历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类)初赛试题统计分析

1、历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题统计分析摘要本文对历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛试题及答案进行了统计分析，剖析了竞赛试题的命 题理念与结构特点，并提出竞赛准备的几点建议.关键词大学生数学竞赛;统计分析Statistical Analyses of the Chinese Mathematics Competitionsfor Non-Mathematical ProfessionalsAbstract Wi th all the past test quest i ons of the Chi nese Mathemati cs Compet i ti ons for

2、 NonMathemati cal Professionals, this paper presents the statistics of the questions proposition idea and structural characteristics, and puts forward some suggestions.Keywords The Chinese Mathematics Competitions, statistical analysis为激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高 等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程 的教学水平，发现和选拔数学创新人才，自20

3、09年 起，中国数学会每年举办一次全国大学生数学竞赛 （The Chinese Mathematics Competitions （简称 CMC）.竞赛的参赛对象为大学本科二年级及二年 级以上的在校大学生，分为数学专业类和非数学专 业类两组，数学专业类竞赛内容为大学本科数学专 业基础课的教学内容，非数学专业类竞赛内容为大 学本科理工科专业高等数学课程的教学内容.竞赛分为初赛和决赛进行,试题均由全国大学生 数学竞赛委员会统一组织专家命制.分区初赛由各 省（市、区、军队院校）数学会负责组织选拔，使用全国 统一试题，在同一时间内进行考试；决赛由全国大学 生数学竞赛工作小组和承办单位负责组织实施.作为

4、一项面向本科生的全国性高水平学科竟 赛，全国大学生数学竞赛为青年学子提供了一个展 示数学基本功和数学思维的舞台，为高校发现和选 拔优秀数学人才并进一步促进数学课程建设的改革 和发展积累了调研素材.竞赛试题在所考查的知识 内容、题量分布与命题理念方面有何特点，在解题方 法上应该怎样准备，是许多大学数学老师和学生十分关心的问题，有鉴于此，笔者对历届全国大学生数 学竞赛（非数学专业类）初赛的试题进行了全面的统 计分析，希望能有助于大家进一步明确全国大学生 数学竞赛的试题特点与复习教学目标，从而更好地 加强教学及备考的针对性.一、历届全国大学生数学竞赛（非数学专业 类）初赛试题统计分析$试题来源及整体

5、情况试题来源于全国大学生数学竞赛资源网!网址： http:/www. cmathc. cn.选取 2009 年至 2019 年 共11届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛 试题，共101题，总分值1100分.试题统计将11届试题的每一道题按题型、分值、所考查 的知识点、用到的解题方法进行整理，利用python 统计题型分布，知识点及解题方法出现的频次.（1）题量除2011年9道&2009年和2012年11道外，其 余均为10道题.（2）题型0.30.2llllllll-0 02009年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 201

6、7 年 2018 年 2019 年题型主要有填空、计算、证明、综合（既有证明又 有计算）0.30.2llllllll-0 02009年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年图1历届初赛试题计算题分值占比图图2历届初赛试题证明题分值占比图计算题在前几届竞赛初赛中分值所占比例较 大，2012 年 6% ,2013 年&2015 年 72%（见图 1）.近 几年计算题比例有所下降，证明题比例则大幅上升, 2016年&2018年证明题分值所占比例达到56% , 2017年&2019年比例均超过40%

7、（见图2）.从题型 分布来看,前面几届侧重考察学生的运算能力，近几 年则更注重考察学生的逻辑思维能力及综合运用数 学思想方法的能力.（3）知识点历届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）初赛 试题均严格遵循全国大学生数学竞赛竞赛大纲的 要求，试题所涉及的知识点均在大学本科理工科专 业高等数学课程的教学内容中.从统计结果看，考 查单一知识点的试题较少，大部分都涉及2 3个 知识点.填空题难度相对小一些，在立足于对基础知识 进行考查的同时，也注重对数学思维方法综合运用 的能力进行考查，虽然所涉及的概念与知识点少一 些，但解题时也都需要运用转化与化归的数学思想 先将问题转化为熟悉的问题，出现次数较多的知

8、识 点有：函数的极限、不定积分计算、数列的极限、定积 分计算、微分方程等.计算题大部分都综合2 3个知识点，有的甚至 涉及4个知识点，主要考查综合运用数学思维方法 解决问题的能力和运算能力，高频出现的知识点有： 数列的极限、函数的极限、三重积分计算、偏导数、曲 线积分、定积分计算、广义积分、条件极值等.证明题难度相对较大，已知条件与结论之间的 联系更复杂、更隐蔽，将问题转化为已知问题的难度 更大，主要考查逻辑思维能力以及数学思维方法的 综合运用能力，积分不等式、数列的极限、级数敛散 性、中值定理、导数的应用等知识点在证明题中出现 次数较多.综合来看,在历届试题中出现次数最多的知识 点是数列的极

