高三数学1-第五章 平面向量、复数

第五章平面向量、复数

第一节平面向量的概念及线性运算

［备考领航］

课程标准解读关联考点核心素养

1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理

1.平面向量的有关

解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.

概念.

2.通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何1.数学抽象.

2.平面向量的线性

意义.2.直观想象.

运算.

.数学运算

3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个3

3.共线向量定理的

向量共线的含义.

应用

4,了解向量的线性运算性质及其几何意义

知识重点准逐点清结论要牢记课前自修

［重点准•逐点清］

重点一向量的有关概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(模).

2.零向量：长度为0的向量，记作0.

3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量

平行.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量.

6.相反向量：长度相等且方向粗反的向量.

［提醒］(1)任意向量a的模都是非负实数，即|a|20;

(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量

有两个，即向普和喘

［逐点清］

1.（多选）以下说法正确的是（）

A.零向量与任一非零向量平行

B.零向量与单位向量的模不相等

C.平行向量方向相同

D.平行向量一定是共线向量

解析：选ABD对于A,根据零向量的性质，可知A是正确的；

对于B,由零向量的模是0,单位向量的模是1,所以B是正确的；

对于C,平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；

对于D,由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选A、

重点二向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

力交换律：a+b=b+a；

求两个向量和的a

加法三角形法则结合律：（a+b）4-c=a+（b+

运算

c）

平行四边形法则

求a与b的相反

减法向量一b的和的£a-b=a+(-b)

运算三角形法则

|；.a|=p.||a|,当兀＞0时，；.a

与a的方向相同;4〃a)=(办)a；

求实数2与向量

数乘当2Vo时，履与a的方向相q+〃)a=2a+〃a；

a的积的运算

反；2(a+b)=^a+zb

当2=0时，；.a=0

［提醒］向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法

则要素走“起点重合，指向被减向量的终点”：平行四边形法则要素是“起点重合”.

［逐点清］

2.（必修■4*86页例4改编）如图，口的对角线交于"，若A3=a,AD=bf用

a,b表示“。为(

解析：选DMD=^BD=^(AD—AB)=|(^—«)=—

3.(多选)给出下面四个选项，其中正确的是()

A.AB+BA=0B.~ABYBC^AC

C.~AB+~AC=~BCD.0-~AB='BA

解析：选ABD因为京+市=/万一9=0,A正确；

~AB+~BC=^Cf由向量加去知B正确；

AB+AC=BC,不满足加法运算法则，C错误；

由7方+前=0,所以京=0-茄，故D正确.故选A、B、D.

4.(必修4第87页练习2题改编)化简：

(1)(AB+MB)VB6VOM=；

(2)福+9+前一标=.

解析：(1)原式=兄+力^+不方+词=前.

(2)原式=而+P7V=0.

答案：(1)脑(2)0

重点三向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数使得b=)a

［提醒］只有“H0才保证实数2的存在性和唯一性.

［逐点清］

5.(兴修4第77页习题A组3题改编)如图，D,E,尸分别是△ABC各边的中点，则

下列结论错误的是()

BDC

A.~EF=~CDB.笈与成共线

C.说与B是相反向量D.AE=1|AC|

解析：选D选项D中，AE=|AC,所以D错误.

6.G*借题)对于非零向量a,b,“a+b=O”是“a〃b”的()

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A若a+b=O,则@=一b,所以@〃1).若2〃13,则a+b=O不一定成立.故

前者是后者的充分不必要条件，故选A.

［记结论•提速度］

［记结论］

1.若尸为线段的中点，。为平面内任一点，则苏苏).

2.~OA=fOB^f^OCq,〃为实数)，若点4,B,C三点共线，贝Ij2+"=L

［提速度］

1.在△ABC中，AO为5C边上的中线，E为AO的中点，则而=()

A.^AB-^ACB.^AB-^AC

C.4-^ACD.^AB+JAC

解析：

ITnc

选A如图所示，~EB=~ED4-DB=1AD=1x|(^4B+AC)+1(7j?-^4C)=

5A6-,故选A.

2.已知A,BtC是直线/上不同的三个点，点。不在直线/上，则使等式/市+x前

+BC=0成立的实数x的值为.

