焦半径公式的三角形式及其应用

#(3)设x轴到直线AB的角为，由于DEAB,由(2)可得AB422，2cosAB|DEDE4.22cos234时,AB例7.(AB422，2cosAB|DEDE4.22cos234时,AB例7.(05、全国2)P、Q、422sin24迈2sin212.22sin2cos212一22-sin224DE取得最小值以2.3M、N四点都在椭圆x21上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点•已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF•MF=0,求四边形PMNQ的面积的最大值和最小值.解：y轴到直线PF的角为(0WBW—).a222,b=1,c解：y轴到直线PF的角为(0WBW—).a222,b=1,c=1,,P=b2丄由公式直接有：|PQ|=2|12二2^cos2 | 2cos2同理:|MN|.2sin••••PQ!MN•••Spmqn•|PQ|•|MN|2SPMQN2,22cos22sin24122—(sin2)2422由由0WBW—,所以0wsin22例&(07、安徽)切线，求切线方程；161 —WSpmqnW2.9已知抛物线G:x2=4y的焦点为F.(1)过点P(0,-4)(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FA•FB=0.延长AF、BF分别与抛物线GFA•FB=0.延长的面积的最小值.2解：(1)设切点为Q(x0,jX°).由y，=仝,知在点Q处的切线斜率k=西•故作抛物线的4 2 2

作抛物线的22所求切线方程为：y—虫=’（x—X。）.即y=卫x—Xo•因为点P（0,-4）在切线上,4 2 2 4222 = 42cos2 |sin2所以：-4=号•0-乡，求得22 = 42cos2 |sin2（2）设y轴到直线AC的角为B.e=1,p=2,由公式有：|AC|= |1-1同理可得：4|BD|= 2同理可得：4|BD|= 2cos• 4\o"CurrentDocument"sin242cosFA•FB=0,•••AC丄BD,所以： SABCD-•|AC|•|BD|=2s^T‘32.所以Sabcd的最小值为32•附同类练习题：3 2题1.（2009年高考全国卷n理科题）已知双曲线 的右焦点为厂,过F且斜率为丛的直线交二于—-两点。若二：＜，则二的离心率为（）解：选上。题2.（2010年高考全国卷n理科第12题）已知椭圆 f 的离心率为£一一-。过右焦点且斜率为一「的直线于I相交于两点，若-」 ,贝『：一（）A18.^2了馆D.2解：选吕。J .题3.（08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点戸作倾斜角为三厂的直线，与抛物线交于川』两点（点丄在卩轴左侧），则有『引

\AF\1\AF\1题4.（2010年高考全国卷I理科第16题）已知F是椭圆二的一个焦点，石是短轴的一个端点，线段衣因的延长线交0于点Q,且丽二2FD，则口的离心率为 s=—解： -；C:题5（自编题）已知双曲线=l(d>0^>0)C:题5（自编题）已知双曲线=l(d>0^>0)的离心率为-，过左焦点F且斜率为fc>0的直线交C的两支于出月两点。若|皿卜引肪I,则疋= 解:k¥卑MW］卑MW］）,则有推论：已知点F和直线■是离心率为扌的圆锥曲线匚的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为d。过点F的弦止三与曲线二的焦点所在的轴的夹角为证明：设点丄二厂在准线上的射影分别为：「,过点F作轴一匸^的垂线交直线宀＜AF |貯| "二宕二F j于点M，交直线0对于点时。由圆锥曲线的统一定义得，血1 淬d，所以…’T■■:一。（1）当焦点田内分弦血时。如图4,国如4鋼+阙“+|肿|沖9,I硼=風州-\NB\=p-\BF\cos&o\AF\=e(p^\AF\c^&l\BF\=e{p-|5F|cos^AF\=—空— 阿=—乂—所以较长焦半径 1-处Z，较短焦半径 1十它wB。|如朋曲=矽+矽=学所以 1-^COS^?l+f?COS^\-GCOSdo（2）当焦点F外分弦口三时（此时曲线为双曲线）。图5如图5|逊|=|如国站卜|胭J-］阳卜卩恥険把所以冷:I■ ■ ■・• ；-「所以较长焦半径AF\=^cos^-1较短焦半径所以较长焦半径AF\=^cos^-1较短焦半径所以ep ep_所以ep ep_2ej?1—-■?'一・.：丿一:匸.'.■■■JI. <■ …■'■J一。综合(1)(2)知，较长焦半径较短焦半径.■L'_..-J。特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距综合(1)(2)知，较长焦半径较短焦半径.■L'_..-J。特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距7就是通径之半，较长焦半径|曲|=—艺—-「-；」，较短焦半径-L八匸，焦点弦的弦长公式为AB\=^-sm&。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为112 112cos^ b ——, — 注由上可得，当焦点尸内分弦血时，有商I阳吋阿眄P1 1 2_丄1_皿日当焦点F外分弦曲时，有阿则吋|吗阳P。例1.(2009年高考福建卷理科第13题)过抛物线-''-的焦点F作倾斜角为二丁的直线，交抛物线于丿，丑两点，若线段/月的长为8，则戸二 解•由抛物焦点弦的弦长公式为解•由抛物焦点弦的弦长公式为\AB\=sin245^+^-=1(^>b>0) _例2.(2010年高考辽宁卷理科第20题)已知椭圆一/ 的右焦点为广,经过F且倾斜角为的直线■与椭圆相交于不同两点丄'，已知一"-o^51=—(1)求椭圆的离心率；(2)若 4,求椭圆方程。解：(1)这里匸二，〔一：，解：(1)这里匸二，〔一：，由定理1的公式得^cos60*=2-12+12e=—解得二OTOC\o"1-5"\h\zff=-re=6(T,\AB\=— 1-(-)acosa60 4(2)将匚 「，代入焦点弦的弦长公式得，- ，解_5 __5 _c_2得；-1，即_--「二，所以甘—小①，又"_、 1,设’'， _—]代入①得杆"，所以-：,所以JL「:,故所求椭圆方程为* : 'O例3.(由2007年重庆卷第16