选择性必修一 期末综合测试（二）（解析版）2021-2022学年人教版（2019）高二数学选修一

选择性必修一期末综合测试(二)

一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)

22

1.双曲线上-上=1的焦点坐标是()

32

A.(O,±l)B.(±1,0)C.(0,土石)D.(土石,0)

【答案】D

【分析】

根据双曲线方程可得a,b,然后根据，2=/+〃可得c,最后得出结果.

【详解】

由题可知：双曲线的焦点在x轴上，JzLa=y/3,b=,

所以c2=a1+b2=>c=

所以双曲线的焦点坐标为(土石,0)

故选：D

2.圆(x-l/+y=3的圆心坐标和半径分别是()

A.(-1,0),3B.(1,0),3

C.(-1,0),73D.(1,0),6

【答案】D

【分析】

根据圆的标准方程，直接进行判断即可.

【详解】

根据圆的标准方程可得，

(x-l)2+y2=3的圆心坐标为(1,0),半径为石，

故选：D.

3.已知空间三点人(-2,0,8),「(人肛机)，8(4,Y,6),若向量⑸与方的夹角为60。，则

实数()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【分析】

直接由空间向量的夹角公式计算即可

【详解】

QA(-2,0,8),8(4,T,6),

PA=(-2—m,—m,8—m),PB———

PAPB3w2*4-12w+40

由题意有cos60。=

阿丽yj3in2—12//I+685/3/n2—12/n+68

即时4=3病3+4。,

整理得nr—4m+4=0,

解得〃?=2

故选：B

4.已知双曲线存一]=1(。>()]>())的一条渐近线过点(2,6)，且双曲线的一个焦点

在抛物线9=4的准线上，则双曲线的方程为()

.x2y212222

A.--------=IB.二一匕=1C,土-匕=1D.

2128282134

22

上上=1

43

【答案】D

【解析】

GZ-*

试题分析：双曲线的一条渐近线是丁=一工,则&=£①，抛物线V=4j7x的准线是

a

_a=2

x二-不，因此C=S，即/+匕2=02=7②，由①②联立解得｛广，所以双曲线方

b=\]3

22

程为土—匕=1.故选D.

43

5.如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中AA3c

为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2,AC=4,在AABC上

任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为()

A

B

2八51

B.-C.—D.—

992

【答案】A

AnnFx4-x4

【解析】设CD=x,因为DE〃BC,所以——=—，即一=-解得x=—，

ACCB243

设在AABC任取一点，则此点取自正方形DEFC的事件为A，

由几何概型概率公式可得，

qf4T

p（A）==⑴=±故选A.

C1Q

-x4x2’

2

2,2

6.已知点P为双曲线三-2r=l（a>0力>0）右支上一点，点Fi,B分别为双曲线的左右焦

atr

点，点/是△尸AB的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有SIPF-SIPF>—SIFF成立，

则双曲线的离心率取值范围是（）

A.（1,及）B.（1,272）

C.（1,272]D.（1,V21

【答案】D

【解析】设与马的内切圆的半径为「，则

SzPF\=3叫",SZP3=*闾S&F1F?5周•「，

因为“叱-S41PF]NS&F、FJ所以附|-|P周之乎但阅，

2立c，即£4亚,

由双曲线的定义可知|P周一|尸园=为,阳玛|=2c,所以

又由e=£>l,所以双曲线的离心率的取值范围是,故选D.

7.已知点尸（x,y）在直线x+2y=3上移动，当2、+4>'取得最小值时，过点。（乂月

引圆（x—，）2+（y+L）2=L的切线，则此切线段的长度为（）

242

A屈B2c10石

2222

【答案】A

【解析】

试题分析：要求解且线段的长度，只要知道圆心到点P的距离和圆的半径，结合勾股定理可

知.由于利用基本不等式及x+2y=3得到

2X+4V>2"'?。到、2.y氧呼2「=«，当且仅当2*=4丫=2夜，即x=5,y="

33

所以P（一,一），根据两点间的距离公式求出P到圆心的距离=

24

且圆的半径的平方为;，然后根据勾股定理得到此切线段的长度j（、5）2-；=岑

,故选

考点：考查学生会利用基本不等式求函数的最值，会利用两点间的距离公式求线段长度，会

利用勾股定理求直角的三角形的边长.此题是一道综合题，要求学生掌握知识要全面.

点评：要求切线段的长度，利用直角三角形中半径已知，P与圆心的距离未知，所以根据基

本不等式求出P点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出即可.