2

解析：*：~BC=7)C-7)Bt.,・^万？+*万裕+衣一苏=0,即~充=一3亩一(3一

l)OBtVA,B,C三点共线,

A—x2—(x—1)=1,即炉+》=0,解得x=0或x=-1.当x=0时，炉万才+工加+就

=0,此时B,。两点重合，不合题意，舍去.故x=-l.

答案：一1

考点破理解透规律明变化究其本课堂讲练

「考点一|一平面向量的有关概念

［基础自学过关］

［题组练透］

1.设所为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a卜痴；②若a

与&)平行，则a=|a|ao；③若a与物平行且|a|=L则a=a«,假命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与同刖的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命题；若a与刖平行，则a与a。的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向

时a=一|a|a(),故②③也是假命题.

2.设a,b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使2+七=。成立的是()

A.a=2bB.a〃b

C.a=一手)D.a±b

ababb

解析：itC由盲+而=0得而=一而二°，即a=—而,同#0,则a与b共线且方向相

ab

反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使1+工;=0成立.对照各个选项可知，

网|D|

选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的

方向相反；选项D中a与b互相垂直，因此选C.

［练后悟通］

平面向■有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象

的移动混淆;

(4诽零向量a与高的关系：亩是与a同方向的单位向量.

L5AJ_______________,平面向■的线性运算

［定向精析突破］

考向1向量的线性运算

［例1］(1)(2021•西安五校联考)如图，是圆。的一条直径，C,D

是半圆弧的两个三等分点，则笳=()----/

A.'AC-'AD

B.2AC-2AD

C.AD—AC

D.2AD-2AC

(2)如图所示，在正方形A8CD中，E为8C的中点，产为4E的中点，。只---------ic

则加:()\

A.卡+萍

B.

C.^AB-^AD

D.YAB-^AD

［解析】(1)连接。(图喀)，因为C,。是半圆弧的两个三等分点，所以C0〃AB,且

AB=2CDf所以方=2布=2(罚一就)=2罚一2就，故选D.

(2)DF=^4F-4D,"AE^AB^BE.

YE为5C的中点，尸为A£的中点，

.*.~AF=^AEf~BE=^BCf

：JDF=^AF-~AD=^AE-'AD=\{ABVBE)-~AD

=4焉+4就一罚，

24

又就=防，・••加=3至一］方.故选D.

［答案］(DD(2)D

考向2根据向量线性运算求参数

［例2］在△ARC中，AB=2fBC=3,Z4BC=600,4&为BC边上的高，。为AD

的中点，若其中心〃WR,则2+〃等于()

1

A.1B.2

［解析］由题意易得说=就+南=3+)?,

则2而=9+；质，即而=高9+］"记.

所以久=方〃=&

4」1.12

［答案］D

［规律探求］

考向1是向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：

看一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则；求首尾相连向量和

个用三角形法则.

性考向2是考向1的逆运算.解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的

运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值

(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发

找的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解；

共(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形

性中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向

量有直接关系的向量来求解

［跟踪训练］

1.设。是△A3C所在平面内一点，~AB=2DCt则()

A.~BD="AC-^ABB.~BD=^AC^AB

C.~BD=^AC-~ABD.BD=AC-|AB

解析：选A~BD=~BCVCD=^BC-~DC=AC-~AB=~AC-^AS.

2.在平行四边形45co中，E,尸分别为边6C,C0的中点，若京=xlk+y二存(x,

y£R),贝！lx-尸•

解析：由题意得笈=笈+两=9+；下方，

~AF=AD4-DF=~AD+|A1,

因为而=xA£4-jAF,

所以方=(x+0A?+修+了)防,

“Bl，J42

所以］解得俨=§,产一3，

内ko,

所以x-y=2.

答案：2

1号点口共线向■定理的应用

［师生共研过关］

［例3］设两个非零向量a与b不共线.

-

(1)若福=a+b,«C=2a4-8b,CD=3(a-b),求证：AfB,。三点共线;

(2)试确定实数A,使Aa+b和a+Ab共线.

［解］(1)证明：VAB=a+b,就=2a+8b,CD=3(a-b),

：.~BD=~BC+布=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=53,

/.AB,30共线，又它们有公共点3,

：.AfB,&三点共线.

⑵TAa+b与a+Ab共线，

・••存在实数2,使Aa+b=2(a+Ab),即他一久用=(力1-1)1).

