2a2，即b=a；

则cosB===．

故答案为：

由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将c=2a代入，开方用a表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b和c代入；整理后即可得到cosB的值．

此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．【解析】15、略

【分析】解：由4x2+y2=16，得

∴椭圆为焦点在y轴上的椭圆；

则a2=16；∴a=4．

∴椭圆4x2+y2=16的长轴长等于2a=2×4=8．

故答案为：8．

化椭圆方程为标准方程；求出长半轴长，则答案可求．

本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础的计算题．【解析】816、略

【分析】解：如图，当D(0,3m)

时，隆脧ADB=60鈭�

故满足条件的点P

必在以ABD

三点所确定的圆周上；

隆脿

该圆圆心为M(0,m)

要使圆C

上存在点P

由两圆必有交点；

即|rM鈭�rC|鈮�|MC|鈮�|rM+rC|

如图；

隆脿|rM鈭�rC|2鈮�|MC|2鈮�|rM+rC|2

隆脿(2m鈭�2)2鈮�(33)2+(m鈭�5)2鈮�(2m+2)2

由m>0

解得2鈮�m鈮�鈭�1+1453

．

故答案为：{m|2鈮�m鈮�鈭�1+1453}.

当D(0,3m)

时，隆脧ADB=60鈭�

满足条件的点P

必在以ABD

三点所确定的圆周上，该圆圆心为M(0,m)

要使圆C

上存在点P

由两圆必有交点，从而|rM鈭�rC|鈮�|MC|鈮�|rM+rC|

进而(2m鈭�2)2鈮�(33)2+(m鈭�5)2鈮�(2m+2)2

由此能求出实数m

的取值范围．

本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．【解析】{m|2鈮�m鈮�鈭�1+1453}

三、作图题(共6题，共12分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、解答题(共3题，共24分)23、略

【分析】

（1）（2）【解析】略【解析】【答案】24、略

【分析】【解析】试题分析：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是所以取出的3个球颜色全不相同的概率是即甲获胜的概率为由且所以当时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.所以取出的3个球中红球个数的期望：．考点：本小题主要考查互斥事件的概率的求法和随机变量的分布列的数学期望的求法以及排列、组合公式的应用.【解析】【答案】（1）甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大（2）1.525、略

【分析】“p

或q

”为真命题；即p

和q

中至少有一个真命题，分别求出p

和q

为真命题时对应的范围，再求并集．

命题p

方程x2+mx+1=0

有两个不等的正实数根?{鈻�>0x1+x2>0x1x2>0

命题q

方程4x2+4(m+2)x+1=0

无实数根?鈻�<0

．【解析】解：“p

或q

”为真命题；则p

为真命题，或q

为真命题．

当p

为真命题时，则{鈻�=m2鈭�4>0x1+x2=鈭�m>0x1x2=1>0

得m<鈭�2

当q

为真命题时，则鈻�=16(m+2)2鈭�16<0

得鈭�3<m<鈭�1

隆脿

“p

或q

”为真命题时，m<鈭�1

五、计算题(共1题，共9分)26、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/3六、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的