22

8.已知点P为双曲线0-4=13>0力>0）右支上一点，片，工分别为双曲线的左右焦点，

点/为△夕与鸟的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有SA呼一SMF?班巴成立，则双

曲线的离心率取值范围为（）

A.（1,2]B.（1,2）C.（0,2]D.（2,3]

【答案】A

【解析】

如图，设圆/与小月工的三边耳尸2、2《、尸产2分别相切于点E1,G,连接化、正、IG,

则/E_LKE，/F_LPG，/G，PE,它们分别是△阴与，△/P0A/PK的高

•〔SA呼=Jx|P用x"|=；|P6|，SM%=gx|PK|x|/G|=4P6|,

1r

S&F息=^x|耳"冈闺=万恒用其中r是△/牛鸟的内切圆的半径，因为

5心医_%%235耐心所以§P6|_/P用恒用，两边约去"导

归用=|P用+J耳用,二户用―俨用=g恒用，根据双曲线定义，得

|「耳|一俨闾=2a,\FtF2\^2c,：,2a>c^离心率为e=-<2,双曲线的离心率取值范围

为（1,2],故选A.

二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9.已知平面上一点M（5,0）,若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”，下列

直线中是“切割型直线”的是（）

A.y=x+lB.y=2C.y=4$D.y=2x+l

【答案】BC

【解析】所给直线上的点到定点M距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,

即点M到直线的距离来分析.A.因为d=^=3V2>4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是

“切割型直线”；B.因为d=2〈4,所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M距离等于

20

4,是“切割型直线”；C.因为d=^q=4,直线上存在一点，使之到点M距离等于4,是“切割

型直线”；D.因为<1=费=萼>4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”.

10.给定下列四条曲线中，与直线x+y—小=0仅有一个公共点的曲线是（）

A./+产|B.5+?=1

D.V=-4小x

【答案】ACD

亚

【解析】A中，圆心到直线距离1=啦=匚故直线与圆相切，仅有一个公共点，，

x+y-yf5=0

A正确；B中，由[史足得135—18小x+9=0,/>0,二直线与椭圆

9+4=1

相交，有两个交点，，B错误：C中，由于直线平行于双曲线的渐近线，故只有

x+y—y[5=0

一个交点，.•（正确；D中，由（2=_4小x得/+2由x+5=0,

这里/=0.故直线与抛物线相切.；.D正确，故应选ACD.

E,F,G分别为8C,CCi,BBi的中点.则()

A.直线DiD与直线AF垂直B.直线4G与平面AEF平行

9

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为三D.点C与点G到平面AEF的距离相等

8

【答案】BC

【分析】

对于选项AD可以利用反证法分析得解；对于选项B可以证明；对于选项C,可以先找到截

面再计算得解.

【详解】

根据题意，假设直线5。与直线AF垂直，又3R_LA£,AEnA尸=AAE,AFU平面AEF,

TT

所以叫4面房,所以四但,乂叩〃cc”所以cc与sc二矛盾，所以直

线DiD与直线AF不垂直，所以选项A错误；

因为4GEID1F,4G0平面AEFDi,RFu平面AEFDI,所以4G0平面AEFDi,故选项B正确.

平面人EF截正方体所得截面为等腰梯形AEFDi,山题得该等腰梯形的上底EF=变，下底

2

腰长为在，所以梯形面积为故选项C正确；

28

假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面凡斯必过CG的中点,

连接CG交所于“，而H不是CG中点，则假设不成立，故选项D错误.

【点睛】

方法点睛：对于空间几何线面位置关系命题的判断，常用的方法有：（1）举反例；（2）直接

证明；（3）反证法.要根据已知条件灵活选择方法解答.

12--为椭圆G：上的动点，过「作C|切线交圆C…f』2于M,N,过

M,N作C?切线交于Q,则（)

A.可。”的最大值为更B.£的最大值为也

2

C.。的轨迹是《+亡=1D.。的轨迹是《=

36484836

【答案】AC

【分析】

设出点Q,P的坐标，分别写出直线方程，根据系数相等，求得坐标之间的关系，结合几

何关系，即可求得三角形OPQ得面积，结合均值不等式则面积的最大值可解；利用相关点

法，即可求得动点Q的轨迹方程.