又a,b是两个不共线的非零向量，

［对点变式］

1.(变条件)若将本例⑴中“就=2a+8b”改为“就=a+mb”，则次为何值时，A,

B,&三点共线？

解：BD='»C+CD=(a4-/nb)4-3(a-b)=4a+(m-3)b,

若A,B,。三点共线，则存在实数九使诟=欠下了，

4=2,

即4a+Q〃-3)b=N(a+b),解得m=l.

zw-3=2,

故当m=7时，AfBf。三点共线.

2.(变条件)若将本例⑵中的“共线”改为“反向共线”，则A为何值？

解：因为Aa+b与a+Ab反向共线，

所以存在实数x,使Aa+b=2(a+Ab)G<0),

k=入,

所以A=±l.又；IvO,k=2,所以A=-L

{A2=l,

故当A=—1时，两向量反向共线.

［解题技法］

利用向■共线定理证明三点共线

若存在实数九使元？=方运，则A,B,C三点共线.

;存整数3d向量共线的」——：共线向量B,c\

\使检=入元：基本定理?AB//AC：有公共点：三点共线:

［提醒］(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量;

(2)证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点.

［跟踪训练］

1.在四边形A3CD中，入方=a+2b,BC=-4a~b,CD=-5a-3b,则四边形A3C&

的形状是()

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

解析：选C由已知，得力=53+兹+布=-8a-2b=2(—4a-b)=2就，

故而〃血.又因为苗与7方不平行，所以四边形48C。是梯形.

2.已知产是△ABC所在平面内的一点，若苕=2忘+同，其中NCR,则点尸一定

在（）

A.△ABC的内部B.AC边所在直线上

C.A8边所在直线上D.8C边所在直线上

解析：选B由,二元八十不演，得百一次，~CP=rPA.^~CPt后为共

线向量，又衣,百有一个公共点P,所以C,P,A三点共线，即点尸在直线AC上.

［课时过关检测］W

A级---基础达标

1.（2021•成都市新三考建应性考试）设a是非零向量，2是非零实数，下列结论中正

确的是（）

A.a与施的方向相反B.a与da的方向相同

C.|-xa|^|a|D.|-za|^|Z|-a

解析：选B对于A,当2>0时，a与;la的方向相同，当幺<0时，a与石的方向相反，

A不正确，B正确；对于C,|一为|=|一川间，由于|一川的大小不确定，故不冽与网的大小

关系不确定；对于D,|；」a是向量，而|一瓶|表示长度，两者不能比较大小.故C、D均不

正确.

2.矩形ABC。的对角线相交于点。，£为40的中点，若0E=2A8+〃A&（A,〃为

实数），则乃+〃2=（）

5

C.116

解析：选A~DE=1-ZM+|zX2=|7M+1

=|DA4-1(ZM4-AB)=^AB-%户,

I35

所以2=不〃=一不所以乃+〃2=*.

3.在等腰梯形AbCD中，~AB=-2CDtM为BC的中点，则苏=()

1-►1'->3'-.1->

A.”8+]ADB.XAB+5AO

3—>1——>1—>3——>

C^AB+5ADD.5A5+4A0

解析：选B因为罚=-2而,

所以京=2万己又M是"C的中点,

所以五方+AC）

1---->---->---->

=2（AB+AD+DC）

=%64-1AD.

1->

4.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A,B,C三点满足女手;+协，则”?

|AC|

等于（）

A.1B.2

解析：选C因为玄=无一加苏一加=阻？，AC=OC-OA=1

>

04+J-04=7AB,所以竺斗=3.故选C.

IAC|

5.（多选）已知等边△ABC内接于。O,O为线段04的中点，E为线段8C的中点，则

~BD=（）

A.jfiA+|fiCB.

—>1—>2—>1—>

C.BA+3AED.

6.（多选）在△ABC中，下列命题正确的是（）

A.~AB^AC=~BC

B.AB+-BC+CA=0

C.若（笈+就）•（前一就）=0,则△ABC为等腰三角形

D.若就•焉>0,则△ABC为锐角三角形

解析：选BC由向量的运算法则知，一就=N，~ABVBCVCA=^t故A错,

B对;

-hAC）（AB-AC）=AB2-AC2=d,

22

：.~AB=~ACf即疝|=|/I,

•••△4AC为等腰三角形，故C对；

二角4为锐角，但三角形不一定是锐角三角形.故选B、C.

