【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第1章-第1节-集合

第一章第一节一、选择题1．设集合M＝{y|y＝2x，x<0}，N＝{x|y＝eq\r(\f(1－x,x))}，则“x∈M”是“x∈N”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]M＝(0,1)，N＝(0,1]，∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，故选A.2．(2022·山西高校附中月考)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±2[答案]C[解析]当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，∴x≠2；若x＝－2，则A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，满足题意，当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，∴x＝0或－2.3．(文)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|eq\f(2x＋1,3－x)<0}，则A∩B等于()A．{x|－1<x<－eq\f(1,2)或2<x<3}B．{x|2<x<3}C．{x|－eq\f(1,2)<x<2}D．{x|－1<x<－eq\f(1,2)}[答案]D[解析]∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，解得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．∵eq\f(2x＋1,3－x)<0，∴(2x＋1)(x－3)>0，解得x<－eq\f(1,2)或x>3，即B＝{x|x<－eq\f(1,2)或x>3}，故A∩B＝{x|－1<x<－eq\f(1,2)}．(理)(2021·贵州六校联考)设集合M＝{x|x2－x－6<0}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N等于()A．(1,2) B．(－1,2)C．(1,3) D．(－1,3)[答案]C[解析]M＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以M∩N＝{x|1<x<3}，选C.4．(文)(2021·北京市朝阳区期中)已知集合A＝{x2＋x－2<0}，B＝{x|x>0}，则集合A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|0<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2<x<1}[答案]A[解析]由x2＋x－2<0得－2<x<1，∴A∪B＝{x|x>－2}．(理)(2021·北京东城期末)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．8[答案]C[解析]∵A∪B＝{1,2}∪B＝{1,2,3}，∴集合B的可能状况为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}，故选C.5．(2022·乌鲁木齐地区三诊)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()A．{2,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}[答案]A[解析]∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,4,5}．6．(文)(2021·北京丰台期末)设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5,7}，则实数a的值为()A．2或－8 B．－2或－8C．－2或8 D．2或8[答案]D[解析]∵U＝{1,3,5,7}，∁UM＝{5,7}，∴M＝{1,3}．∴|a－5|＝3⇒a＝2或8，故选D.(理)(2021·广东佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}[答案]B[解析]由题意易得U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U(A∪B)＝{2,4}．故选B.二、填空题7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．[答案]a≤1[解析]由于A∪B＝R，画数轴可知，实数a必需在点1上或在1的左边，所以a≤1.8．(文)已知集合A＝{x|logeq\f(1,2)x≥3}，B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(－∞，c]，其中的c＝______.[答案]0[解析]A＝{x|0<x≤eq\f(1,8)}，∵A⊆B，∴a≤0，∴c＝0.(理)(2022·兰州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m的值为________．[答案]0或2或3[解析]当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，由B＝{eq\f(6,m)}⊆{2,3}可得eq\f(6,m)＝2或eq\f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2，综上可得实数m＝0或2或3.9．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c，其中c>0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]A＝{x|0<x<2}，由A∪B＝B得A⊆B，所以c≥2.三、解答题10．(文)设集合A＝{(x，y)|y＝2x－1，x∈N*}，B＝{(x，y)|y＝ax2－ax＋a，x∈N*}，问是否存在非零整数a，使A∩B≠∅？若存在，恳求出a的值；若不存在，说明理由．[解析]假设A∩B≠∅，则方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2－ax＋a，))有正整数解，消去y得，ax2－(a＋2)x＋a＋1＝0(*)由Δ≥0，有(a＋2)2－4a(a＋1)≥解得－eq\f(2\r(3),3)≤a≤eq\f(2\r(3),3).因a为非零整数，∴a＝±1，当a＝－1时，代入(*)，解得x＝0或x＝－1，而x∈N*.故a≠－1.当a＝1时，代入(*)，解得x＝1或x＝2，符合题意．故存在a＝1，使得A∩B≠∅，此时A∩B＝{(1,1)，(2,3)}．(理)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．(1)问是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A是B的子集？若存在，求a；若不存在，说明理由；(2)若A是B的子集成立，求出对应的实数对(a，b)?[解析](1)A＝{4＋a，a－4}，要使得对任意实数b，都有A⊆B，只能是A⊆{1,2}，但A中两元素之差(4＋a)－(a－4)＝8≠2－1，故这样的实数a不存在．(2)若A是B的子集成立，则必有|b－1|＝8或|b－2|＝8，解得b＝－7,9，－6,10.当b＝－7时，a＝－3；当b＝9时，a＝5；当b＝－6时，a＝－2；当b＝10时，a＝6.