【详解】

根据题意，作图如下：

不妨设点P的坐标为（XQJ,点。坐标为（见〃）,

故切点MN所在直线方程为：mx+ny=\2-

又点?为椭圆上的一点，

故切线方程脑V所在直线方程为：+=1；

43

故可得居=今者..即加=3w,〃=4、

不妨设直线MN交OQF点H,故PHLOQ

设宜线0。方程为：，a-阳=0，

乂OQ=y/nr+H2>

故可得三角形。尸。的面积S=gxOQxPH=夕叫-my\

=；14玉y-3与x|=：|xjJ=；

2

当且仅当K_=g,且g+g=i时，即*；=2,才=］时取得最大值.

43432

因为点尸在椭圆上，故上+区=1,

43

乂相=34，"=4,，

故可得:看+:啥=1，整理得家靠"

故动点。的轨迹方程为:^+i=L

故选：AC.

三、填空题(每题5分，4题共20分)

13.抛物线y=2/的准线方程为.

【答案】y=~-

8

【解析】因为抛物线y=2/的标准方程为：因此其准线方程为：y=-；故答

28

案为y=

8

【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.

14.若曲线G：y=2+J=FK与曲线。2：3-2)日一日+幻=0有四个不同的交点,则

实数k的取值范围是.

【答案】¥

，一2)

【解析】由6：y=2+J-x2—2x得(x+l)2+(y-2)2=l(y..2),

曲线Ci表示以(-1,2)为圆心以1为半径的上半圆，

显然直线y=2与曲线G有两个交点，交点为半圆的两个端点，

...直线丁=爪一女=女。一1)与半圆有2个除端点外的交点，

2-0

当直线y=Mx-D经过点(0,2)时，k=——=-2,当直线与半圆相切时,

0—1

12+2攵|_4-S-4+x/7

「丁=1,解得左=--------或4=-------(舍去)

[1+k233

所以一4一S(/＜一2时,直线y=A(x-l)与半圆有2个除端点外的交点,

3

故答案为：14-6,_2)

3

15.《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体一一羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末

广八尺，裹七尺.该羡除是一个多面体A8CDFE,如图，四边形A8CD,A8EF均为等腰梯形，

ABHCDIIEF,平面ABCZ)_L平面A8EF,梯形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7,且

AB—6»CD=10,EF=8,则4。・8尸=

【答案】14

【分析】

过A分别作CD,EE的高，垂足分别为N，",可证明AN，A3，AM两两垂直,

然后

建立空间直角坐标系，求出8,D,F,A的坐标，从而求出而•丽的值即可.

【详解】

如图示：

过A分别作CD,EE的高，垂足分别为N，M，

•••平面ABCD±平面ABEF，ABHCD//EF,

平面ABCDD平面ABEF=A8，故N4_L平面ABEF,

故ANLAM,又AM_LAB，

故AN，AB，40两两垂直，

以A为坐标原点，AB<AM'而分别为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系A一孙z,则由题意可知：

8(6,0,0),0=(-2,0,3),F(-l,7,0),A(0,0,0),

故,BF=（—7，7,0）,AD=（-2,0,3）,

故而•旃=14，

故答案为：14

16.如图，抛物线。：＞2=2川（〃〉0）的焦点为产，准线4与x轴交于点M,过M点且

斜率为我的直线/与抛物线。交于第一象限内的A，3两点，若|A例|=力4H，则

cosZAFB=.

【分析】

过点A作垂足为点E，抛物线的定义知|A目=|A尸|,在Rt&WE中，利用题

333

干条件和三角函数可得tan/M4E=-,sinNAF7V=一，同理可得sin/6&=-,由

444

cosZAFB=cos（乃一2ZAFN）即可得出答案.

【详解】

如图所示，过点A作AEJJ。，垂足为点E.

由抛物线的定义知|A£|=|A尸］,

在中,

V|AM|=||AF|,ACOSZA/AE=|,

3

/.tanNMAE=—.

4

过点A作⑷VJ_x轴，垂足为点N,

则sinZAFN=—=-=tanZMAE=-,

AFAE4

3

同理得sinZBFx=~,

4

：.cosZAFB=cos(万一24AFN)=2sin2乙AFN

故答案为：!

o

四、解答题(17题10分，其余每题12分，7题共70分)

17.(1)求焦点在坐标轴上，长轴长为6,焦距为4的桶圆标准方程;

22.

(2)求与双曲线工-工=1有共同的渐近线，且过点(-3,2j§)的双曲线标准方程.

916,

【答案】⑴E+反=1或$+《=1；(2)--22

-=1.