7.已知向量e“e2是两个不共线的向量，若a=2ei—02与6=61+幺e?共线，则2=.

解析：因为a与b共线，所以a=xb,所以《'

Zv=-1,

故z=—

答案：T

8.如图所示，已知N6=30。，ZAOB=90°,点。在AB上,OCLAB,

若用市和苏来表示向量友，则&=.\

解析：由题意易知质=凉+就=市+1'芯=市+/前一万7）

加.

答案：

9.已知。为△A5C内一点，且京方=肉+/，~AD=tAC,若5,O,0三点共

线，贝h的值为.

解析：设线段3c的中点为则笳+衣=2万在

因为2前=前+衣，所以前=加5,

则一［=3》看=：（A6+方+：AD）=；“+.）户.

由〃，O,O三点共线，得:+==1,解得［=；.

答案《

10.（2021•看山模拟）在直角梯形48。中，A=90°,B=30°,43=25，BC=2t点E

在线段co上，若茄=茄+〃南，则〃的取值范围是.

解析：由已知40=1,CD=\［3f所以下方=2方下.

因为点E在线段CD上，所以万万小

因为益=而十笳，

又京=~AD+//AB=~AD4-2//DC='AD+竽乐,

所以半=1,即〃=*

因为0W7W1,所以

答案:[o,1]

1L如图，在△A5C中，O,E分别为3C,AC边上的中点，G为BEB

上一点，jaGB=2GE设％9=a,AC=b,试用a,b表示7方，AG.人

tEC

解：AD=1(AB4-AC)=1a4-1z>.

・».»—》—»2.»■»I.A―.

AG=AB^BG=AB+^BE=AB+、(BA+BC)

2—>1—>—>1—>1—>

=§46+§(AC—AB)=^AB+§AC

=$+/・

12.己知a,b不共线，OA=at05=b,OC=c,OD=dfOE-►=e,设，GR,

如果3a=c,2b=d,e=r(a+b),是否存在实数，使C,D,E三点在一条直线上？若存在，

求出实数f的值；若不存在，请说明理由.

解：由题设知，CD=d-c=2b—3a,CE=e-c=(/-3)a+/b,C,DtE三点在一条

直线上的充要条件是存在实数A,使得/=A而，即《-3)a+/b=-3Aa+2Ab,

整理得。-3+3A)a=(2无一。b.

L3+3A=0,6

因为a,b不共线，所以有解得，=£.

J-2A=0,5

故存在实数f=/使C,D,E三点在一条直线上.

B级——综合应用

13.(多选)设点M是△48C所在平面内一点，则下列说法正确的是()

A.若俞=界方+11落则点"是边SC的中点

B.若启=279—就，则点M在边8c的延长线上

C.若湍=一面一五?，则点M是△AbC的重心

D.若加=x7》+j，1己且x+y=；,则△MBC的面积是△ABC面积的;

解析：选ACD若苏=［二而+；一启，则点〃是边5C的中点，故A正确；

若说5=27方一就，即有筋一筋=笈一就，即碇=,，A\

则点〃在边C3的延长线上，故B错误；/

---►-►-►-►-►-►---1-

若AM=-5M-CM,即AM+3M+CM=0,N

则点M是△ABC的重心，故C正确；

如图，AM=xAB4-jAC,且x+y=；,

可得2AM=2x~AB±2y~ACt

设K=2元宓，则M为AN的中点，

则△MBC的面积是△48C面积的;，故D正确.故选A、C、D.

14.（2021•山西太原模拟）若点M是△ASC所在平面内一点，且满足|3俞一至一女

1=0,则△4RM与〃。的面积的比值为.

------>>■>A

解析：如图，设G为5C边的中点.由13AM—/15—AC|=0,得八、

3AM-~AB-~AC=Qf.,•点M为△ABC的重心，・••点M在4G上.连/

接MG.

aAAM\2.S^ABM2」

*：~ABVAC=2AG,：.3AM=2AGf则==3

\AG\3448GJ/

121

.•.△ABM与△ABC的面积之比为5乂；=不

乙33

答案《

15.经过△04〃重心G的直线与。4,分别交于点P,Q,设市=加方才，~OQ=

而…WR,求:+>的值.

