余子式和代数余子式

余子式和代数余子式余子式和代数余子式是矩阵行列式的重要组成部分。在掌握行列式的基础上，深入了解余子式和代数余子式的概念和计算方法，有助于更加深入地理解行列式的性质和计算技巧。一、余子式1.定义在矩阵A中，第i行第j列的余子式M(i,j)定义为去掉第i行和第j列后所形成的(n-1)阶子式的行列式的值。即：把A中第i行和第j列删去后，所得的(n-1)阶子式的行列式的值。记作M(i,j)=(-1)^(i+j)*D(i,j)，其中D(i,j)表示把A中第i行和第j列删去后所得的(n-1)阶子式的行列式的值。如矩阵123456789它的余子式M(1,1)即为4689组成的3阶子式的行列式的值，也可表示为M(1,1)=(-1)^(1+1)*D(1,1)。类似地，该矩阵的余子式M(2,3)即为1278组成的3阶子式的行列式的值，也可表示为M(2,3)=(-1)^(2+3)*D(2,3)。2.性质（1）第i行（列）对应的k个余子式的代数和等于0。即：M(i,1)+M(i,2)+...+M(i,k)+...+M(i,n)=0，或者M(1,i)+M(2,i)+...+M(k,i)+...+M(n,i)=0。这是余子式的一个重要性质，称为拉普拉斯（Laplace）定理。它可以用来简化计算矩阵行列式的过程。（2）A的伴随矩阵(adjA)是A的余子式矩阵的转置。伴随矩阵是矩阵A的一个重要概念，定义为：A*=(Aij)^T，其中Aij=(-1)^(i+j)M(j,i)，其中M(j,i)表示A中删去第j行和第i列所得的(n-1)阶子式的行列式的值。由此可以得出，余子式M(i,j)对应的代数余子式C(i,j)即为A*的第i行第j列的元素。如对于矩阵123456789其伴随矩阵A*为：-36-36-126-36-3则C(1,1)=-3，C(2,3)=6，C(3,2)=6等式成立。二、代数余子式1.定义在矩阵A中，第i行第j列的代数余子式C(i,j)定义为：C(i,j)=(-1)^(i+j)M(i,j)。即为余子式M(i,j)乘以(-1)^(i+j)。如对于矩阵123456789其代数余子式C(1,1)等于4689组成的3阶子式的行列式的值乘以(-1)^(1+1)，即C(1,1)=4*(-1)^(1+1)=4。类似地，该矩阵的代数余子式C(2,3)等于1278组成的3阶子式的行列式的值乘以(-1)^(2+3)，即C(2,3)=1*(-1)^(2+3)=-1。2.应用代数余子式是求解线性方程组的工具之一。具体地，假设有n元线性方程组：a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2...an1x1+an2x2+...+annxn=bn对于该方程组的系数矩阵A和增广矩阵B，可以利用Cramer公式求解，x1=C(1)/D,x2=C(2)/D,...,xn=C(n)/D其中D表示A的行列式，C(i)表示将A的第i列替换为B后得到的矩阵A(i)的行列式，也称为A的第i个系数的伴随（adjugate）。例如，对于3元线性方程组：2x1-x2+3x3=53x1+2x2-2x3=7-x1+4x2+x3=3其系数矩阵A为：2-1332-2-141增广矩阵B为：573则根据Cramer公式，可以得到：x1=(|-135|/|-2-13|)=-11/7x2=(|335|/|-2-13|)=8/7x3=(|-137|/|-2-13|)