函数基础知识梳理-2024届高三数学一轮复习

餐照基础和辆僦理

一、函数的概念与表示

【知识清单】

1.函数的概念：设A,B是两个,如果对于集合A中的一个数x,按照某种确定的对应关

系/,使，在集合8中都有的数了和它对应，那么就称f：A-8为从集合一到集合5的一个函数.

记作y=_/U)，

在函数y=/W，A中，x叫做自变量，工的取值范围A叫做函数的:与x的值相对应的)，值叫做

函数值，函数值的集合｛心冰£川叫做函数的.

特别地.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有、图象法和.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段

函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的,其值域等于各段函数的值域的—，分段函数虽由

几个部分组成，但它表示的是一个函数.

【必备知识】

1.常见函数的定义域

⑴分式函数中分母丕笠王0.(2)偶次根式函数的被开方式大王或笠于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次第的底数不能为0.

(5)1="(。>0且亚1),y=sinx,y=cosi的定义域均为.

(6)丁=1。如。>0,分1)的定义域为________.(7)y=tanx的定义域为.

2.基本初等函数的值域

(1亚=丘+尔后0)的值域是R

(2)y=aF+bx+c(W0)的值域：当。>0时，值域为；当〃V0时，值域为__________.

(3)y=§(厚0)的值域是♦

(4)y=〃(a>0且在1)的值域是.(5)y=logHa>0且际1)的值域是.

补充⑴一次分式函数/(»=甯(❶0)的值域：

⑵函数/(力=奴+&〃>0/>0)的值域为；(3)函数y(A)=ax--(a>0,8>0)的值域为:

XX

(4)函数/(工)=上一4+上一可(〃,6,不£1<)的值域为口〃一目,+8)；

函数"X)=卜_《_卜_q(々,。,工£R)的值域为［_|。_母,卜_姐.

二、函数的基本性质

【知识清单】

1.潼数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数1%)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个

自变量的值为，M

定义

当内々2时，都有________，那么就说函数以)当由加时，都有________，那么就

在区间。上是增函数说函数_/(》)在区间D上是减函数

图象

0~~x

描述Opi~E_*

自左向右看图象是______的自左向右看图象是_____的

(2)单调区间的定义

如果函数)，=")在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=«r)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间。叫做函数)，=/(x)的单调区间.

★函数单调性的证明：定义法”取值一作差一变形一定号一结论

注意：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“U”.

2.函数的最值

前提设函数)，=/m)的定义域为/,如果存在实数M满足

(1)对于任意X®/，都有______:(3)对于任意都有______；

条件

(2)存在次£/,使得人xo)=M(4)存在的£/,使得/Cto)=M

结论“为最大值M为最小值

3.奇偶性的定义：设y=f(x),xGA,如果对于任意A,都有,则称y=f(x)为偶函

数。设y=f(x),x£A,如果对于任意xWA,都有,则称y=f(x)为奇函数。

★奇偶性的判断步骤：①②

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值时，都有,

那么就称函数>=於)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期

区数都有最小正周期，如常量函数f(x)=a(xeR);周期函数的定义域是无界的。

【必备知识】

1.对勾函数y=x+/a>0)的增区间为；减区间为,

且对勾函数为奇函数.

2.设Vxi，及£。(乃廷2)，则(1/(即)二/'°2)>0(或(片一刈)[/(片)一危2)]>0)可力在。上单调_______

X]X2

②/•(1)一。(及)

V0(或Cn—⑹伏不)一/2)]<0)?A*)在。上单调

X\-X2

4.一般规律：⑴若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x)+g(x)仍为增(减)诋数;

(2)若f(x)为增函数，则一f(x)为函数；(3)复合函数的单调性：同增异减。

5.函数奇偶性的重要结论

(1)如果一个奇函数兀0在原点处有定义，即人0)有意义，那么一定有#0)=0.

(2)如果函数是偶函数，那么f(x)=f(—x)=f(|x|).

(3)y=f(x)是偶函数Oy=f(x)的图象y=f(x)是奇函数。y=f(x)的图象

(4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具

有的单调性.

