2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、一个容量为35的样本数据，分组后，组距与频数如下：个；个；个；个；个；个。则样本在区间上的频率为A.20%B.69%C.31%D.27%2、某校对初三学生进行了一次数学应用问题小测验；如图是将（1）班60名同学的成绩进行整理后，分成5组画出的频率分布直方图．已知从左到右四个小组的频率分别是0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次测验中成绩优秀（分数大于或等于80分为优秀）的有（）人．

A.25

B.26

C.27

D.28

3、函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.4、给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若都是单位向量，则=．

③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量；则A，B，C，D四点共线．

以上命题中，正确命题序号是（）A.①B.②C.①和③D.①和④5、读下面的程序框图；输出结果是（）

A.1B.3C.4D.56、要得到函数y=sin2x

的图象，只需将函数y=sin(2x鈭�娄脨3)

的图象(

)

A.向右平移娄脨6

个单位长度B.向左平移娄脨6

个单位长度C.向右平移娄脨3

个单位长度D.向左平移娄脨3

个单位长度评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、已知球O的半径为R，它的表面上有两点A，B，且那么A，B两点间的球面距离是____．8、集合A={x|x2-6x+8=0}，写出A的所有子集____．9、等差数列中，则此数列的前项和_________.10、【题文】．已知函数是定义在上的奇函数；

当x>0时的图象如右所示，那么的值域。

是____

____11、【题文】设正三棱锥S—ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱SA与底面ABC所成角的大小是____。12、【题文】

13、定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1•x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B的真子集个数为______个．14、函数f（x）=x2+3x+2在区间[-5，5]上的最大值为______．15、若函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．17、作出下列函数图象：y=18、作出函数y=的图象．19、画出计算1++++的程序框图．20、请画出如图几何体的三视图．

21、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分四、证明题(共2题，共18分)23、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．24、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【解析】试题分析：样本在区间上的频数为35-5-12-7=11个，因此频率为考点：频数频率的关系【解析】【答案】C2、C【分析】

分数在89.5-99.5段的频率为1-0.05-0.15-0.35-0.30=0.15；

在这次测验中分数大于或等于80分的频率为0.30+0.15=0.45；

在这次测验中成绩优秀（分数大于或等于80分为优秀）的有60×0.45=27人．

故选C．

【解析】【答案】根据直方图中各组频数之和为1；可得分数在89.5-99.5段的频率，进而可得在这次测验中分数大于或等于80分的频率为，又有总人数为60，故可知在这次测验中成绩优秀的人数．

3、D【分析】因为函数的开口方向向上，对称轴为所以单调递增区间是故选【解析】【答案】D4、A【分析】【解答】根据零向量的定义可知①正确；

根据单位向量的定义；单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；

与向量互为相反向量；故③错误；

方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点；故A，B，C，D四点不共线，故④错误。

故选A.

【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误。5、C【分析】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出b=1+3的值．

∵b=1+3=4

故选C．

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出b=1+3的值．

本题主要考查了顺序结构，解题的关键是弄清流程图的含义，属于基础题．【解析】【答案】C6、B【分析】解：把函数y=sin2x

的图象向右平移娄脨6

个单位即可得到函数y=sin2(x鈭�娄脨6)=sin(2x鈭�娄脨3)

的图象；

故要得到函数y=sin2x

的函数图象，可将函数y=sin(2x鈭�娄脨3)

的图象向左至少平移娄脨6

个单位即可；

故选：B

．

把函数y=sin2x

的图象向右平移娄脨6

个单位即可得到函数y=sin2(x鈭�娄脨6)=sin(2x鈭�娄脨3)

的图象；把平移过程逆过来可得结论．

本题主要考查函数y=Asin(娄脴x+鈱�)

的图象变换规律，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

∵球O的半径为R；

又∵

由弦长公式得：

l=α•R=

故答案为：

【解析】【答案】由已知中球O的半径为R，它的表面上有两点A，B，且代入弧长公式，即可求出A，B两点间的球面距离．

8、略

【分析】

方程x2-6x+8=0的解为x=2或4；

则集合A={2；4}

因此；A的所有真子集为：{2}，{4}，φ．

故答案为：{2}；{4}，φ．

【解析】【答案】先求出方程x2-6x+8=0的解；然后写出集合A，最后写出集合A的所有真子集即可．

9、略

【分析】由可知【解析】【答案】18010、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】313、略

【分析】解：由题意：A={1；2，3}，B={1，2}；

新定义：A*B={x|x=x1•x2，x1∈A，x2∈B}；

那么：A*B组合有：（1；1）=1；（1、2），（2、1），（2、2），（3、1），（3、2）有5个不同的元素．

∴真子集个数为25-1=31个．

故答案为：31．

根据定义A*B={x|x=x1•x2，x1∈A，x2∈B}，求出A*B的所以值，根据集合的互异性确定集合含有的元素个数，利用含有n个元素的集合，其真子集个数为2n-1个求解．

本题主要考查新定义的理解和计算，利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n个元素的集合，其真子集个数为2n-1个．【解析】3114、略

【分析】解：函数f（x）=x2+3x+2的对称轴为：x=-∈[-5；5]，函数的开口向上；

所以x=5时，函数取得最大值：52+3×5+2=42．

故答案为：42．

求出二次函数的对称轴；判断开口方向，然后求解最大值．

本题考查二次函数的简单性质的应用，闭区间上的最值的求法，考查计算能力．【解析】4215、略

【分析】解：函数f（x）=

当8＞a＞1时，f（x）=ax；在（1，+∞）上为增函数，f（x）∈（a，+∞）；

当x≤1时，f（x）=（4-）x+2，在（-∞，1]上的值域，f（x）∈（-∞，6-]；

若f（x）的值域为R，则（-∞，6]∪（a；+∞）=R；

则6-≥a；

即1＜a≤4；

当a∈（0；1）时，指数函数是减函数，一次函数是增函数，值域不可能为R．

当a≥8时；指数函数是增函数，一次函数是减函数，函数的值域不可能为R．

则实数a的取值范围是（1；4]．

故答案为：（1；4]．

f（x）是分段函数；在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．

本题考查了分段函数的值域问题和分类讨论的数学思想，分段函数的值域是在区间内求出函数的取值范围，再求它们的并集即得出值域．【解析】（1，4]三、作图题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．17、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．18、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．20、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．21、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．四、证明题(共2题，共18分)23、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cos