解：设=a,OB=bt则方方=：(a+b),

•J

PQ=OQ-OP=nb-mat

PG=0G—OP=；m+/O_/〃a=g-〃z}+；/>.

由P,G,。共线得，存在实数2使得PQ=2PG,

即nb—ma=).\

〃岭，消去九得］+5=3・

C级——迁移创新

16.(2021•泰安肥城市方三道应性训球)定义一种向量运算“®"：a®b=

｛。山,当〃，b不共线时，\a-b\f当0,力共线时(a,b是任意的两个向量).对于同一平面

内的向量a,b,c,e,给出下列结论：

(l)a®b=b®a：

②;l(a®b)=(2a)®b(2eR)；

③(a+b)®c=a®c+b®c；

④若e是单位向量，贝lJ|a®e|W|a|+L

以上结论一定正确的是.(填写所有正确结论的序号)

解析：当a,b共线时，a®b=|a—b|=|b—a|=b®a,当a,b不共线时，a®b=a*b=b'a

=b®a,故①是正确的；

当7=0,bHO时，&a®b)=O,(xa)®b=|O-b|^O,故②是错误的；

当a+b与c共线时，则存在a,b与c不共线，(a+b)®c=|a4-b-c|,a®c+b®c=a-c

+b・c,显然|a+b—c|Ka・c+b・c,故③是错误的；

当e与a不关线时，|a®e|=a・ev|aHe|=|a|〈bl+l,当e与a共线时，|a®e|=|a—e|W|a|

+1,故④是正确的.

答案：①©

第二节平面向量基本定理及坐标表示

［备考领航］

课程标准解读关联考点核心素养

L了解平面向量的基本定理及其意义.1.平面向量基本定理及其应1.数学运算.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.用.2.逻辑推理

3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘2.平面向量的坐标运算.

、一fr£r

后算.3.平面向量共线的坐标表示

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件

知识重点准逐点清结论要牢记课前自修

［重点准•逐点清］

重点一平面向量基本定理

1.定理：如果明，e?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向

量a,有且只有一对实数制，小，a=^iei4-^262.

2.基底：不共线的向量由，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

［提醒］(1)基底的，62必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

［逐点清］

1.(多选)下列各组向量中，不能作为基底的是()

A.ei=(O,O),e2=(l,l)

B.ei=(l,2),e2=(—2,1)

C.ei=(—3,4),e2=(1,一号

D.ei=(2,6),e2=(l,3)

解析：选ACDA,C,D中向量仇与C2共线，不能作为基底；B中e］，e?不共线，

所以可作为一组基底.

2.(必修4第92页12题1改编)在平行四边形A8CD中，AB=a,~AD=bt~AN=3NCf

M为5C的中点，则就=(用a,b表示).

解析：因为就=3后，所以肃=］下=孤+力,

又因为AA?=a+$,所以M*=Afi—A/=；(a+b)—(a+：b)=—；a+；b.

答案：一%+和

重点二平面向量的坐标表示

1.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(xi,ji),b=(X2,j2),贝!Ja+b=(x］+xz，3+b),a-b=(坐-x?,也一也),za

=(Zvi,zvi),|a|=^/x?+jl；

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A(XI，J1),3(X2，L)，则48=(©—XI，力―Vi)，\AB|=*\/(X2—Xi)2+(y2-^02«

2.平面向■共线的坐标表示

设a=(xi，ji),b=(M,)2),则8〃1)台勺也一刀”=0.

［提醒］(l)a〃b的充要条件不能表示为乎=巳因为必，也有可能为0；

,*2J2

(2)当且仅当qyzWO时，a〃。与，•=?等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应

“2yz

坐标成比例.

［逐点清］

3.(兴修4第96页例2改G)若向量a=(2,l),b=(—1,2),c=(0,习，则c可用向量a,

b表示为()

A.^a+bB.一；a-b

C.^a+lbD.^a-

解析：选A=(2x-j,x+2y),

'2x-y=0,f=1

所以＜.5解得＜2，则c=w〃+b.