(5)若干个奇偶性相同的函数相加减，其奇偶性不变。若干个奇偶函数相乘除，当奇函数个数为奇数是结果

为奇函数，当奇函数个数为偶数是结果为偶函数.(类似“负负得正”)

【知识拓展】

1.函数周期性常用结论：对/(x)定义域内任一自变量的值x,设20,

⑴若危+〃)=一外),则T=.(2)若«r+a)=

7b厕人

(4)若4+a)=；(I],则7=

⑶若危+。)=--77r，则T=

f(x)l+"x)

(5)若危+a)=与共，则T=(6)若/*(%+勿)=〃x+a)-/(x),则T=

1一小)

2.对称性的一般结论

(1)函数人的满足的关系/(a+x)=/S—x)=函数)，=/U)图像关于对祢

函数/(X)满足的关系y(%)=y(Z?+a—x)=函数y=J(x)图像关于％=巴/对称.

特例：函数y=«r)图像关于对称=灭。+幻=7(〃-x)u贝x)=y(2a—/)；

函数y=M图像关于X=o对称=«!•)=/(—X)(即为偶函数).

(2)函数y=«x)图像关于点(小加对称=函数式处满足的关系.

Q函数«x)满足的关系.

特例：函数丁=/)图像关于点3,0)对称=：/(a+x)+_/(a-x)=0=W2a+x)+/(-x)=0；

函数y=/(x)图像关于点(0,0)对称=段)+/(一工)=0(即为奇函数).

(3»=以+。)是偶函数=函数图像y=/U)关于直线x=a对称；

y=/(x+a)是奇函数o函数图像y=_/(x)关于3,0)对称.

3.豕数对称性与函数周期性的关系

①log"(MN)=；②log,R=;③log3T=(〃£R)；

(4)换底公式：lo即N=(。，人均大于零且不等于1).

推论：logablogha=l;log,/N"=。

4.指数函数y=a'与对数函数y=logax(a>0,a^l)的图象及性质

名称指数函数对数函数

x

一般形式y=a(a>0且a#l)y=logax(a>0,a^l)

定义域

值域

过定点

指数函数y=ax与对数函数y=logaX(a>0,a#l)图象关于y=x对称

图象

单调性

y>l?y>0?

值分布

y<l?y<0?

5.幕函数的图象及性质

①定义：一般地，形如的函数称为零函数.

2-,

②熟记下列函数的图象：(1)y=x；(2)y=/；(3)y=x；(4)y=A;(5)y=d.

(在同一坐标系中画出)

③塞函数的的性质及图象变化规律：

(I)所有的晶函数在都有定义，并且图象都过点―；

(II)时，幕函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8)上是增函数.时，事函数的图象在

区间(0,+oO)上是减函数.

6.二次函数(略)

四、函数与方程

【知识清单】

1.这数零点的定义：对于函数y=f(x),我书把叫做函数y=f(x)的零点.

零点的等价性：函数产f(x)有零点O=.

2.零点存在性判断法则：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是的一条曲线，并且有.

那么，函数y=f(x)在区间内有零点，即存在cw(a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f(x)=O的根.

3.二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根分布问题，记f(x)=ax2+bx+c(a>0)o

(1)两个正根(2)两个负根(3)一个正根一个负根

(4)两个根都大于k(5)两个根都小于k(6)一个根大于k一个根小于k

(7)两实根都在区间(m,n)内(8)两根分别在区间(m,n)和(p,q)(n〈p)内

(9)两实根中有且只有一个在区间(m,n)内

4.二分法的定义：对于在区间［a,b］上且的函数y=f(x),通过不断的把函数的零点所在的

区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法.

5.给定精度和用二分法求函数/(x)的零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间例，验证/(a)g/®vO,给定精度£；

(2);

(3)计算：若，则c就是函数的零点；若，则令b=c(此时零点七e(a,c))；

若，则令a=c(此时零点/w(c,b))；

(4)判断是否达到精度£；即若,则得到零点零点值。(或为；否则重复步骤2~4.

6.指数、对数、幕函数模型性质比较

函数

性/y=a\a>l)y=logs«a>l)

在(0,+8)上

单调递增单调递增单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表现随〃值变化而各有

图象的变化

与y轴平行为与X轴平行不同

值的比较存在一个的，当X>Xo时，有log^VfV炉

7.利用描点法作函数的图象

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性

等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.

8.利用图象变换法作函数的图象

⑴平移变换iy=y=/(大士a),(a>0)------左"+”右

iiy=f(x)fy=±k,(k>0)------上“+”下

(2)对称变换iy=/(x)(0-0)