2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x−y−1=0的倾斜角是(

)A.π6 B.π4 C.π22.已知向量a=(1,m,−1),b=(1,−1,1)，若(a+A.4 B.3 C.2 D.13.在(3x2−1A.7 B.8 C.9 D.104.直线ax+2y−6=0与直线x+(a+1)y+a2−1=0平行，则实数a值为A.1 B.1或−2 C.−1 D.−1或25.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(

)A.12 B.24 C.30 D.366.已知圆C1：(x−1)2+y2=1，圆C2：(x−a)2A.[−247,0] B.[−125,0]7.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是侧面正方形CDD1C1内的动点，点Q是正方形ABA.π4 B.π C.228.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，A.2

B.142

C.29二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法命题正确的是(

)A.已知a=(0,1,1),b=(0,0,−1)，则a在b上的投影向量为(0,0,1)

B.若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=(−2,0,23)，则l/​/α

C.已知三棱锥O−ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP=12OA+mOB+nOC(n,m∈R)，则m+n=12

D.若向量p=m10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，B在线段AC上，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，O为原点，则下列说法正确的是(

)A.p=2 B.以AB为直径的圆与准线相切

C.直线l斜率为3 D.11.2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(−c,0)，F2(c,0)距离之积等于定值c2(c>0)的点的轨迹称为双纽线，已知点P(xA.|PO|的最大值为3c B.双纽线是中心对称图形

C.−c2≤y0≤c2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在多项式(a+3x)(1−x)5的展开式中，x5的系数为32，则a=13.已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，F1，F2是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为e1和e2，若∠14.已知曲线C：x|x|4−y|y|=1上任意一点P(x,y)，都有|x−2y+a|+|x−2y+2|的和为定值，则实数a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

(1)已知(2x+1x2)n(n为正整数).展开式的所有项的二项式系数和为64

①求该式的展开式中所有项的系数之和；

②求该式的展开式中无理项的个数；

③求该式的展开式中系数最大的项．

(2)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；

16.(本小题12分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，且AA1=AB=2AD，且E，F分别为C1D1，DD1的中点．

(1)证明：AF//平面A17.(本小题12分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，实轴的左、右顶点分别为A1，A2，虚轴的上、下顶点分别为B1，B2，且四边形A1B1A2B2的面积为23．

18.(本小题12分)

如图，AD//BC，AD⊥AB，点E、F在平面ABCD的同侧，CF//AE，AD=1，AB=BC=2，平面ACFE⊥平面ABCD，EA=EC=3．

(1)求证：BF//平面ADE；

(2)若直线EC与平面FBD所成角的正弦值为4101519.(本小题12分)

已知A(2,0)和B(1,32)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)过点(−1,0)的直线l与椭圆C交于D，E两点(D,E不在x轴上)．

(i)若△ADE的面积为5，求直线l的方程；

(ii)直线AD和AE分别与y轴交于参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.C

6.A

7.A

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BCD

12.−17

13.4

14.(−∞,−215.解：(1)已知(2x+1x2)n(n为正整数).展开式的所有项的二项式系数和为64，

可得n=6，

①令x=1得(2+11)6=36=729，所以展开式中所有项的系数之和为729；

②(2x+1x2)6的通项为Tk+1=C6k(2x)6−k(1x2)k=C6k26−kx6−5k2，k∈{0,1,2,⋯,6}，

所以当k时对应为展开式中的无理项，所以共有3个无理项；

③由②及题意，知16.解：(1)证明：在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，

AA1=AB=2AD，且E，F分别为C1D1，DD1的中点，

设AD=1，则AA1=AB=2，以Do坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图，

则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，E(0,1,2)，A(1,0,0)，F(0,0,1)，D(0,0,0)，

所以A1E=(−1,1,0),A1B=(0,2,−2),AF=(−1,0,1)，

设m=(x,y,z)是平面A1EB的一个法向量，

则m⋅A1E=−x+y=0m⋅A1B=2y−2z=0，取x=1，得m=(1,1,1)，

又AF⋅m=0，∴AF⊥m，

∵AF⊄平面A1EB，∴AF/​/平面A117.解：(1)由双曲线的几何性质可知，四边形A1B1A2B2是菱形，且A1A2=2a，B1B2=2b，

所以四边形A1B1A2B2的面积为12×2a×2b=23，①

因为离心率为e=ca=2,a2+b2=c2，②

联立①②，

解得a=1,b=3,c=2，

则双曲线C的标准方程为x2−y23=1．

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),B1(0,3)，线段PQ中点M(x018.(1)证明：因为CF/​/AE，CF⊄平面ADE，

所以CF/​/平面ADE，同理BC/​/平面ADE，

又BC，CF⊂平面BCF，BC∩CF=C，

所以平面BCF/​/平面ADE，BF⊂平面ADE，

所以BF/​/平面ADE；

(2)解：取AC的中点O，因为EA=EC，

所以EO⊥AC，又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，

EO⊂平面EAC，所以EO⊥平面ABCD，

又因为AD⊥AB，故可建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

在四边形ABCD中，因为AD=1，AB=BC=2，AD//BC，AD⊥AB，

所以AC=22，所以AO=OC=2，

因为EA=EC=3，所以EO=1，

所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,1,0)，C(2,2,0)，O(1,1,0)，E(1,1,1)，EC=(1,1,−1)，

BD=(−2,1,0)，BC=(0,2,0)，

设CF=λAE=(λ,λ,λ),λ>0，则BF=BC+CF=(λ,2+λ,λ)，

设n=(x,y,z)为平面BDF的法向量，

则n⋅BD=0n⋅BF=0，即−2x+y=0λx+(2+λ)y+λz=0，

令x=1，故n=(1,2,−4λ−3)，

n⋅CE=1×1+2×1+(−4λ−3)×(−1)=6+4λ，|n|=19.解：(1)由题可得：a=21a2+34b2=1c2=a2−b2，解得：a=2b=1c=3，

所以椭圆C的离心率为e=ca=