第02讲 导数与函数的单调性（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第02讲导数与函数的单调性（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第10题,6分利用导数求函数的单调区间求已知函数的极值点2024年新I卷，第18题,17分利用导数求函数的单调性证明函数的对称性利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题利用不等式求取值范围2024年新Ⅱ卷，第11题,6分利用导数研究具体函数单调性函数对称性的应用极值与最值的综合应用利用导数研究函数的零点判断零点所在的区间2024年新Ⅱ卷，第16题,15分利用导数研究含参函数单调性求在曲线上一点处的切线方程根据极值求参数2023年新I卷，第19题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究不等式恒成立问题2023年新Ⅱ卷，第22题,12分利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零点根据极值点求参数2022年新I卷，第7题,5分用导数判断或证明已知函数的单调性比较指数寡的大小比较对数式的大小2022年新Ⅱ卷，第22题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究不等式恒成立问题裂项相消法求和2021年新I卷，第22题,12分利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数证明不等式导数中的极值偏移问题2021年新Ⅱ卷，第22题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究函数的零点2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分【备考策略】1.理解函数的单调性与导数之间的关系2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。知识讲解导函数与原函数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导＞0f(x)在(a，b)上单调递增＜0f(x)在(a，b)上单调递减＝0f(x)在(a，b)上是常数函数利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.[常用结论]1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.考点一、函数与导函数图象之间的关系1．（浙江·高考真题）函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．2．（全国·高考真题）已知函数的导函数的图像如下图，那么的图像可能是（）A．B．C．D．1．（浙江·高考真题）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．2．（浙江·高考真题）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）

A．

B．

C．

D．

3．（江西·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（

）A．B．C．D．考点二、利用导数求不含参函数的单调性1．（2023·全国·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．3．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.2．2．1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，，求的取值范围.3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，判断的零点个数.考点三、利用导数求可分离型含参函数的单调性1．（2024·全国·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．2．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．3．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，求函数在区间上的最大值．2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．3．（2024·新疆·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围.4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，，数列满足，且①比较，，1的大小②证明：.5．（2024·广西桂林·三模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若且有2个极值点，，求证：．考点四、利用导数求不可分离型含参函数的单调性1．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在唯一的极值点，证明：．2．（2024·广西河池·模拟预测）已知函数，定义域为.(1)讨论的单调性；(2)求当函数有且只有一个零点时，的取值范围.1．（2024·内蒙古·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围；(3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．考点五、根据函数单调性求参数值或范围1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．2．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.3．（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>11．（2024·重庆·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2024·四川绵阳·模拟预测）在区间上随机取一个实数，使在上单调递增的概率是（

）A． B． C． D．二、解答题3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若，证明：.4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．5．（2024·江西南昌·一模）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求的最大值.6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.(1)讨论的单调性.(2)若使得，求参数的取值范围.7．（2024·河南·三模）已知函数，且在处的切线方程是．(1)求实数，的值；(2)求函数的单调区间和极值．8．（2024·浙江·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的图象在处的切线方程；(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.一、单选题1．（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·云南·模拟预测）已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．-1二、解答题3．（2024·四川凉山·三模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围，4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求实数的取值集合.5．（2024·天津河西·三模）已知函数，，其中．(1)若，求实数a的值(2)当时，求函数的单调区间；(3)若存在使得不等式成立，求实数a的取值范围．6．（2024·浙江杭州·二模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．(1)若函数在上单调递增，求实数的值；(2)求证：．8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，求函数在区间上的零点个数.9．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）函数.(1)求的单调区间；(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.10．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，讨论函数的零点的个数.1．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，2．（2023·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．3．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）4．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．5．（2021·全国·高考真题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．7．（2021·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论