【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练29

双基限时练(二十九)一、选择题1．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(2),2)))到原点O的距离是()A.eq\f(\r(30),6) B．1C.eq\f(\r(33),6) D.eq\f(\r(35),6)解析|OP|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(2),2)))2)＝1.答案B2．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是()A．圆 B．直线C．球面 D．线段解析(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1，3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．答案C3．已知点P到三个坐标平面的距离相等，且皆为3，则点P到原点的距离是()A．3 B．3eq\r(2)C．3eq\r(3) D．3eq\r(3,3)解析|OP|＝eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3).答案C4．已知三角形的三个顶点A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则△ABC为()A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形解析∵|AB|＝eq\r(22＋1＋4)＝3，|BC|＝eq\r(12＋12＋42)＝eq\r(18)，|AC|＝eq\r(12＋22＋22)＝3.∵|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，故选B.答案B5．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为()A.eq\f(9,2) B．5C.eq\r(5) D.eq\f(3\r(2),2)解析∵|AB|＝eq\r(t－22＋t＋12)＝eq\r(2t2－2t＋5)，∴当t＝eq\f(1,2)时，|AB|min＝eq\f(3\r(2),2).答案D6．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足()A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4解析由题意得(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，即：x＋y＋z＝0.答案B二、填空题7．若点P(x，y，z)到A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等，则点P的坐标(x，y，z)满足________．解析由(x－2)2＋(y－3)2＋z2＝(x－5)2＋(y－1)2＋z2，得6x－4y－13＝0.答案6x－4y－13＝08．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则|AB|的最小值为________，此时A点的坐标为________．解析|AB|＝eq\r(x－12＋5－x－x－22＋2x－1－2＋x2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，∴当x＝eq\f(8,7)时，|AB|min＝eq\f(\r(35),7).此时Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7))).答案eq\f(\r(35),7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,7)，\f(27,7)，\f(9,7)))9．在xOy平面上的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点(6,5,1)的距离最小，则M点的坐标为________．解析设M(t,1－t,0)，则M到(6,5,1)的距离d＝eq\r(t－62＋4＋t2＋1)＝eq\r(2t2－4t＋53)，∴当t＝1时d取得最小值，此时M点的坐标为(1,0,0)．答案(1,0,0)三、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使点M到点N(6,5,1)的距离最小．解∵M是xOy平面内的直线x＋y＝1上的点，则设M的坐标为(x,1－x,0)，由两点间的距离公式|MN|＝eq\r(x－62＋1－x－52＋0－12)＝eq\r(2x－12＋51).∴当x＝1时，|MN|最小，∴M的坐标为(1,0,0)．11．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)，(1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；(2)在xOz平面内的点M到A点与到B点的距离相等，求M点的轨迹．解(1)设P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|，可知eq\r(a－12＋－22＋12)＝eq\r(a－22＋22)，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8得a＝1，∴P点的坐标为(1,0,0)．(2)设M(x,0，z)，由题意，得eq\r(x－12＋－22＋z＋12)＝eq\r(x－22＋z－22)，整理得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线．12．如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，设PD＝4eq\r(3)，M为PB的中点，N在线段AB上，求当|MN|最短时，N点所处的位置．解建立如图所示的直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，P(0,0,4eq\r(3))．∵M点为PB的中点，∴M(2,2,2eq\r(3))．又N在线段AB上，∴N(4，b,0)(0≤b≤4)．∴|MN|＝eq\r(4－22＋b－22＋0－2\r(3)2).∴当b＝2时|MN|min＝eq\r(4＋12)＝4.此时N为AB的中点，∴当N为AB的中点时|MN|最短．思维探究13．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|，因M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得eq\r(32＋y2＋12)＝eq\r(12＋y2＋32)，明显，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上全部点都满足关系|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．由于|MA|＝eq\r(3－02＋0－y2＋1