2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册阶段测试试卷503考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、代数式的最小值是（）A.0B.1+C.2+D.不存在2、如图，给出了偶函数的局部图象，那么与的大小关系正确的是()ABCD3、若则的取值范围是（）A.B.C.D.4、【题文】若函数则函数（）A.是偶函数，在是增函数B.是偶函数，在是减函数C.是奇函数，在是增函数D.是奇函数，在是减函数5、【题文】(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于()A.[0，＋∞)B.[0,1)C.(1，＋∞)D.(0,1]6、已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则a=（）A.1B.2C.3D.﹣17、若则的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点的连线段；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示．其中说法正确的是____．9、过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是____．10、数列{an}中，a1=1，（n≥2），则这个数列的前n项和为____．11、【题文】正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是_________。12、【题文】已知直线l经过点(2)，其横截距与纵截距分别为a、b(a、b均为正数)，则使a＋b≥c恒成立的c的取值范围为________．13、【题文】已知圆和直线若圆与直线没有公共点，则的取值范围是____14、已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为．则该三棱锥的外接球的表面积为____15、已知函数f（x-1）=x2-2x，则f（x）=______．16、已知幂函数y=f（x）的图象过点则=______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、作出函数y=的图象．19、画出计算1++++的程序框图．20、请画出如图几何体的三视图．

21、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分四、证明题(共4题，共16分)22、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．23、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．24、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分五、综合题(共2题，共14分)26、如图，直线y=-x+b与两坐标轴分别相交于A；B两点；以OB为直径作⊙C交AB于D，DC的延长线交x轴于E．

（1）写出A、B两点的坐标（用含b的代数式表示）；并求tanA的值；

（2）如果AD=4，求b的值；

（3）求证：△EOD∽△EDA，并在（2）的情形下，求出点E的坐标．27、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数列不等式组求x的取值范围，再确定代数式的最小值．【解析】【解答】解：由条件得x≥0；x-2≥0，x-4≥0；

解得：x≥4；

∴≥2+．

即代数式的最小值是2+．

故选C．2、D【分析】根据图像可知，函数是偶函数，利用对称性作出函数图像可孩子f(-3)=f(3),结合图像可知f(1)【解析】【答案】D3、C【分析】试题分析：时，对数函数在上是减函数，则当时，对数函数在上是增函数，与矛盾，则选择考点：1.解对数不等式；2.对数函数的图象与性质；【解析】【答案】C4、A【分析】【解析】

试题分析：由定义易得，函数为奇函数.

求导得：（这里之所以在分子提出来；目的是便于将分子求导）

再令则。

当时，所以在时单调递减，从而所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.

巧解：由定义易得，函数为奇函数.结合选项来看，函数在上必单调，故取特殊值来判断其单调性.所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.选A

考点：函数的性质.【解析】【答案】A5、C【分析】【解析】由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1；所以N＝{x|x＞1}；

所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C．【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】解：∵g（x）=ax2﹣x（a∈R）；

∴g（1）=a﹣1；

若f[g（1）]=1；

则f（a﹣1）=1；

即5|a﹣1|=1；则|a﹣1|=0；

解得a=1；

故选：A．

【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论．7、C【分析】【分析】因为

所以又是第一或第三象限角；所以。

所以的终边在第三象限.

【点评】解本小题的关键是根据据此可求出进而得到再结合进一步缩小的取值范围，最终确定的终边在第三象限.二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

根据球的定义直接判断①正确；②错误；③用一个平面截一个球面；得到的是一个圆；可以是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示．满足球的定义正确；

