二项分布的期望和方差

二项分布的期望和方差二项分布是一种重要的离散概率分布，它描述的是$n$个相互独立的试验中，成功事件发生$k$次的概率分布。在实际应用中，二项分布经常用于描述一些概率事件的发生情况，如掷硬币的正反面、挑选配对项的成功率等等。在这篇文章中，我们将主要讨论二项分布的期望和方差。一、二项分布的期望我们知道，二项分布的概率质量函数为：$$P(X=k)={n\\choosek}p^k(1-p)^{n-k}$$其中，$k$表示成功事件发生的次数，$p$表示单次试验中成功的概率，$(1-p)$表示单次试验中失败的概率，$n$表示总的试验次数。二项分布的期望是指在进行$n$次相互独立的试验中，成功事件发生的次数$k$的平均值，即：$$E(X)=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdotP(X=k)$$通过二项分布的概率质量函数，可得：$$E(X)=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot{n\\choosek}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\\sum_{k=0}^{n}k\\cdot\\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\\sum_{k=0}^{n}\\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$$$=np\\sum_{k=1}^{n}\\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$$我们可以发现，上述式子中的求和式与二项分布的概率质量函数非常相似，只是指数$k$的范围有所变化。因此，我们可以将上述式子看成是在二项分布的概率质量函数中去掉$k=0$的项后，对余下的$k$项分别乘以$k$，最后相加起来，即：$$E(X)=np\\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\\choosek}p^k(1-p)^{n-1-k}$$$$=np\\cdot1$$由此可见，二项分布的期望为$np$，这意味着在进行$n$次相互独立的试验中，成功事件发生的次数$k$的平均值为$n$乘以单次成功的概率$p$。二、二项分布的方差二项分布的方差是指在进行$n$次相互独立的试验中，成功事件发生的次数$k$的平方与$k$的平均值的平方之差的平均值，即：$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$为了计算二项分布的方差，我们首先要求出二项分布的二阶矩：$$E(X^2)=\\sum_{k=0}^{n}k^2\\cdotP(X=k)$$$$=\\sum_{k=0}^{n}k^2\\cdot{n\\choosek}p^k(1-p)^{n-k}$$该式比计算期望的公式稍微复杂一些。为了简化求和式，我们可以利用以下恒等式：$$k^2\\cdot{n\\choosek}=k\\cdot(k-1)\\cdot{n\\choosek}+k\\cdot{n\\choosek}$$根据上式，对于任意一个二项分布，$k^2$项可以分解为两项，分别是$k\\cdot(k-1)$和$k$。我们将二项分布的概率质量函数除以$p$，得到：$${n\\choosek}\\cdotp^{k-1}\\cdot(1-p)^{n-k}=\\frac{1}{p}\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k}=k\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k-1}+\\frac{n-k}{p}\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k}$$将上式的$k$项和$(n-k)$项分别乘以$k$和$(n-k)$，得：$$k^2\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}(1-p)^{n-k-1}=k\\cdot(n-k)\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}(1-p)^{n-k}+k\\cdot{n\\choosek}\\cdotp^{k}\\cdot(1-p)^{n-k-1}$$带入$E(X^2)$的计算式中，我们可以得到：$$E(X^2)=np+np(n-1)p^2$$$$=np(1-p)+np^2$$因此，二项分布的方差为：$$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$$$=np(1-p)+np^2-[np]^2$$$$=np(1-p)$$通过以上计算，我们发现，二项分布的方差与期望的乘积为$np(1-p)$，这个可以通过二项分布式子的代数推导得到。这个公式的意义是什么呢？它说明了二项分布中成功事件发生的次数$k$的方差随着单次成功概率$p$的变化而变化。具体来说，当单次成功概率$p$越大时，$k$的方差会变小；而当$p$越小时，$k$的方差会变大。总结通过本篇文章，我们了解了二项分布