9、限，几乎每届都有关于数列极限的题, 其次，函数的极限、积分不等式、偏导数、曲线积分、 定积分计算、三重积分计算等知识点出现的频次也 较高（见表1）.表1出现频次排名前十的知识点知识点频次知识点频次数列的极限15定积分计算5函数的极限9三重积分计算5积分不等式6微分方程4偏导数6级数敛散性4曲线积分6二重积分计算3(4)解题方法-多元复合函数求偏导的链式法则矗泰勒公精换元积分法理无身iar义希加!1滤图3解题方法词云图从参考答案中每道题用到的解题方法统计情况 来看，泰勒公式用到的次数最多，在计算函数的极 限、求方程的近似解、计算高阶导数、不等式或等式 证明的题中都有用到，其次是换元积分法，在一些

10、计 算定积分、重积分、曲线积分的题中，需要用换元法 来进行计算，此外，多元复合函数求偏导的链式法则、求数列极限的夹逼准则、求函数极 限的等价无穷小替换、洛必达法则、求不定积分或定 积分的分部积分法、恒等变形、拉格朗日中值定理、 解一阶线性微分方程的常数变易法等方法用的次数 也较多(见图3,字体越大表示出现次数越多).二、关于竞赛准备的几点建议纵观历届全国大学生数学竞赛(非数学专业类) 初赛试题，各届试题考查知识点均未超出高等数 学课程教学内容的范围，在考查学生应用数学知识 能力的同时，也考查学生对数学思想方法的理解和 掌握程度，并重点考查学生在分析与解决问题时的 求变意识与化归能力.因而.在竞

11、赛准备的复习与教 学中，应着重做好以下几点：夯实数学基础，构建完整知识体系初赛试题基本涵盖了高等数学的主干知识内 容，例如，函数、极限、连续、一元函数微积分学、微分 方程、空间解析几何、多元函数微积分学、级数等都 有涉及，因此，在竞赛准备时，对主干知识内容要有 整体的把握，构建完整的知识体系，具备扎实的知识 基础.教师在竞赛培训时，不仅要引导学生全面掌 握各章节知识内容与基本方法，还要多渠道引导学 生深刻理解核心概念与数学思想，弄清知识之间的 联系，促使知识得以融会贯通，提高解题时的化归能 力，让学生在解题时能迅速找到与问题相关的可适 用公式与定理，能通过类比与联想将问题转化为一 个更简单的问

12、题.突出复习重点，提高备考学习效率在具备扎实的基础知识的同时，也要注意突出重点，提高学习效率，比如，求极限、积分不等式 证明、求多元复合函数的偏导数、曲线积分、定积分 计算、重积分计算、求解微分方程、判断级数的敛散 性等在历届试题出现频次较高，在复习时就应着重 加强这方面的练习.对于出现次数较多的解题方法 及思路，要在练习时有意识加强训练，比如，在求数 列极限时，应增强运用夹逼准则、单调有界准则或利 用定积分定义转化为定积分的意识；在求函数极限 时，应增强利用等价无穷小替换、泰勒公式、洛必达 法则的意识；在求定积分时，应增强学生运用换元 法、分部积分法的意识，等等.此外，重积分的换元 法、利用

13、球坐标计算三重积分、求方程的近似解、二 元函数的二阶泰勒公式、欧拉(Euler)方程、散度和 旋度的概念及计算等知识点是教材中打大号的内 容，不是平时教学的重点内容，但属于竞赛的考查范 围，比如，历届试题中就有5道题需要用重积分的换 元法,4道题需要用球坐标系计算三重积分，所以复 习时还需要有意识加强这些内容的练习.围绕真题训练，增强求变转化意识竞赛的每一道题，基本都需要运用化归的数学 思想将问题进行转化，所以，在竞赛准备中培养求变 意识和化归能力尤为重要，分析历届竞赛真题就是 最好的训练途径.对于真题的解题思路、方法和步 骤，要进行归纳总结，弄清楚如何审题，如何探索解 题思路，如何找到解题思

14、路的切入点，逐步培养转化 问题、分析问题和解决问题的能力.比如，第五届第 1题：求极限-m (1 / sm! $1/42广，这是求数列 极限的问题，但利用重要极限、夹逼准则、单调有界准则等方法都不好做，这时候就要“求变”，看能否通 过适当恒等变形将问题转化为可以利用一般方法求 解的问题，注意到正弦函数是以眼为周期的周期函 数，因此siiiTt /1+4疽=sin（兀 J1 + 4疽2兀）此时,sin （ j + , + 2 J*。（ ），这样就可以 利用第二类重要极限来求极限了.第九届第2题求 极限limsm2 J 干具）的解题思路也与此类似.从 本质上来说，解决数学问题的基本思路就是命题变 更，将一些复杂的问题逐步转化为一个一个简单的 问题，所以，在平时的训练中，应逐步培养一定的求 变意识和化归能力，只有具备这样的能力，才能在竟 赛中做到胸有成竹、轻松应对.三、结语全国大学生数学竞赛自2009年举办以来，受到 越来越多的高校和学生的关注，现已成为全国影响 最大、参加人数最多的学科竞赛之一，不仅为青年学 子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台， 也