3+2k5，b=L

4.(多选)在平面上的点A(2,l),B(0,2),C(-2,l),0(0,0),下面结论正确的是()

A.~AB-~CA=~BCB.~OAVOC=^OB

C.~AC=~OB-2OAD.O44-20B=0C

解析：ABC点4(2,1),3(0,2),C(-2,l),0(0,0),

选项A中，AB=(-2,1),"CA=(4,0),~BC=(-2f-1),所以而一Rw左，故

错误；

选项B中，OA=(2,1),~OC=(-2yl)f而=(0,2),所以5J+/:二笳成立，故正

确；

选项C中，AC=(-4,0),加=(0,2),04=(2,1),所以就=笳一2为t成立，故正

确；

选项D中，04=(2,1),肉=(0,2),0C=(-2,l),所以市+2而二/，故错误.

故选B、C.

5.(必修4第107页练习1题改编)已知向量a=(l,2),b=(-l,2),贝！||3a-b|=.

解析：因为向量。=(1,2),5=(-1,2),

・・・3”一力=3(1,2)一(一1,2)=(4,4);

:.|3。一切=声不不=舶

答案：4^2

6.(男错题)已知4(一5,8),以7,3),则与向量不声反向的单位向量为.

解析：由已知得”=(12,—5),所以|焉|=13,因此与3反向的单位向量为一

=(-SS-

答案；(一备S

［记结论•提速度］

［记结论］

1.向量共线的充要条件的两种形式

(l)a〃bOb=2a(aWO,2GR)；

(2)a〃b台xiy2-x»i=0(其中a=(xi,yi),b=(x2,工)).

2.已知P为线段AS的中点，若A(x”四)，5(X2,力)，则尸点坐标为1中超，X乎)

3.已知△4BC的顶点4(处，ji),3(X2,力)，C(x3,j3),则△ABC的重心G的坐标为

3+4+4yi+jz+j*

I~~3-，3y

［提速度］

1.己知向量a=(2,3),b=(—1,2),若//ia+〃b与a—2b共线，则々=()

1n1

A.—zB.3

C.-2D.2

解析：选A由向量。=(2,3),6=(-1,2),得/«〃+〃力=(2m—〃,3〃z+2〃)，a-2b=(4,

-1).由〃m+帅与共线，得一(2〃L〃)=4(3〃I+2〃)，所以，=一；.故选A.

2.已知△A5C的三个顶点4(-2,4),以3,-1),。(一3,-4).则线段中点的坐

标为,重心G的坐标为.

解析：设人不，州)是线段4月的中点，重心G的坐标为(必，力),

22

【分送突皴

考点理解透规律明变化究其本课堂讲练

1号点1平面向量基本定理及其应用

［师生共研过关］

［例1］(1)设△45C中8c边上的中线为AD,点。满足裕=2万方，则员=()

A.—+|ACB.—|AC

c.D.一1篇+；就

(2)梯形43C0中，AB//CD,AB=2CDtMtN分别为CD,3c的中点.若方'=2布?

+/1ANt贝以+〃等于.

［解析］(1)如图所示，为BC的中点，则而=,+而=1不+/卜

^BC=AB+!(AC—A?)=界7+1AC,B

■>—>—>2—►1~>1">

VAO=2OD,AO=T。AD=T。AB+T，AC,

.•.^C=^4C-^W=^4C-(JA^+|AC)=-1AB4-1^4C,故选A.

(2)因为苗=京+同=前+前=就+(/+就)=2就+a+加=2就

——AMt所以力r=g4N—《4看,所以久=一去〃=g,所以).+〃=§・

［答案］(1)A(2)1

［解题技法］

平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运

算来解决;

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平

面几何的一些性质定理.

［跟踪训练］

1.(2021•长沙模拟)如图，在正方形A8C7)中，E是OC的中点，点尸满_9彳

足百=2铭，那么/=()

A."-”AB

1>1---->

B.xAZ?

1—>1—>

D.T/IZ^+ZAD

qL

解析：选C因为E为。。的中点，所以衣=；万方.因为K=2而，所以我方.

'_A'―A■一■■>1■—■>2'A11->2---->11~2'—>.

所以£F=£C+C产故选C.

/s/s/s

2.已知在△ABC中，点O满足市+万声+方声=0,点尸是OC上异于端点的任意一

点，且无=小万T+〃万济，则加+〃的取值范围是.

解析：依题意，设苏=2&(0</<1),

由市+万咨+员=0,知友：=一(万才+南)，

所以万方=一一大苏"，由平面向量基本定理可知，

/%+〃=一船，所以利+〃W(—2,0).

答案：(一2,0)

平面向置的坐标运算

［基础自学过关］