即对应的实数对(a，b)为(－3，－7)，(5,9)，(－2，－6)，(6,10)．一、选择题11．(文)(2022·长春市调研)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中有________个元素．()A．4 B．5C．6 D．7[答案]C[解析]∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C.(理)设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于()A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)[答案]A[解析]由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．所以A×B＝(2，＋∞)．12．(文)(2022·巢湖质检)设集合A＝{x|eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}[答案]B[解析]A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．(理)(2021·开封四中期中)已知集合A＝{x|y＝eq\r(9－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A∩B＝()A．{x|x≥－3} B．{x|1<x≤3}C．{x|x>1} D．∅[答案]B[解析]由9－x2≥0得－3≤x≤3，∴A＝{x|－3≤x≤3}；由x>0得y＝2x>1，∴B＝{y|y>1}，∴A∩B＝{x|1<x≤3}．13．(文)(2022·湖北八校其次次联考)设集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中全部元素之和为8，则实数aA．{0} B．{0,3}C．{1,3,4} D．{0,1,3,4}[答案]D[解析]由题意，若a≠3，则A＝{3，a}，B＝{1,4}．∵1＋3＋4＝8，∴a＝0,1或4.若a＝3，则A＝{3}满足题意，故a的取值集合为{0,1,3,4}．(理)(2022·北京顺义第一次统考)设数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M.则下列结论正确的是()A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中有无穷多个元素[答案]C[解析]由条件②可知，若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M，则eq\f(1＋\f(1＋a,1－a),1－\f(1＋a,1－a))＝－eq\f(1,a)∈M，eq\f(1－\f(1,a),1＋\f(1,a))＝eq\f(a－1,a＋1)∈M，则eq\f(1＋\f(a－1,a＋1),1－\f(a－1,a＋1))＝eq\f(2a,2)＝a∈M；由条件①可知a、eq\f(1＋a,1－a)、－eq\f(1,a)、eq\f(1－a,1＋a)互不相等，故集合M＝{a，eq\f(1＋a,1－a)，－eq\f(1,a)，eq\f(1－a,1＋a)}，有且仅有4个元素．14．(2021·唐山市海港高级中学月考)下列结论正确的有()①已知集合M＝{3，log2a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{0}，则M∪N②集合{y|y＝2x2－3}与集合{(x，y)|y＝2x2－3}是同一个集合；③由1，eq\f(3,2)，eq\f(6,4)，|－eq\f(1,2)|,0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x，y)|xy≤0，x、y∈R}是指其次和第四象限内的点集．A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案]A[解析]①由条件知log2a＝0，∴a＝1，∴b＝0，∴M∪N＝{0,1,3}，故①②前一个集合是数集，后一个集合是点集，故②错；③由于eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，|－eq\f(1,2)|＝0.5，故③错；④当x＝0时，xy≤0成立，此时点(x，y)落在y轴上，故④错．二、填空题15．(文)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.[答案]{(0,1)，(－1,2)}[解析]A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的全部点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．(理)若A＝{x|22x－1≤eq\f(1,4)}，B＝{x|logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.[答案]{x|0<x≤eq\f(1,4)}[解析]由22x－1≤eq\f(1,4)得，x≤－eq\f(1,2)，由logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)得，0<x≤eq\f(1,4)，∴(∁RA)∩B＝{x|x>－eq\f(1,2)}∩{x|0<x≤eq\f(1,4)}＝{x|0<x≤eq\f(1,4)}．16．(文)已知集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件：A∩B＝{1,2}，A∩(∁UB)＝{3}，U＝R，则a＋b等于________．[答案]1[解析]依题意得1∈A,2∈A,3∈A，因此，2和3是方程x2＋ax＋b＝0的两个根，所以2＋3＝－a,2×3＝b，∴a＝－5，b＝6.∴a＋b＝1.(理)集合A＝{x|log2(x＋eq\f(1,2))<0}，函数y＝x－2的单调递增区间是集合B，则在集合A中任取一个元素x，x∈B的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]A＝{x|log2(x＋eq\f(1,2))<0}＝{x|－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)}，由于函数y＝x－2的单调递增区间是集合B，所以B＝{x|x<0}，所以A∩B＝(－eq\f(1,2)，0)．在集合A中任取一个元素x，若x∈B，则x∈(A∩B)，故所求概率P＝eq\f(0－－\f(1,2),\f(1,2)－－\f(1,2))＝eq\f(1,2).三、解答题17．(文)(2022·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.(理)(2022·临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．[解析]∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．(1)当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要使A⊆B应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,3a≥4))⇒eq\f(4,3)≤a≤2，当a<0时，B＝{x|3a<x<a}．要使A⊆B应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al