959594■

【解析】

【分析】

(1)分别讨论焦点在％轴上，焦点在》轴上，两种情况,根据题中条件，分别求解，即可

得出结果；

r~v2

(2)根据题中条件，设双曲线标准方程为—wO),点卜3,2百)在双曲线上，

916=,

直接代入，求出沈，即可得出结果.

!y2、

【详解】(1)若焦点在x轴上，可设椭圆标准方程为：4-+^~—1(z6?>/?>0)，

绪

由长轴长知：2a=6,,-.«2=9；由焦距知：2c=4，

/.c=Va2-b2-yj9-b2-21解得：序=5；

v-2v2

，椭圆标准方程为：—+^-=1；

95

x2

若焦点在y轴上，可设楠圆标准方程为:=1（。>b>0）

0b2

同焦点在x轴上，可得〃=9，b2=5.

V2尤2

所以椭圆方程为乙+三=1；

95

2222

综上，所求椭圆方程为土+匕=1或乙+土=1.

9595

/v2

(2)•.•所求双曲线与双曲线二-匕=1有共同的渐近线,

916

二可设双曲线标准方程为三—匕=加(加工0)，

916v7

又过点(一3,26),所以2-U,=/〃，解得加=，，

\'9164

4%2v2

所以”.-2_=1即所求.

94

【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求双曲线的标准方程，属于基础题型.

X2v2

18.已知命题p：VxeR,x2+x-m>0.命题，实数加满足：方程」一+△—=1表

m-14-m

示双曲线.

(1)若命题，为真命题，求实数加的取值范围；

(2)若命题“P或4”为假命题，求实数山的取值范围.

【答案】(1)］一叫―］；(2)l<m<4.

【解析】

【分析】

(1)VxeR,x?+x—m2()恒成立，可得A=1+4HIK0,从而求得m的范围：(2)由“p

或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的

运算求解.

【详解】(l)；VxeR,x2+x-m»()恒成立，

1+4m<0，解得m<—,

4

，实数m的取值范围是（一8,-：；

（2）V“p或q”为假命题，，P,q均为假命题，

当q为真命题时，则（m-l）（4-m）<0,解得m>4或m<l.

，q为假命题时，

由（1）知，p为假命题时m>一；.

1

777>---

从而v4,即

1<m<4

・•・实数m的取值范围为l<mK4.

19.如图，在几何体A5CDE/中，AB//CD,AD=DC=CB=i,ZABC=60°,四边形ACFE

为矩形，尸8=厢,M,N分别为E£A3的中点.

（1）求证：MN〃平面FC8；

（2）若直线AF与平面FC8所成的角为30°,求平面与平面尸C8夹角的余弦值.

20.答案：（1）取3c的中点Q,连接NQ,，。，如图所示，则NQ=gAC,NQPAC.

又MF=g\C,MFPAC,;.MF=NQ,MFPNQ,则四边形MAQ尸为平行四边形，即

MNPFQ.QFQu平面FCB,MN<Z平面FCB，:.MNP平面FCB.

（2）由ABPCD,AD=DC=CB=tZABC=60°，可得ZAC8=90°,AC=g,AB=2.

Q四边形ACFE为矩形，4。_18。,，4。，平面96,则Z4FC为直线A尸与平面了CB所

成的角，即4VC=30。，:.FC=3.QFB=如,;.FB2=FC?+CB，FC1BC,则可建立

如图所示的空间直角坐标系Cryz,

M

A(V3,O,O),B(O,1,O),M,:.MA=

设帆=(苞y,z)为平面的法向量，则需即2,

MBm=OV3嗔

----x4-y-3z=0n

I2,

取x=2石，则而=(273,6,1)为平面MAB的一个法向量.又CA=(<3,0,0)为平面FCB的一个

法向量，cos(；n,C4>=—=2而一=空,故平面MAB与平面FCB夹角的余弦值

|m||CA|7x67

为空.

7

22

20.如图，椭圆(7:「+2=1(。>〃>0)的离心率是短轴长为2石，椭圆的左、右顶点为

4、4.过椭圆与抛物线的公共焦点尸的直线/与椭圆相交于AB两点，与抛物线E相交于

只。两点，点M为2。的中点.

(1)求椭圆C和抛物线E的方程;

(2)记△A%的面积为S1,AM&Q的面积为邑，若S-3s”求直线/在y轴上截距的范围.