故答案为：①③④

【解析】【答案】根据球的定义直接判断①；②的正误；球的截面的性质判断③的正误；球的表示方法判断④的正误．

9、略

【分析】

∵过点（1；3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0）；

∴其方程为：

整理得3x+y-6=0．

故答案为：3x+y-6=0．

【解析】【答案】由过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0），知其方程为：由此能求出结果．

10、略

【分析】

将an=Sn-Sn-1代入已知条件得。

Sn-Sn-1=（n≥2）；展开化简得。

2Sn2-2Sn•Sn-1-Sn+Sn-1=2Sn2；

Sn-1-Sn=2Sn-1•Sn；

两边同除以Sn•Sn-1得。

-=2（n≥2）；

所以{}是公差为2的等差数列，其首项===1；

所以=1+2（n-1）=2n-1；

Sn=．

故答案为：．

【解析】【答案】利用an=Sn-Sn-1（n≥2）代入已知条件，整理出-等于常数；构造新数列，通过新数列的特征，求出新数列的通项公式，转化后，求出这个数列的前n项和．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：设球的半径为R；则正方体的对角线长为2R；

依题意知4R2=3a2=12,即R2=3；

∴S球=4πR2=4π•3=12π（cm2）．故答案为：12π．

考点：球内接多面体；球的体积和表面积．【解析】【答案】12π．12、略

【分析】【解析】设方程＋＝1，过点(2)；

∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥故c≤【解析】【答案】(－∞，]13、略

【分析】【解析】解法一：圆和直线没有公共点；则。

故填____

解法二：已知圆的圆心到直线距离为d,则。

故填____【解析】【答案】14、3π【分析】【解答】解：如图所示；

设球心为O点，底面△ABC的中心为O1；球的半径为R．

∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为．

∴

在△OAO1中，

解得R=．

∴该三棱锥的外接球的表面积S=4πR2==3π．

故答案为：3π．

【分析】如图所示，设球心为O点，底面△ABC的中心为O1，球的半径为R．由于三棱锥A﹣BCD的所有棱长都为．可得CO1=．在△OAO1中，解得R即可得出．15、略

【分析】解：函数f（x-1）=x2-2x；

令x-1=t；则x=t+1

那么f（x-1）=x2-2x转化为f（t）=（t+1）2-2（t+1）=t2-1．

所以得f（x）=x2-1

故答案为：x2-1．

利用换元法求解即可．

本题考查了解析式的求法，利用了换元法．属于基础题．【解析】x2-116、略

【分析】解：设幂函数y=f（x）的解析式为f（x）=xα，由幂函数y=f（x）的图象过点可得。

=3α，∴α=-∴f（x）=

∴==2；

故答案为2．

：设幂函数y=f（x）的解析式为f（x）=xα，根据幂函数y=f（x）的图象过点求出α的值，可得函数的解析式，从而求得的值．

本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．【解析】2三、作图题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．20、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．四、证明题(共4题，共16分)22、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．23、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=24、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．五、综合题(共2题，共14分)26、略

【分析】【分析】（1）在解析式中分别令x=0与y=0；即可求得直线与y轴，x轴的交点坐标，即可求得OA，OB的长度，进而求得正切值；

（2）利用切割线定理，可以得到OA2=AD•AB，据此即可得到一个关于b的方程，从而求得b的值；

（3）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得两个三角形相似．【解析】【解答】解：（1）∵当x=0时，y=b，当y=0时，x=2b；

∴A（2b，0），B（0，b）

∴tanA===；

（2）AB===b

由OA2=AD•AB，得（2b）2=4•b，解得b=5；

（3）∵OB是直径；

∴∠BDO=90°；

则∠ODA=90°

∴∠EOC=∠ODA=90°；

又∵OC=CD

∴∠COD=∠CDO

∴∠COD+∠EOC=∠CDO+∠ODA

∴∠EOD=∠EDA

又∵∠DEA=∠OED

∴△EOD∽△EDA

D点作y轴的垂线交y轴于H；DF⊥AE与F．

∵A（2b，0），B（0，b）

∴OA=10；OB=5．

∴AB=5；

∵DF∥OB

∴===；

∴AF=OA=8；

∴OF=OA-AF=10-8=2；

∴DH=OF=2；

∵Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2

∴BH==1；

∴CH=-1=；

∵DH∥OE；

∴=

∴OE=．

∴E的坐标是：（-，0）．27、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

（2）利用（1）可得