2025年新高考艺术生数学突破讲义专题10对数与对数函数

专题10对数与对数函数【考点预测】1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．对数函数的图象图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，【方法技巧与总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)【典型例题】例1．（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（

）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）A．23 B．100 C．150 D．232【答案】B【解析】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别，依题意，，即，两边取对数得，因此，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故选：B例2．（2024·高三·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】设前后两次地震释放的能量分别为，由已知得，两式相减得，则，因为，则，即，所以的整数部分为5.故选：C.例3．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】令，得，则.故选：A例4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为与是方程的两根，由韦达定理得，因为数列为等差数列，所以，，所以，故选：B.例5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】D【解析】由题意知，，，，因为，，所以由换底公式可得，，又因为（），所以，所以由换底公式可得.故选：D.例6．（2024·高一·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数（且）的反函数为，即，又，所以，所以，则.故选：A例7．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数，易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.例8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.例9．（2024·高一·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，故排除D；当时，，故排除BC；结合对数函数的性质可知A正确.故选：A.例10．（2024·天津南开·一模）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由指数函数与对数函数的性质可得，，，，所以，故选：A.例11．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，所以，解得.故选：B.例12．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则.（结果用表示）【答案】【解析】由都是非零常数，设，则，所以故答案为：例13．（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域为．【答案】【解析】函数为增函数，故其值域为.故答案为：例14．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则.【答案】【解析】由已知可得，所以，所以，即是函数的一个周期，所以.故答案为：例15．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；（2）求值：.【解析】（1）因为，所以，，则；（2）．例16．（2024·高一·江苏常州·期末）（1）计算：；（2）已知，计算的值并证明．【解析】（1）（2）因为，所以，，，因为，，所以，且，所以，即.例17．（2024·高一·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）.【过关测试】一、单选题1．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（

）（参考数据：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【解析】由题意知，，当时，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D2．（2024·高三·四川·期末）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（

）A．9位数 B．10位数 C．11位数 D．12位数【答案】B【解析】记，则，则，则，故是10位数．故选：B3．（2024·青海·一模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得：，，；由得：，，，.故选：C.4．（2024·高一·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为，又，所以在上单调递减，在上单调递增，函数在定义域上单调递增，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故选：A5．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在上单调递减，由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0，则有，解得.故选：C6．（2024·高三·全国·专题练习）函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为()A．(，] B．(，)C．[－，) D．[－，]【答案】B【解析】要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，则⇒<x<，∴函数f(x)的定义域为(，).7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，，因此，而函数在上单调递增，所以，即.故选：D8．（2024·高一·湖南·阶段练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由指数幂的运算性质，可得，即，又由，即，又由对数的运算，可得，即，所以.故选：C.9．（2024·高一·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设指数函数且，点在的图象上，所以，解得.所以，故反函数.故选：A10．（2024·高二·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为.故选：C.11．（2024·高三·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（

）（素数即质数，，计算结果取整数）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，估计以内的素数个数为.故选：B.12．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（

）A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.15【答案】D【解析】由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得，所以，故选：D.二、多选题13．（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（

）A．幂函数的图象都过点B．函数与是同一函数C．函数与的图象关于直线对称D．，是以为周期的函数【答案】AC【解析】对于A，易知幂函数，显然恒过定点，故A正确；对于B，由可知，即其定义域为，而的定义域为R，所以两函数定义域不同，故B错误；对于C，由反函数的定义易知函数与互为反函数，故其函数图象关于直线对称，故C正确；对于D，根据周期性定义知对于定义域内，，不满足周期性定义，故D错误.故选：AC.三、填空题14．（2024·高一·山东威海·期末）已知，，则.【答案】3【解析】因为，，所以，故.故答案为：315．（2024·高一·福建漳州·期末）设，则的值为.【答案】/【解析】由，则，所以，故,故答案为：16．（2024·四川广安·二模）已知函数.则的值为.【答案】【解析】，.故答案为：.17．（2024·高三·上海·阶段练习）方程的解是.【答案】【解析】由方程，可得，，解得.故答案为：18．（2024·高一·云南·阶段练习）计算：.【答案】【解析】.故答案为：19．（2024·高一·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则．【答案】/0.5【解析】是定义在R上的函数满足，所以，又因为，所以，所以，则函数的周期为2，所以故答案为：20．（2024·高一·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式．①的定义域为；②；③当时，．【答案】（答案不唯一）【解析】取，其定义域为，，满足，且当时，，满足所有条件，故答案为：；（答案不唯一）21．（2024·高一·北京东城·期末）函数的定义域是.【答案】【解析】由题意得，解得，故定义域为.故答案为：22．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则.【答案】【解析】对于函数，令，解得或，所以函数的定义域为，又为奇函数，所以，所以，此时，定义域为，且，满足为奇函数.故答案为：23．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为.【答案】【解析】由题意，知在上单调递减，在上单调递减，故在上单调递减，则当时该函数取到最大值，故答案为：24．（2024·高一·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则．【答案】6【解析】因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．故答案为：25．（2024·高一·四川绵阳·开学考试）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数．【答案】【解析】由题可得：，故，其定义域为，值域为；因为，解得，故的反函数为.故答案为：.四、解答题26．（2024·高一·四川眉山·开学考试）（1）（2）已知，求的值．【解析】（1）原式；（2）由于，故原式.27．（2024·高一·广西百色·开学考试）计算下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.28．（2024·高一·