【答案】⑴椭圆C：《+J1,抛物线E:y2=4x；⑵（7，一坐U坐,一［

【分析】

（1）依题意得到方程组，求出。,匕的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出

抛物线方程；

（2）设/：x=（y+l,A（X|,yJ,8（X2，%）,P（X3，y3），Q（X4，y4），联立/与椭圆，利用韦达定理及

弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积5，4,再根据印.3s2得到不等式，解得

即可;

【详解】

2b=2G

（1）根据题意得：，e=?=；,解得a=2,b=6c=l,抛物线焦点尸（1,0）,

a2=b2+c2

因此椭圆C:三+七=1,抛物线E:y2=4x

43

（2）设/:x=（y+l（rwO）,A（内,y）,8（々，%），尸（七，％），。（匕,必），联立/与椭圆

x=ty+\

x2/,）

—+—=1

43

整理1得：（3r+4）产+60一9=0,判别式：A=（67）2—4（3『+4）（-9）=144（/+1）

弦长公式：|叫=衍|,-止g熔口，所以SIM•卷=雪

联立/与抛物线E：，，整理得：9一4）一4=0,判别式：A=（-4/）2-4（^）=16（r2+l）

、xty+1

2

弦长公式：\PQ\=JT^\y3-y4|=\/i+7^16（l+r）,

所以S2=；S/%=~~\PQ\-J--=\/l+/2,

因为S「3邑，因此18g7解得：一逅别JL

3『+433

在y轴上截距-士，-迈或-1…如，因此在y轴上截距取值范围是（,，一四］U当,+«>.

t2t2\22

21.如图，四梭锥E-ABCZ）中，AE±AB,AC±BC,BA=2AC,AC=AE=AD=CD,M

co中点.

(l)求证：ABIEM^

(2)若二面角E-AB-。的余弦值为立，求直线£>E与平面ABE所成角的正弦值.

4

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

20

【分析】

(1)由a4=2AC,ACVBC,得N8AC=g,再由AC=AO=C£>,可得N8CO=£,从

而得ABI38,再结已知条件可得CD，AM,8,AE,从而由线面垂直的判定定理可得

•平面进而可得43LEM

(2)由(1)知：ABJL平面4WE,NEW即为二面角E—他―力的平面角，过点“作MHJ_E4

于“，在RSM4H中可求出的值，从而可求出答案；或以A为原点，ARAM为x轴,

y轴，垂直平面ABC£>向上方向为z轴，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可

【详解】

7T

(1)・.・BA=2AC,AC±BC,:.^BAC=~,

3

7T

乂AC=A£>=C£>,M为CO中点，则有=

,ABOCD,CD±AM,CD±AE,

回AMDAE=A

.•./W_L平面AWE,

!3£Mu平面AME,

所以舫_LEM.

E

(2)方法-：由(1)知：A8_L平面AME,

.♦./E4"即为二面角E—AB—D的平面角，

所以cosNEAM=@，所以sinNE4M=@^

44

过点M作_LE4于H,记AC=AD=CD=1,

，RIAM4//中：MH=MAsinNEAM=叵叵=遮

248

乂•.(£>〃面AEB，

到面AEB的距离与M到面AEB的距离相等，

.八MH7392版

sine=-----=----------产=------

8V520

方法二：以A为原点，AB,AM为x轴,y轴，垂直平面A8C。向上方向为Z轴,

如图建立空间宜角坐标系，令AC=2,则4(0,0,0),8(4,0,0),。(-1,6,0)；

因为二面角£一四一。的余弦值为更，设田14W,则A”=",HE=巫；

422

所以E0,**,则碍1,-#，烟;又荏=0,曰*，丽=(4,0,0),

4x=0

设平面W的法向量为7=(x,y,z),则，Gy+冬=0,

取y=—则x=0,z=6，所以〃=(0,—,

令直线OE与平面便所成角为。,

则sin。=辰s.讣蜀=悬=缰

d病27195

由=^D-AEB»M(Z=—；.'.sin^=

8ED

22.已知椭圆E:=+与=1（。＞。＞0）,它的上、下顶点分别为A、B,左、右焦点分别

a~b~

为4、F2,若四边形A耳86为正方形，且面积为2.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线4、12,它们与椭圆E分别交于点C、D、M、

N,且四边形CDMN是菱形；

①求证：直线4、4关于原点对称；

②求出该菱形周长的最大值.

22

【答案】（1）5+,=1；（2）①证明见解析；②菱形周长的最大值为40.

【分析】

（1）由已知